4. 【结合三角形中位线定理】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 9 $，$ AC = 5 $，$ E $ 是 $ BC $ 的中点。若 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $，过点 $ C $ 作 $ CD ⊥ AD $ 于点 $ D $，连接 $ DE $，则线段 $ DE $ 的长为 。

2

延长CD交AB于点F。
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠CAD。
∵CD⊥AD，∴∠ADF=∠ADC=90°。
在△ADF和△ADC中，∠FAD=∠CAD，AD=AD，∠ADF=∠ADC，
∴△ADF≌△ADC（ASA），∴AF=AC=5，DF=DC。
∵AB=9，∴BF=AB - AF=9 - 5=4。
∵E是BC中点，D是CF中点，
∴DE是△BCF的中位线，∴DE=1/2 BF=1/2×4=2。

5. 【全等三角形】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线，过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ BD $，交 $ BD $ 的延长线于点 $ E $。若 $ CE = 3 $，则 $ BD $ 的长为 。

6

延长CE交BA延长线于点F。
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°。
在△BEF和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FBE=∠CBE \\ BE=BE \\ ∠BEF=∠BEC \end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=CE=3，CF=CE+EF=6。
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，
∴∠ABD+∠ADB=90°，∠DCE+∠CDE=90°，
又∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠DCE。
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠ACF \\ AB=AC \\ ∠BAD=∠CAF=90° \end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF=6。

6. 【相似三角形】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 3 $，$ BC = 6 $，$ AC = 5 $，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $，则 $ AD $ 的长为 。

$\frac{5}{3}$

1. 首先，根据角平分线定理：
角平分线定理：在$\triangle ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，则$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$。
已知$AB = 3$，$BC = 6$，设$AD=x$，因为$AC = 5$，所以$DC = 5 - x$。
2. 然后，代入角平分线定理公式：
由$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$，可得$\frac{x}{5 - x}=\frac{3}{6}$。
交叉 - 相乘得：$6x=3(5 - x)$。
展开括号：$6x = 15-3x$。
移项：$6x + 3x=15$（根据等式性质，把含有$x$的项移到等号左边）。
合并同类项：$9x = 15$。
求解$x$：$x=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$。
所以$AD$的长为$\frac{5}{3}$。

7. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，点 $ E $ 是边 $ CD $ 上一点，且 $ AE $ 平分 $ \angle BAD $，$ BE $ 平分 $ \angle ABC $。

求证：(1) $ AE ⊥ BE $；(2) $ DE = CE $。

(1)见解析；(2)见解析

(1)∵AD//BC，∴∠BAD+∠ABC=180°。∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠BAE=1/2∠BAD，∠ABE=1/2∠ABC。∴∠BAE+∠ABE=1/2(∠BAD+∠ABC)=90°。在△ABE中，∠AEB=180°-(∠BAE+∠ABE)=90°，∴AE⊥BE。
(2)延长AE交BC延长线于点F。∵AD//BC，∴∠DAE=∠F。∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠F，∴AB=BF。∵BE平分∠ABC，∴BE⊥AF且AE=EF（等腰三角形三线合一）。在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECF，∠AED=∠FEC，AE=FE，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴DE=CE。