例2 已知矩形 $ ABCD $.
(1) 如图 1,连接 $ BD $,将 $ △BCD $ 沿对角线 $ BD $ 折叠,点 $ C $ 落在矩形外部的点 $ E $ 处, $ BE $ 与 $ AD $ 相交于点 $ O $. 已知 $ AB = 4 $, $ BC = 8 $,求 $ △BOD $ 的面积.
思路点拨
利用折叠的性质得到一组等角,再结合矩形对边平行所得内错角相等可以证得等腰三角形,从而得到 $ OB = OD $.
(2) 如图 2, $ E $ 为边 $ CD $ 上一点,将 $ △BCE $ 沿 $ BE $ 折叠,点 $ C $ 落在边 $ AD $ 上的点 $ F $ 处. 已知 $ AB = 6 $, $ AD = 10 $,求 $ CE $ 的长.
变式
将(2)中的条件“已知 $ AB = 6 $, $ AD = 10 $”改为“已知 $ BC = 15 $, $ \frac{DE}{DC} = \frac{4}{9} $”,则 $ AB $ 的长为
思路点拨
“一线三垂直”模型:当点 $ A,F,D $ 三点共线时,由 $ ∠A = ∠D = ∠BFE = 90° $ 可得 $ ∠ABF = ∠DFE $ 或 $ ∠AFB = ∠DEF $,证得 $ △ABF ∽ △DFE $,利用对应边成比例求解.
(3) 如图 3, $ E $ 为边 $ CD $ 的中点,将 $ △BCE $ 沿 $ BE $ 折叠,点 $ C $ 落在矩形内部的点 $ F $ 处,延长 $ BF $ 交 $ AD $ 于点 $ G $,连接 $ EG $. 已知 $ AG = 7 $, $ DG = 1 $,求 $ AB $ 的长.
(4) 如图 4, $ E,F $ 分别为边 $ BC,AD $ 上一点,将矩形 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠,点 $ C $ 恰好落在点 $ A $ 处,点 $ D $ 落在矩形外部的点 $ G $ 处. 若 $ AB = 2\sqrt{3} $, $ EF = 4 $,求 $ AD $ 的长.
(1) 如图 1,连接 $ BD $,将 $ △BCD $ 沿对角线 $ BD $ 折叠,点 $ C $ 落在矩形外部的点 $ E $ 处, $ BE $ 与 $ AD $ 相交于点 $ O $. 已知 $ AB = 4 $, $ BC = 8 $,求 $ △BOD $ 的面积.
思路点拨
利用折叠的性质得到一组等角,再结合矩形对边平行所得内错角相等可以证得等腰三角形,从而得到 $ OB = OD $.
(2) 如图 2, $ E $ 为边 $ CD $ 上一点,将 $ △BCE $ 沿 $ BE $ 折叠,点 $ C $ 落在边 $ AD $ 上的点 $ F $ 处. 已知 $ AB = 6 $, $ AD = 10 $,求 $ CE $ 的长.
变式
将(2)中的条件“已知 $ AB = 6 $, $ AD = 10 $”改为“已知 $ BC = 15 $, $ \frac{DE}{DC} = \frac{4}{9} $”,则 $ AB $ 的长为
9
.思路点拨
“一线三垂直”模型:当点 $ A,F,D $ 三点共线时,由 $ ∠A = ∠D = ∠BFE = 90° $ 可得 $ ∠ABF = ∠DFE $ 或 $ ∠AFB = ∠DEF $,证得 $ △ABF ∽ △DFE $,利用对应边成比例求解.
(3) 如图 3, $ E $ 为边 $ CD $ 的中点,将 $ △BCE $ 沿 $ BE $ 折叠,点 $ C $ 落在矩形内部的点 $ F $ 处,延长 $ BF $ 交 $ AD $ 于点 $ G $,连接 $ EG $. 已知 $ AG = 7 $, $ DG = 1 $,求 $ AB $ 的长.
(4) 如图 4, $ E,F $ 分别为边 $ BC,AD $ 上一点,将矩形 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠,点 $ C $ 恰好落在点 $ A $ 处,点 $ D $ 落在矩形外部的点 $ G $ 处. 若 $ AB = 2\sqrt{3} $, $ EF = 4 $,求 $ AD $ 的长.
答案
(1)10；(2)10/3；变式9；(3)4√2；(4)6
解析
(1) 矩形ABCD中，AD=BC=8，AB=4，AD//BC，∠ADB=∠DBC。折叠后∠EBD=∠DBC，故∠ADB=∠EBD，OB=OD。设OA=x，则OD=8-x，OB=8-x。在Rt△AOB中，4²+x²=(8-x)²，解得x=3，OD=5。S△BOD=1/2×5×4=10。
(2) 设CE=EF=x，DE=6-x，BF=BC=10。Rt△ABF中，AF=√(10²-6²)=8，FD=10-8=2。Rt△FDE中，2²+(6-x)²=x²，解得x=10/3。
变式：设AB=DC=y，DE=4y/9，CE=5y/9，BF=BC=15。设AF=a，FD=15-a。Rt△ABF中y²+a²=15²；Rt△FDE中(15-a)²+(4y/9)²=(5y/9)²，得15-a=y/3，a=15-y/3。代入得y²+(15-y/3)²=225，解得y=9。
(3) 设AB=x，AD=8，E为CD中点，CE=EF=x/2。坐标法设A(0,0),B(0,x),C(8,x),D(8,0),E(8,x/2)。折叠后F在BG上，G(7,0)。直线BG：y=-x/7 x + x，F(p,q)在BG上且BE垂直CF。解得p=56/9，q=x/9。由BF=8得(56/9)²+(x/9 - x)²=64，解得x=4√2。
(4) 设AD=a，AC=√(a²+12)，EF垂直平分AC，O为中点。F(a/2+6/a,0)，E(a/2-6/a,2√3)。EF=√[(12/a)²+(2√3)²]=4，解得a=6。
(2) 设CE=EF=x，DE=6-x，BF=BC=10。Rt△ABF中，AF=√(10²-6²)=8，FD=10-8=2。Rt△FDE中，2²+(6-x)²=x²，解得x=10/3。
变式：设AB=DC=y，DE=4y/9，CE=5y/9，BF=BC=15。设AF=a，FD=15-a。Rt△ABF中y²+a²=15²；Rt△FDE中(15-a)²+(4y/9)²=(5y/9)²，得15-a=y/3，a=15-y/3。代入得y²+(15-y/3)²=225，解得y=9。
(3) 设AB=x，AD=8，E为CD中点，CE=EF=x/2。坐标法设A(0,0),B(0,x),C(8,x),D(8,0),E(8,x/2)。折叠后F在BG上，G(7,0)。直线BG：y=-x/7 x + x，F(p,q)在BG上且BE垂直CF。解得p=56/9，q=x/9。由BF=8得(56/9)²+(x/9 - x)²=64，解得x=4√2。
(4) 设AD=a，AC=√(a²+12)，EF垂直平分AC，O为中点。F(a/2+6/a,0)，E(a/2-6/a,2√3)。EF=√[(12/a)²+(2√3)²]=4，解得a=6。
