1. 下列实数中,为有理数的是()
A.$\sqrt{2}$
B.$\pi$
C.$\sqrt[3]{6}$
D.1

D

有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数也属于有理数。选项A中$\sqrt{2}$是无限不循环小数，为无理数；选项B中$\pi$是无限不循环小数，为无理数；选项C中$\sqrt[3]{6}$是无限不循环小数，为无理数；选项D中1是整数，属于有理数。

2. 估计 $\sqrt{13}$ 的大小在()
A.2 和 3 之间
B.3 和 4 之间
C.4 和 5 之间
D.5 和 6 之间

B

因为 $3^2 = 9$，$4^2 = 16$，且 $9 ＜ 13 ＜ 16$，所以 $3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$。

3. 如图,在数轴上,点 $O$ 对应数字 0,点 $A$ 对应数字 2,过点 $A$ 作 $AB$ 垂直于数轴,且 $AB = 4$,连接 $OB$,绕点 $O$ 顺时针旋转 $OB$,使点 $B$ 落在数轴上的点 $C$ 处,则点 $C$ 所表示的数介于()

A.3 和 4 之间
B.4 和 5 之间
C.5 和 6 之间
D.6 和 7 之间

B

∵点O对应0，点A对应2，AB⊥数轴，AB=4，
∴OA=2，AB=4，∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}$，
∵绕点O顺时针旋转OB，点B落在数轴上点C处，
∴OC=OB=$\sqrt{20}$，
∵16＜20＜25，
∴4＜$\sqrt{20}$＜5，
∴点C表示的数介于4和5之间。

4. (1) $\frac{36}{25}$ 的算术平方根是,$\sqrt{16}$ 的平方根是,$-\frac{27}{125}$ 的立方根是；
(2) 若 $|x - 2| + \sqrt{y - 5} = 0$,则 $xy$ 的平方根是.

(1) $\frac{6}{5}$，$\pm 2$，$-\frac{3}{5}$；
(2) $\pm \sqrt{10}$。
填为：
(1) $\boxed{\dfrac{6}{5}}$, $\boxed{\pm 2}$, $\boxed{-\dfrac{3}{5}}$;
(2) $\boxed{\pm \sqrt{10}}$

(1)
$\frac{36}{25}$ 的算术平方根：$\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$。
$\sqrt{16}$ 的平方根：$\sqrt{16} = 4$，$4$ 的平方根为 $\pm 2$。
$-\frac{27}{125}$ 的立方根：$\sqrt[3]{-\frac{27}{125}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = -\frac{3}{5}$。
(2)
由 $|x - 2| + \sqrt{y - 5} = 0$，绝对值与平方根均非负，故 $|x - 2| = 0$ 且 $\sqrt{y - 5} = 0$，解得 $x = 2$，$y = 5$。
$xy = 2 × 5 = 10$，其平方根为 $\pm \sqrt{10}$。

5. (1) 若 $(x + 1)^3 = -8$,则 $x$ 的值是；
(2) 若 $(2x - 4)^2 = 16$,则 $x$ 的值是.

(1) $-3$；(2) $4$或$0$（或 $0$ 或 $4$）。

(1) 由 $(x + 1)^3 = -8$，根据立方根的定义，有 $x + 1 = \sqrt[3]{-8} = -2$，解得 $x = -2 - 1 = -3$。
(2) 由 $(2x - 4)^2 = 16$，根据平方根的定义，有 $2x - 4 = \pm 4$。
分两种情况：
当 $2x - 4 = 4$ 时，解得 $x = 4$；
当 $2x - 4 = -4$ 时，解得 $x = 0$。

6. (1) 如果 $1 + \sqrt{5}$ 的整数部分是 $a$,小数部分是 $b$,那么 $a = $,$b = $；
(2) 若 $3x + 1$ 的平方根为 $\pm 2$,$4y - 1$ 的立方根为 3,则 $y - 2x$ 的算术平方根为.

(1)3，$\sqrt{5}-2$；(2)$\sqrt{5}$

(1) 因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$3＜1+\sqrt{5}＜4$，整数部分$a=3$，小数部分$b=1+\sqrt{5}-3=\sqrt{5}-2$；
(2) 由$3x + 1$的平方根为$\pm 2$，得$3x + 1=(\pm 2)^2=4$，解得$x=1$；由$4y - 1$的立方根为$3$，得$4y - 1=3^3=27$，解得$y=7$。则$y - 2x=7 - 2×1=5$，其算术平方根为$\sqrt{5}$。

7. 计算：
(1) $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) - (-\frac{1}{3})^{-2} + |1 - \sqrt{2}| - (\pi - 3)^0 - \frac{2}{\sqrt{2}}$；
(2) $(\sqrt{20} + \sqrt{5}) ÷ \sqrt{5} - \sqrt{\frac{1}{3}} × 12 - \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$；
(3) $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$.

(1)
$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)=5-1=4$（根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$）；
$(-\frac{1}{3})^{-2}=(-3)^2 = 9$（根据负整数指数幂公式$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a\neq0)$）；
$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$（因为$\sqrt{2}\approx1.414\gt1$）；
$(\pi - 3)^0 = 1$（根据零指数幂公式$a^0 = 1(a\neq0)$）；
$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$（分母有理化）；
原式$=4 - 9+\sqrt{2}-1 - 1-\sqrt{2}$
$=-7$
(2)
$(\sqrt{20}+\sqrt{5})÷\sqrt{5}=\sqrt{20}÷\sqrt{5}+\sqrt{5}÷\sqrt{5}=2 + 1=3$（根据除法分配律$\frac{a + b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$）；
$\sqrt{\frac{1}{3}}×12=\sqrt{\frac{1}{3}×144}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$；
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3 - 1}=\sqrt{3}-1$（分母有理化）；
原式$=3-4\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)$
$=3-4\sqrt{3}-\sqrt{3}+1$
$=4 - 5\sqrt{3}$
(3)
$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=5 - 3=2$（根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$）；
$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}=(\sqrt{6})^2+2\sqrt{6}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=6 + 4\sqrt{3}+2=8 + 4\sqrt{3}$（根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab + b^2$）；
原式$=2-(8 + 4\sqrt{3})$
$=2-8-4\sqrt{3}$
$=-6 - 4\sqrt{3}$

8. 在数轴上表示数 $a$,$b$,$c$ 的点的位置如图所示,化简：$|c| - \sqrt{(c + a)^2} + \sqrt{b^2} - |a - b|$.

$2a$

由数轴知：$c ＜ 0 ＜ a ＜ b$，且$|c| ＞ a$（$c$到原点距离大于$a$到原点距离）。
步骤1：化简各项
$|c|$：$c$为负数，$|c|=-c$；
$\sqrt{(c+a)^2}$：$\sqrt{x^2}=|x|$，$c+a ＜ 0$（$|c| ＞ a$），故$|c+a|=-(c+a)=-c-a$；
$\sqrt{b^2}$：$b$为正数，$\sqrt{b^2}=|b|=b$；
$|a - b|$：$a ＜ b$，$|a - b|=b - a$。
步骤2：代入原式化简
原式$=|c| - \sqrt{(c+a)^2} + \sqrt{b^2} - |a - b|$
$=(-c) - (-c - a) + b - (b - a)$
$=-c + c + a + b - b + a$
$=2a$