1. 一次函数 $ y = - 2 x - 1 $ 的大致图象是()

D

一次函数$y=-2x - 1$，其中$k=-2\lt0$，$b=-1\lt0$。因为$k\lt0$，所以函数图象从左到右下降；因为$b\lt0$，所以函数图象与$y$轴交于负半轴。综合可得，该函数图象经过第二、三、四象限，符合选项D。

2. 在一次函数 $ y = 2 x - 1 $ 图象上的点是()
A.$ ( 2, 3 ) $
B.$ ( 0, 1 ) $
C.$ ( 1, 0 ) $
D.$ ( - 1, 1 ) $

A

对于选项A，将$x=2$代入函数$y=2x-1$，得到$y=2×2-1=3$，与选项A中的$y$值相等，所以选项A是正确的。
对于选项B，将$x=0$代入函数$y=2x-1$，得到$y=2×0-1=-1$，与选项B中的$y$值不相等，所以选项B是错误的。
对于选项C，将$x=1$代入函数$y=2x-1$，得到$y=2×1-1=1$，与选项C中的$y$值不相等，所以选项C是错误的。
对于选项D，将$x=-1$代入函数$y=2x-1$，得到$y=2×(-1)-1=-3$，与选项D中的$y$值不相等，所以选项D是错误的。

3. 关于函数 $ y = - 2 x + 1 $,下列结论错误的是()
A.图象经过点 $ ( 0, 1 ) $
B.$ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小
C.图象与直线 $ y = - 2 x + 3 $ 平行
D.图象经过第一、三、四象限

D

A. 对于函数 $y = -2x + 1$，当 $x = 0$ 时，$y = 1$，所以图象经过点 $(0, 1)$，正确。
B. 函数 $y = -2x + 1$ 的斜率为 $-2$，因为斜率小于0，所以 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，正确。
C. 函数 $y = -2x + 1$ 和 $y = -2x + 3$ 的斜率都是 $-2$，由于斜率相同，所以两直线平行，正确。
D. 函数 $y = -2x + 1$ 的斜率为负，截距为正，所以图象只能经过第一、二、四象限，错误。

4. 若一次函数 $ y = ( m - 5 ) x - 3 $ 的函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ m $ 的取值范围为。

$ m ＞ 5$（或写$ (5, +\infty )$ 也可）

一次函数 $ y = kx + b $ 的函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大的条件是斜率 $ k ＞ 0 $。
对于函数 $ y = (m - 5)x - 3 $，斜率 $ k = m - 5 $。
因此，$ m - 5 ＞ 0 $，解得 $ m ＞ 5 $。

5. 已知点 $ P ( a, b ) $ 在直线 $ y = - x - 9 $ 上,且 $ \sqrt { a b - 7 } = 3 $,则代数式 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - a b $ 的值为。

33

因为点$P(a,b)$在直线$y = - x - 9$上，所以$b = - a - 9$，即$a + b=-9$。
又因为$\sqrt{ab - 7}=3$，两边平方可得$ab - 7 = 9$，则$ab = 16$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$。
把$a + b = - 9$，$ab = 16$代入$a^{2}+b^{2}-ab$可得：
$a^{2}+b^{2}-ab=(a + b)^{2}-3ab=(-9)^{2}-3×16=81 - 48 = 33$。

6. 在如图所示的直角坐标系中,作出下列函数的图象：
(1) $ y = 2 x - 3 $；
(2) $ y = 2 x + 1 $；
(3) $ y = - x - 2 $；
(4) $ y = - x - 3 $。

(1)
① 列表：
| $x$ | $0$ | $\frac{3}{2}$ |
| -- | -- | -- |
| $y$ | $-3$ | $0$ |
② 描点：在平面直角坐标系中描出点$(0,-3)$，$(\frac{3}{2},0)$。
③ 连线：过这两点作直线，则直线$y = 2x - 3$即为所求作的函数图象。
(2)
① 列表：
| $x$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ |
| -- | -- | -- |
| $y$ | $1$ | $0$ |
② 描点：在平面直角坐标系中描出点$(0,1)$，$(-\frac{1}{2},0)$。
③ 连线：过这两点作直线，则直线$y = 2x + 1$即为所求作的函数图象。
(3)
① 列表：
| $x$ | $0$ | $-2$ |
| -- | -- | -- |
| $y$ | $-2$ | $0$ |
② 描点：在平面直角坐标系中描出点$(0,-2)$，$(-2,0)$。
③ 连线：过这两点作直线，则直线$y = -x - 2$即为所求作的函数图象。
(4)
① 列表：
| $x$ | $0$ | $-3$ |
| -- | -- | -- |
| $y$ | $-3$ | $0$ |
② 描点：在平面直角坐标系中描出点$(0,-3)$，$(-3,0)$。
③ 连线：过这两点作直线，则直线$y = -x - 3$即为所求作的函数图象。

7. 已知一次函数 $ y = ( 2 m + 4 ) x + ( 5 - n ) $。
(1) 当 $ m $ 的取值范围是多少时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(2) 当 $ n $ 的取值范围是多少时,函数图象与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴下方？
(3) 当 $ m $,$ n $ 为何值时,函数图象过原点？

(1) 一次函数$y=(2m + 4)x+(5 - n)$，当斜率$2m + 4＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。解不等式$2m + 4＞0$，得$2m＞-4$，$m＞-2$。
(2) 函数与$y$轴交点的横坐标为$0$，此时$y=5 - n$。交点在$x$轴下方，即$5 - n＜0$，解得$n＞5$。
(3) 函数图象过原点$(0,0)$，则当$x=0$时，$y=0$，且斜率存在（一次函数）。所以$\begin{cases}2m + 4\neq0\\5 - n=0\end{cases}$，解得$m\neq-2$，$n=5$。
(1)$m＞-2$；(2)$n＞5$；(3)$m\neq-2$且$n=5$

8. 求在直线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } $ 上,且到 $ x $ 轴或 $ y $ 轴距离为 $ 1 $ 的点的坐标。

1. 到$x$轴距离为1，即$|y|=1$：
当$y=1$时，代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$1=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，解得$x=1$，点为$(1,1)$；
当$y=-1$时，代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$-1=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，解得$x=-3$，点为$(-3,-1)$。
2. 到$y$轴距离为1，即$|x|=1$：
当$x=1$时，代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$y=1$，点为$(1,1)$（与上述重复）；
当$x=-1$时，代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，得$y=0$，点为$(-1,0)$。
综上，所求点的坐标为$(1,1)$，$(-3,-1)$，$(-1,0)$。