12.如图是一个 H 型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面积是乙水箱底面积的 2 倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止。下列图象能大致反映甲水箱的水面高度$y$与注水时间$x$之间关系的图象是（ ）
答案
1. 首先分析注水过程：
设乙水箱底面积为$S$，则甲水箱底面积为$2S$，连接管在水箱中间处，设水箱高度为$h$。
阶段一：在甲水箱水面高度未达到连接管之前（$0\leq x\lt t_{1}$）：
因为水管往甲水箱中持续匀速注水，根据$V = S_{甲}y$（$V$是注水体积，$S_{甲}$是甲水箱底面积，$y$是甲水箱水面高度），$V = kx$（$k$是注水速度，$k\gt0$），所以$y=\frac{k}{2S}x$，$y$与$x$成正比例关系，图象是过原点的线段。
阶段二：当甲水箱水面高度达到连接管后（$t_{1}\leq x\lt t_{2}$）：
此时水会流入乙水箱，由于甲水箱底面积是乙水箱底面积的$2$倍，根据连通器原理，水的体积$V = kx$，$V = 2S×\frac{h}{2}+S×\frac{h}{2}=\frac{3}{2}Sh$（在这个阶段注水体积），且在这个阶段甲、乙水箱水面同时上升，且上升速度相同（因为$S_{甲}:S_{乙}=2:1$，注水速度一定，根据$\Delta V = S\Delta y$，$\Delta y$相同），甲水箱水面高度不变（因为甲水箱水面已到连接管处，水流入乙水箱，甲水箱水面高度$y=\frac{h}{2}$保持不变）。
阶段三：当乙水箱水面高度达到连接管后（$t_{2}\leq x\lt t_{3}$）：
此时再注水，甲、乙水箱水面同时上升，$V = kx$，$V=(2S + S)y_{1}$（$y_{1}$是从连接管处开始上升的高度），$y - \frac{h}{2}=y_{1}$，$y=\frac{k}{3S}x+( \frac{h}{2}-\frac{k}{3S}t_{2})$，$y$与$x$成一次函数关系，且斜率$\frac{k}{3S}\lt\frac{k}{2S}$（因为$3S\gt2S$，$k\gt0$）。
2. 然后看图象：
符合上述分析的图象是$D$。
故答案是$D$。
设乙水箱底面积为$S$，则甲水箱底面积为$2S$，连接管在水箱中间处，设水箱高度为$h$。
阶段一：在甲水箱水面高度未达到连接管之前（$0\leq x\lt t_{1}$）：
因为水管往甲水箱中持续匀速注水，根据$V = S_{甲}y$（$V$是注水体积，$S_{甲}$是甲水箱底面积，$y$是甲水箱水面高度），$V = kx$（$k$是注水速度，$k\gt0$），所以$y=\frac{k}{2S}x$，$y$与$x$成正比例关系，图象是过原点的线段。
阶段二：当甲水箱水面高度达到连接管后（$t_{1}\leq x\lt t_{2}$）：
此时水会流入乙水箱，由于甲水箱底面积是乙水箱底面积的$2$倍，根据连通器原理，水的体积$V = kx$，$V = 2S×\frac{h}{2}+S×\frac{h}{2}=\frac{3}{2}Sh$（在这个阶段注水体积），且在这个阶段甲、乙水箱水面同时上升，且上升速度相同（因为$S_{甲}:S_{乙}=2:1$，注水速度一定，根据$\Delta V = S\Delta y$，$\Delta y$相同），甲水箱水面高度不变（因为甲水箱水面已到连接管处，水流入乙水箱，甲水箱水面高度$y=\frac{h}{2}$保持不变）。
阶段三：当乙水箱水面高度达到连接管后（$t_{2}\leq x\lt t_{3}$）：
此时再注水，甲、乙水箱水面同时上升，$V = kx$，$V=(2S + S)y_{1}$（$y_{1}$是从连接管处开始上升的高度），$y - \frac{h}{2}=y_{1}$，$y=\frac{k}{3S}x+( \frac{h}{2}-\frac{k}{3S}t_{2})$，$y$与$x$成一次函数关系，且斜率$\frac{k}{3S}\lt\frac{k}{2S}$（因为$3S\gt2S$，$k\gt0$）。
2. 然后看图象：
符合上述分析的图象是$D$。
故答案是$D$。
13. 用固定的速度向容器里注水，水面的高度 $h$ 和注水时间 $t$ 的函数关系的大致图象如图所示，则该容器可能是(
A
)答案
A
解析
固定速度注水，单位时间注水量相同。由体积公式$V = S · h$（$V$为注水量，$S$为容器底面积，$h$为水面高度），可知$h$的变化快慢由$S$决定：$S$越大，$h$上升越慢（图象斜率越小）；$S$越小，$h$上升越快（图象斜率越大）。题中图象为两段线段，第一段斜率小（上升慢，$S$大），第二段斜率大（上升快，$S$小），即容器底面积先大后小。选项A为下粗上细的组合圆柱，符合底面积先大后小，故容器为A。
14. (2025 江西) 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者. 甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
D
解析
设跳跃高度为$h$，身高为$x$，比值为$k$，则$k = \frac{h}{x}$，即$h = kx$。在坐标系中，该函数为过原点的直线，$k$为斜率，斜率越大，比值越大。观察图像，丁同学对应的直线斜率最大，故丁的比值最大。
15. (2025 开封一模) 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，现定义：平面内，一点与一个图形上所有点的连线中，最短线段叫做这个点到该图形的距离. 如图 1，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，中心为点 $O$；在该正方形外有一点 $P$，$PO // AB$，且 $PO = 2$. 当点 $P$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转时，设旋转角的度数为 $x$，点 $P$ 到正方形的距离为 $y$，图 2 是点 $P$ 在旋转过程中，$y$ 随 $x$ 的变化而变化的函数图象，则 $a + b$ 的值为(
A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$3 - \sqrt{2}$
D.$2$
C
)A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$3 - \sqrt{2}$
D.$2$
答案
C
解析
以正方形中心O为原点建立坐标系，正方形顶点坐标A(-1,1)、B(1,1)、C(1,-1)、D(-1,-1)，边方程分别为x=±1、y=±1。点P绕O顺时针旋转，坐标为(2cosx,-2sinx)，OP=2。
点P到正方形距离y的定义：点P与正方形上所有点连线的最短距离，需比较到四边（线段）距离和到四顶点距离。
关键分析：
1. 最大值b：当P在坐标轴上（x=0°,90°,180°,270°）时，P坐标为(±2,0)或(0,±2)。此时P到对应边（垂足在边上）的距离为2-1=1，此为最大距离，故b=1。
2. 最小值a：当P在正方形对角线方向（x=45°,135°,225°,315°）时，P坐标为(±√2,±√2)。以P(√2,√2)为例，到顶点B(1,1)的距离为√[(√2-1)²+(√2-1)²]=2-√2，此为最小距离，故a=2-√2。
结论：
a+b=(2-√2)+1=3-√2。
点P到正方形距离y的定义：点P与正方形上所有点连线的最短距离，需比较到四边（线段）距离和到四顶点距离。
关键分析：
1. 最大值b：当P在坐标轴上（x=0°,90°,180°,270°）时，P坐标为(±2,0)或(0,±2)。此时P到对应边（垂足在边上）的距离为2-1=1，此为最大距离，故b=1。
2. 最小值a：当P在正方形对角线方向（x=45°,135°,225°,315°）时，P坐标为(±√2,±√2)。以P(√2,√2)为例，到顶点B(1,1)的距离为√[(√2-1)²+(√2-1)²]=2-√2，此为最小距离，故a=2-√2。
结论：
a+b=(2-√2)+1=3-√2。
