1. 如图,已知一次函数 $ y = \frac{1}{2}x - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,点 $ C(-4,n) $ 在该函数的图象上,连接 $ OC $。求点 $ A $,$ B $ 的坐标和 $ \triangle OAC $ 的面积。

解：
1. 求点A的坐标
令 $ y = 0 $，则 $ \frac{1}{2}x - 3 = 0 $，解得 $ x = 6 $。
∴ $ A(6, 0) $。
2. 求点B的坐标
令 $ x = 0 $，则 $ y = \frac{1}{2} × 0 - 3 = -3 $。
∴ $ B(0, -3) $。
3. 求点C的坐标
∵ 点 $ C(-4, n) $ 在直线 $ y = \frac{1}{2}x - 3 $ 上，
∴ $ n = \frac{1}{2} × (-4) - 3 = -2 - 3 = -5 $。
∴ $ C(-4, -5) $。
4. 求$\triangle OAC$的面积
$ OA = 6 $（点A到原点的距离），
点C到x轴的距离为 $ |n| = |-5| = 5 $（即$\triangle OAC$中OA边上的高）。
∴ $ S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} × OA × |n| = \frac{1}{2} × 6 × 5 = 15 $。
结论：
$ A(6, 0) $，$ B(0, -3) $，$\triangle OAC$的面积为 $ 15 $。

2. 如图,直线 $ l $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A(4,0) $,$ B(0,5) $,把直线 $ l $ 沿 $ y $ 轴向下平移 $ 3 $ 个单位长度,得到直线 $ m $,且直线 $ m $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ C $,$ D $。
(1) 求直线 $ l $ 的函数表达式；
(2) 求四边形 $ ABDC $ 的面积。

(1)设直线$l$的函数表达式为$y = kx + b$，
将$A(4,0)$，$B(0,5)$代入得：
$\begin{cases}4k + b = 0, \\b = 5.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -\frac{5}{4}, \\b = 5.\end{cases}$
所以直线$l$的函数表达式为$y = -\frac{5}{4}x + 5$。
(2)直线$l$沿$y$轴向下平移$3$个单位长度得到直线$m$，
则直线$m$的函数表达式为$y = -\frac{5}{4}x + 5 - 3 = -\frac{5}{4}x + 2$。
当$x = 0$时，$y = 2$，即$D(0,2)$；
当$y = 0$时，$-\frac{5}{4}x + 2 = 0$，解得$x=\frac{8}{5}$，即$C(\frac{8}{5},0)$。
$S_{四边形ABDC}=S_{\triangle ABO}-S_{\triangle DCO}$
$=\frac{1}{2}×4×5 - \frac{1}{2}×2×\frac{8}{5}$
$=10 - \frac{8}{5}$
$=\frac{42}{5}$
综上，答案为：(1)$y = -\frac{5}{4}x + 5$；(2)$\frac{42}{5}$。

3. 如图,一次函数的图象经过点 $ P(6,3) $ 和点 $ B(0,-4) $,与 $ x $ 轴交于点 $ A $。
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 点 $ M $ 在 $ y $ 轴上,且 $ \triangle ABM $ 的面积为 $ \frac{36}{7} $,求点 $ M $ 的坐标。

(1)设一次函数的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，
把$P(6,3)$，$B(0, - 4)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}6k + b = 3\\b = - 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{7}{6}\\b = - 4\end{cases}$
所以一次函数表达式为$y=\frac{7}{6}x - 4$。
(2)当$y = 0$时，$\frac{7}{6}x - 4 = 0$，
$\frac{7}{6}x=4$，
解得$x=\frac{24}{7}$，所以$A(\frac{24}{7},0)$。
已知$B(0,-4)$，则$OB = 4$，
设$M(0,m)$，则$BM=\vert m + 4\vert$。
$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}× OA× BM$（$OA$为底，$BM$为高，$OA=\frac{24}{7}$），
即$\frac{1}{2}×\frac{24}{7}×\vert m + 4\vert=\frac{36}{7}$，
$\vert m + 4\vert = 3$，
$m + 4 = 3$或$m + 4=-3$，
解得$m=-1$或$m = - 7$。
所以点$M$的坐标为$(0,-1)$或$(0,-7)$。

4. 如图,直线 $ l_1:y = -2x + 4 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,直线 $ l_2:y = -\frac{1}{2}x - 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ C $,$ D $ 两点。
(1) 求四边形 $ ABCD $ 的面积；
(2) 直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 交于点 $ P $,求 $ \triangle PAD $ 的面积。

(1) $ 28 $；(2) $ \frac{28}{3} $。

(1) 求A、B、C、D坐标：
对于$ l_1: y=-2x+4 $，与x轴交于A，令$ y=0 $，得$ x=2 $，则$ A(2,0) $；与y轴交于B，令$ x=0 $，得$ y=4 $，则$ B(0,4) $。
对于$ l_2: y=-\frac{1}{2}x-3 $，与x轴交于C，令$ y=0 $，得$ x=-6 $，则$ C(-6,0) $；与y轴交于D，令$ x=0 $，得$ y=-3 $，则$ D(0,-3) $。
四边形$ ABCD $面积：
$ AC $在x轴上，长度$ AC=2-(-6)=8 $。
$ S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC} $，其中$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× |y_B|=\frac{1}{2}×8×4=16 $，$ S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AC× |y_D|=\frac{1}{2}×8×3=12 $。
故$ S_{ABCD}=16+12=28 $。
(2) 求交点P坐标：
联立$ l_1 $与$ l_2 $方程：$ \begin{cases} y=-2x+4 \\ y=-\frac{1}{2}x-3 \end{cases} $，解得$ -2x+4=-\frac{1}{2}x-3 $，$ -\frac{3}{2}x=-7 $，$ x=\frac{14}{3} $，代入$ l_1 $得$ y=-\frac{16}{3} $，则$ P\left( \frac{14}{3}, -\frac{16}{3} \right) $。
$ \triangle PAD $面积：
顶点$ P\left( \frac{14}{3}, -\frac{16}{3} \right) $，$ A(2,0) $，$ D(0,-3) $。
用坐标面积公式：$ S=\frac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right| $，代入得：
$ S=\frac{1}{2}\left| \frac{14}{3}(0+3)+2(-3+\frac{16}{3})+0(-\frac{16}{3}-0) \right|=\frac{1}{2}\left| 14+\frac{14}{3} \right|=\frac{28}{3} $。

5. 如图,已知一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 4 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点。
(1) 求 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(2) 点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,连接 $ OC $,若直线 $ OC $ 将 $ \triangle AOB $ 分成面积比为 $ 1:3 $ 的两部分,求点 $ C $ 的坐标。

(1) 对于点 A（x轴交点），令 $ y=0 $，则 $ 0=-\frac{1}{2}x+4 $，解得 $ x=8 $，故 $ A(8,0) $；
对于点 B（y轴交点），令 $ x=0 $，则 $ y=4 $，故 $ B(0,4) $。
(2) △AOB 面积为 $ \frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16 $，面积比1:3对应面积为4和12。
设 $ C(x,y) $，因 $ C $ 在 AB 上，故 $ y=-\frac{1}{2}x+4 $（$ 0 \leq x \leq 8 $）。
情况1： $ S_{\triangle AOC}:S_{\triangle BOC}=1:3 $，则 $ S_{\triangle AOC}=4 $，$ S_{\triangle BOC}=12 $。
$ S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2} × OA × y = 4y = 4 $，得 $ y=1 $，代入 $ y=-\frac{1}{2}x+4 $，解得 $ x=6 $，故 $ C(6,1) $。
情况2： $ S_{\triangle AOC}:S_{\triangle BOC}=3:1 $，则 $ S_{\triangle AOC}=12 $，$ S_{\triangle BOC}=4 $。
$ S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2} × OB × x = 2x = 4 $，得 $ x=2 $，代入 $ y=-\frac{1}{2}x+4 $，解得 $ y=3 $，故 $ C(2,3) $。
综上，点 C 的坐标为 $ (2,3) $ 或 $ (6,1) $。
(1) $ A(8,0) $，$ B(0,4) $；
(2) $ (2,3) $ 或 $ (6,1) $。