10. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,已知小巷的宽度 $ CE $ 是 $ 2.2 $ 米。一架梯子 $ AB $ 斜靠在左墙时,梯子顶端 $ A $ 与地面点 $ C $ 的距离是 $ 2.4 $ 米。如果保持梯子底端 $ B $ 位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端 $ D $ 与地面点 $ E $ 的距离是 $ 2 $ 米。求此时梯子底端 $ B $ 到地面点 $ E $ 的距离。

设梯子底端$ B $到点$ E $的距离为$ x $米。
因为小巷宽度$ CE=2.2 $米，且$ C $、$ B $、$ E $在同一直线上，所以$ B $到点$ C $的距离为$ (2.2 - x) $米。
当梯子斜靠在左墙时，在$ Rt\triangle ABC $中，$ AC=2.4 $米，$ BC=(2.2 - x) $米，梯子长$ AB $满足：
$ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2.4^2 + (2.2 - x)^2 $。
当梯子斜靠在右墙时，在$ Rt\triangle DEB $中，$ DE=2 $米，$ BE=x $米，梯子长$ DB $满足：
$ DB^2 = DE^2 + BE^2 = 2^2 + x^2 $。
由于梯子长度不变，即$ AB=DB $，故$ AB^2=DB^2 $，可得方程：
$ 2.4^2 + (2.2 - x)^2 = 2^2 + x^2 $。
展开并化简：
$ 5.76 + (4.84 - 4.4x + x^2) = 4 + x^2 $
$ 5.76 + 4.84 - 4.4x + x^2 = 4 + x^2 $
$ 10.6 - 4.4x = 4 $
$ -4.4x = -6.6 $
$ x = 1.5 $。
答：梯子底端$ B $到地面点$ E $的距离为$ 1.5 $米。

11. 在 $ \triangle DEF $ 中,$ DE = 15 $,$ EF = 13 $,$ DF = 4 $,则 $ \triangle DEF $ 的面积是 。

18

过E作EH⊥DF于H，设DH=x，则HF=4-x。在Rt△DEH中，EH²=DE²-DH²=15²-x²；在Rt△EFH中，EH²=EF²-HF²=13²-(4-x)²。所以15²-x²=13²-(4-x)²，解得x=12。则EH²=15²-12²=81，EH=9。面积S=DF×EH÷2=4×9÷2=18。

12. 如图,已知 $ AB \perp BC $,$ AB \perp AD $,$ AD = 5 $,$ BC = 10 $,$ AE = 6.5 $,点 $ E $ 是 $ CD $ 的中点,求 $ AB $ 的长。

12

1. 延长AE交BC于点F。
2. ∵AB⊥AD，AB⊥BC，∴AD//BC（垂直于同一直线的两直线平行），∴∠ADE=∠FCE（两直线平行，内错角相等）。
3. ∵E是CD中点，∴DE=CE。
4. 在△ADE和△FCE中，∠ADE=∠FCE，DE=CE，∠AED=∠FEC（对顶角相等），∴△ADE≌△FCE（ASA）。
5. ∴AE=EF=6.5，AD=FC=5。
6. ∴AF=AE+EF=6.5+6.5=13，BF=BC-FC=10-5=5。
7. ∵AB⊥BC，∴△ABF是直角三角形，∠ABF=90°。
8. 由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即AB²+5²=13²。
9. ∴AB²=169-25=144，∴AB=12。

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,点 $ D $,$ E $ 均在边 $ BC $ 上,且 $ \angle DAE = 45^{\circ} $,若 $ BD = 4 $,$ CE = 3 $,求 $ DE $ 的长。

5

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=∠ACB=45°。
将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，使AB与AC重合，得△ABD≌△ACF。
∴AD=AF，∠BAD=∠CAF，BD=CF=4，∠ACF=∠B=45°。
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°。
∵∠BAD=∠CAF，∴∠CAF+∠CAE=∠EAF=45°=∠DAE。
在△ADE和△AFE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴DE=EF。
∵∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，CE=3，CF=4，
∴在Rt△ECF中，EF=√(CE²+CF²)=√(3²+4²)=5，∴DE=EF=5。