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1. 代数式$\frac{x+y}{6},\frac{1}{a-1},x+\frac{2}{x},\frac{x-y}{a+b},\frac{x}{π}$中，分式有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）。A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. B
解析
【分析】
解题的核心是依据分式的定义判断：若代数式的分母中含有字母，则为分式，需注意π是固定常数，不属于字母。解题时逐个检查每个代数式的分母是否含字母，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，且B中含有字母，$B≠0$）的式子为分式，逐个判断如下：
1. $\frac{x+y}{6}$：分母是常数6，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{1}{a-1}$：分母为$a-1$，含字母a，是分式；
3. $x+\frac{2}{x}$：含项$\frac{2}{x}$，分母含字母x，属于分式；
4. $\frac{x-y}{a+b}$：分母为$a+b$，含字母a、b，是分式；
5. $\frac{x}{π}$：分母π是常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，分式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是分式判断的基础题，解题时要特别注意π属于固定常数，不要误将其当作字母判断，同时不要漏看代数式中含分母带字母的项的情况。
【难度系数】
0.7
解题的核心是依据分式的定义判断：若代数式的分母中含有字母，则为分式，需注意π是固定常数，不属于字母。解题时逐个检查每个代数式的分母是否含字母，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，且B中含有字母，$B≠0$）的式子为分式，逐个判断如下：
1. $\frac{x+y}{6}$：分母是常数6，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{1}{a-1}$：分母为$a-1$，含字母a，是分式；
3. $x+\frac{2}{x}$：含项$\frac{2}{x}$，分母含字母x，属于分式；
4. $\frac{x-y}{a+b}$：分母为$a+b$，含字母a、b，是分式；
5. $\frac{x}{π}$：分母π是常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，分式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是分式判断的基础题，解题时要特别注意π属于固定常数，不要误将其当作字母判断，同时不要漏看代数式中含分母带字母的项的情况。
【难度系数】
0.7
2. 当$x=-1$时，下列分式有意义的是(
A.$\dfrac{1}{x+1}$
B.$\dfrac{2}{|x|-1}$
C.$\dfrac{x}{x-1}$
D.$\dfrac{4}{x^2 -1}$
C
).A.$\dfrac{1}{x+1}$
B.$\dfrac{2}{|x|-1}$
C.$\dfrac{x}{x-1}$
D.$\dfrac{4}{x^2 -1}$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断x=-1时哪个分式有意义，首先要明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此解题思路是：将x=-1分别代入四个选项的分母中计算数值，若分母计算结果不等于0，则该分式有意义，反之则无意义，逐一排查即可得到正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是：分母不为0。
将x=-1分别代入各选项的分母计算：
A选项：分母为$x+1$，代入得$-1+1=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求；
B选项：分母为$|x|-1$，代入得$|-1|-1=1-1=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求；
C选项：分母为$x-1$，代入得$-1-1=-2≠0$，分母不为0，分式有意义，符合要求；
D选项：分母为$x^2-1$，代入得$(-1)^2-1=1-1=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；代数式求值；绝对值运算
【点评】
本题属于基础题型，考查分式有意义的判定方法，解题时只需牢记“分式有意义则分母不为0”的规则，代入数值逐一验证即可快速得出结果，是分式部分的常规考题。
【难度系数】
0.9
要判断x=-1时哪个分式有意义，首先要明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此解题思路是：将x=-1分别代入四个选项的分母中计算数值，若分母计算结果不等于0，则该分式有意义，反之则无意义，逐一排查即可得到正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是：分母不为0。
将x=-1分别代入各选项的分母计算：
A选项：分母为$x+1$，代入得$-1+1=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求；
B选项：分母为$|x|-1$，代入得$|-1|-1=1-1=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求；
C选项：分母为$x-1$，代入得$-1-1=-2≠0$，分母不为0，分式有意义，符合要求；
D选项：分母为$x^2-1$，代入得$(-1)^2-1=1-1=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；代数式求值；绝对值运算
【点评】
本题属于基础题型，考查分式有意义的判定方法，解题时只需牢记“分式有意义则分母不为0”的规则，代入数值逐一验证即可快速得出结果，是分式部分的常规考题。
【难度系数】
0.9
3. 下列各式中,是最简分式的是(
A.$\frac{7ab}{4a^2}$
B.$\frac{x^2 - y^2}{(x + y)^2}$
C.$\frac{-x - y}{2x + 2y}$
D.$\frac{a^2 + b^2}{a + b}$
D
).A.$\frac{7ab}{4a^2}$
B.$\frac{x^2 - y^2}{(x + y)^2}$
C.$\frac{-x - y}{2x + 2y}$
D.$\frac{a^2 + b^2}{a + b}$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：逐个分析各选项，先对分子、分母中能因式分解的部分进行因式分解，再判断分子分母是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，不存在公因式的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 分母$4a^2 = 4a · a$，分子$7ab = 7b · a$，分子分母有公因式$a$，约分可得$\frac{7b}{4a}$，不是最简分式；
B. 分子$x^2 - y^2$用平方差公式因式分解为$(x+y)(x-y)$，分母为$(x+y)^2$，分子分母有公因式$x+y$，约分可得$\frac{x-y}{x+y}$，不是最简分式；
C. 分子$-x-y = -(x+y)$，分母$2x+2y = 2(x+y)$，分子分母有公因式$x+y$，约分可得$-\frac{1}{2}$，不是最简分式；
D. 分子$a^2 + b^2$无法因式分解，与分母$a+b$没有公因式，是最简分式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题是基础题型，核心考查最简分式的判定方法，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式等常见因式分解方法，注意区分平方差和平方和，避免错误分解$a^2+b^2$导致判断失误。
【难度系数】
0.7
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：逐个分析各选项，先对分子、分母中能因式分解的部分进行因式分解，再判断分子分母是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，不存在公因式的即为正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 分母$4a^2 = 4a · a$，分子$7ab = 7b · a$，分子分母有公因式$a$，约分可得$\frac{7b}{4a}$，不是最简分式；
B. 分子$x^2 - y^2$用平方差公式因式分解为$(x+y)(x-y)$，分母为$(x+y)^2$，分子分母有公因式$x+y$，约分可得$\frac{x-y}{x+y}$，不是最简分式；
C. 分子$-x-y = -(x+y)$，分母$2x+2y = 2(x+y)$，分子分母有公因式$x+y$，约分可得$-\frac{1}{2}$，不是最简分式；
D. 分子$a^2 + b^2$无法因式分解，与分母$a+b$没有公因式，是最简分式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题是基础题型，核心考查最简分式的判定方法，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式等常见因式分解方法，注意区分平方差和平方和，避免错误分解$a^2+b^2$导致判断失误。
【难度系数】
0.7
4. 分式$\frac{ab}{a-b}$中，若$a$，$b$都扩大到原来的3倍，则分式的值（
A.扩大到原来的3倍
B.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
C.扩大到原来的9倍
D.不变
A
）.A.扩大到原来的3倍
B.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
C.扩大到原来的9倍
D.不变
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这类字母扩大倍数后分式值变化的问题，核心思路是先按照题目要求写出扩大后的字母，代入原分式，再利用分式的基本性质化简，最后将化简后的结果和原分式比较，就能得出分式值的变化情况。具体操作时先将a替换为3a、b替换为3b，再分别计算新分式的分子和分母，约分后和原分式对比即可。
【解析】
当a、b都扩大到原来的3倍时，新的a为3a，新的b为3b，将其代入原分式可得：
新分式 = $\frac{3a · 3b}{3a - 3b}$
计算分子得：$3a · 3b = 9ab$
对分母提取公因式得：$3a - 3b = 3(a - b)$
因此新分式可化简为：
$\frac{9ab}{3(a - b)} = \frac{3ab}{a - b} = 3 × \frac{ab}{a - b}$
对比原分式$\frac{ab}{a-b}$，可知新分式的值是原分式值的3倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式性质的典型基础应用题，解题关键是准确代入扩大后的字母，正确对分子分母化简后再对比，不要仅凭分子分母单独的倍数变化盲目判断结果。
【难度系数】
0.8
要解决这类字母扩大倍数后分式值变化的问题，核心思路是先按照题目要求写出扩大后的字母，代入原分式，再利用分式的基本性质化简，最后将化简后的结果和原分式比较，就能得出分式值的变化情况。具体操作时先将a替换为3a、b替换为3b，再分别计算新分式的分子和分母，约分后和原分式对比即可。
【解析】
当a、b都扩大到原来的3倍时，新的a为3a，新的b为3b，将其代入原分式可得：
新分式 = $\frac{3a · 3b}{3a - 3b}$
计算分子得：$3a · 3b = 9ab$
对分母提取公因式得：$3a - 3b = 3(a - b)$
因此新分式可化简为：
$\frac{9ab}{3(a - b)} = \frac{3ab}{a - b} = 3 × \frac{ab}{a - b}$
对比原分式$\frac{ab}{a-b}$，可知新分式的值是原分式值的3倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式性质的典型基础应用题，解题关键是准确代入扩大后的字母，正确对分子分母化简后再对比，不要仅凭分子分母单独的倍数变化盲目判断结果。
【难度系数】
0.8
5. 计算$3a^2b · (-\dfrac{b}{2a})^2$，结果正确的是(
A.$-\dfrac{3}{4}b^3$
B.$\dfrac{3}{4}ab^2$
C.$\dfrac{3}{4}b^3$
D.$\dfrac{3}{2}b^3$
C
).A.$-\dfrac{3}{4}b^3$
B.$\dfrac{3}{4}ab^2$
C.$\dfrac{3}{4}b^3$
D.$\dfrac{3}{2}b^3$
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道整式与分式的混合运算题，解题时遵循先乘方、后乘除的运算顺序：第一步先计算分式的乘方，将分子、分母分别乘方，同时注意平方运算的结果符号为正；第二步再计算单项式与分式的乘法，将系数、同底数幂分别相乘，最后约分得到最简结果，对照选项选出答案即可。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘方：
$(-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{(2a)^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}$
再计算乘法运算：
$3a^2b · \dfrac{b^2}{4a^2} = \dfrac{3a^2b · b^2}{4a^2}$
约去分子分母的公因式$a^2$，同时计算同底数幂的乘法$b· b^2=b^{1+2}=b^3$，可得：
原式$=\dfrac{3b^3}{4}=\dfrac{3}{4}b^3$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算、单项式乘法、约分
【点评】
本题考查代数式的混合运算，核心是牢记运算顺序，计算乘方时要注意符号处理和分子分母分别乘方，乘法运算时准确约分、正确计算同底数幂的乘积即可，属于运算类基础题。
【难度系数】
0.8
这是一道整式与分式的混合运算题，解题时遵循先乘方、后乘除的运算顺序：第一步先计算分式的乘方，将分子、分母分别乘方，同时注意平方运算的结果符号为正；第二步再计算单项式与分式的乘法，将系数、同底数幂分别相乘，最后约分得到最简结果，对照选项选出答案即可。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘方：
$(-\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{(2a)^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}$
再计算乘法运算：
$3a^2b · \dfrac{b^2}{4a^2} = \dfrac{3a^2b · b^2}{4a^2}$
约去分子分母的公因式$a^2$，同时计算同底数幂的乘法$b· b^2=b^{1+2}=b^3$，可得：
原式$=\dfrac{3b^3}{4}=\dfrac{3}{4}b^3$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算、单项式乘法、约分
【点评】
本题考查代数式的混合运算，核心是牢记运算顺序，计算乘方时要注意符号处理和分子分母分别乘方，乘法运算时准确约分、正确计算同底数幂的乘积即可，属于运算类基础题。
【难度系数】
0.8
6. 计算$\frac{x+3}{x+2}+\frac{2-x}{x^2-4}$，结果正确的是(
A.1
B.$-1$
C.$\frac{x^2-8}{x^2-4}$
D.$x^2-4$
A
).A.1
B.$-1$
C.$\frac{x^2-8}{x^2-4}$
D.$x^2-4$
答案
6. A
解析
【分析】
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，观察到第二个分式的分母$x^2-4$符合平方差公式，可分解为$(x+2)(x-2)$，因此确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第二步将第一个分式通分，转化为同分母分式的加法；第三步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，计算时注意符号不要出错；最后对结果约分得到最简形式，匹配选项即可。
【解析】
先利用平方差公式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}&\frac{x+3}{x+2}+\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}\\=&\frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}\\=&\frac{(x+3)(x-2)+(2-x)}{(x+2)(x-2)}\\=&\frac{x^2+3x-2x-6+2-x}{x^2-4}\\=&\frac{x^2-4}{x^2-4}\\=&1\quad(x≠\pm2)\end{aligned}$
因此结果为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加减运算规则，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，计算分子时注意符号处理，最后要将结果约分为最简形式，掌握通分、约分的方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，观察到第二个分式的分母$x^2-4$符合平方差公式，可分解为$(x+2)(x-2)$，因此确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第二步将第一个分式通分，转化为同分母分式的加法；第三步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，计算时注意符号不要出错；最后对结果约分得到最简形式，匹配选项即可。
【解析】
先利用平方差公式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}&\frac{x+3}{x+2}+\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}\\=&\frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{2-x}{(x+2)(x-2)}\\=&\frac{(x+3)(x-2)+(2-x)}{(x+2)(x-2)}\\=&\frac{x^2+3x-2x-6+2-x}{x^2-4}\\=&\frac{x^2-4}{x^2-4}\\=&1\quad(x≠\pm2)\end{aligned}$
因此结果为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加减运算规则，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，计算分子时注意符号处理，最后要将结果约分为最简形式，掌握通分、约分的方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 如果$m+n=4$，那么代数式$(m+\dfrac{m^2+n^2}{2n})· \dfrac{n}{m+n}$的值是（
A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-1$
A
）。A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-1$
答案
7. A
解析
【分析】
本题已知m+n的整体值，无法求出m、n的单独取值，因此解题核心思路是先化简待求代数式：先对括号内的分式通分合并，再利用完全平方公式对分子因式分解，之后和括号外的分式相乘约分，将原式化简为仅含m+n的表达式，最后整体代入已知条件计算即可。
【解析】
先化简代数式：
1. 对括号内的部分通分，公分母为2n：
$m+\dfrac{m^2+n^2}{2n}=\dfrac{2mn}{2n}+\dfrac{m^2+n^2}{2n}=\dfrac{m^2+2mn+n^2}{2n}$
2. 分子利用完全平方公式因式分解：
$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，因此括号内化简为$\dfrac{(m+n)^2}{2n}$
3. 与括号外的分式相乘并约分：
$\dfrac{(m+n)^2}{2n}·\dfrac{n}{m+n}=\dfrac{m+n}{2}$
4. 代入$m+n=4$计算：
$\dfrac{m+n}{2}=\dfrac{4}{2}=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，重点考查分式的通分、约分运算，完全平方公式的应用，以及整体代入的数学思想，解题时无需单独求解m、n的取值，通过化简消去未知量即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
本题已知m+n的整体值，无法求出m、n的单独取值，因此解题核心思路是先化简待求代数式：先对括号内的分式通分合并，再利用完全平方公式对分子因式分解，之后和括号外的分式相乘约分，将原式化简为仅含m+n的表达式，最后整体代入已知条件计算即可。
【解析】
先化简代数式：
1. 对括号内的部分通分，公分母为2n：
$m+\dfrac{m^2+n^2}{2n}=\dfrac{2mn}{2n}+\dfrac{m^2+n^2}{2n}=\dfrac{m^2+2mn+n^2}{2n}$
2. 分子利用完全平方公式因式分解：
$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，因此括号内化简为$\dfrac{(m+n)^2}{2n}$
3. 与括号外的分式相乘并约分：
$\dfrac{(m+n)^2}{2n}·\dfrac{n}{m+n}=\dfrac{m+n}{2}$
4. 代入$m+n=4$计算：
$\dfrac{m+n}{2}=\dfrac{4}{2}=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，重点考查分式的通分、约分运算，完全平方公式的应用，以及整体代入的数学思想，解题时无需单独求解m、n的取值，通过化简消去未知量即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
8. 小丽星期二在某面包店花15元买了几个相同的面包，星期六再去买这种面包时，恰好该面包店举办优惠酬宾活动，同样的面包每个比原来便宜1元，结果小丽比上次少花了1元，却比上次多买了2个面包。若设她星期二买了$ x $个面包，则根据题意可列方程为(
A.$\frac{15}{x} = \frac{15 - 1}{x + 2} - 1$
B.$\frac{15}{x} - 1 = \frac{15 - 1}{x + 2}$
C.$\frac{15}{x + 2} = \frac{15 - 1}{x} - 1$
D.$\frac{15}{x} = \frac{15 - 1}{x - 1} + 2$
B
)。A.$\frac{15}{x} = \frac{15 - 1}{x + 2} - 1$
B.$\frac{15}{x} - 1 = \frac{15 - 1}{x + 2}$
C.$\frac{15}{x + 2} = \frac{15 - 1}{x} - 1$
D.$\frac{15}{x} = \frac{15 - 1}{x - 1} + 2$
答案
8. B
解析
【分析】
这是一道列分式方程的应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先我们可以结合已设的未知数$x$，分别表示出星期二和星期六面包的单价，再根据“星期六的面包每个比原来便宜1元”的价格关系列方程即可。第一步先求星期二的单价：用星期二的总花费除以购买数量；第二步求星期六的单价：先算出星期六的总花费和购买数量，再用总价除以数量得到单价；最后根据两个单价的差值关系列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：设小丽星期二买了$x$个面包。
1. 计算星期二面包的单价：
星期二总花费15元，购买数量为$x$个，根据“单价=总价÷数量”，可得星期二面包单价为$\frac{15}{x}$元/个。
2. 计算星期六面包的相关量：
星期六总花费为$15-1=14$元，购买数量为$x+2$个，同理可得星期六面包单价为$\frac{15-1}{x+2}$元/个。
3. 根据等量关系列方程：
已知星期六每个面包比原来便宜1元，即：星期二的单价 - 1元 = 星期六的单价
代入可得方程：$\frac{15}{x} - 1 = \frac{15 - 1}{x + 2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列分式方程解应用题；总价、单价、数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是明确题目中的等量关系，分别表示出两次购买的单价即可快速列方程，是这类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
这是一道列分式方程的应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先我们可以结合已设的未知数$x$，分别表示出星期二和星期六面包的单价，再根据“星期六的面包每个比原来便宜1元”的价格关系列方程即可。第一步先求星期二的单价：用星期二的总花费除以购买数量；第二步求星期六的单价：先算出星期六的总花费和购买数量，再用总价除以数量得到单价；最后根据两个单价的差值关系列出方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：设小丽星期二买了$x$个面包。
1. 计算星期二面包的单价：
星期二总花费15元，购买数量为$x$个，根据“单价=总价÷数量”，可得星期二面包单价为$\frac{15}{x}$元/个。
2. 计算星期六面包的相关量：
星期六总花费为$15-1=14$元，购买数量为$x+2$个，同理可得星期六面包单价为$\frac{15-1}{x+2}$元/个。
3. 根据等量关系列方程：
已知星期六每个面包比原来便宜1元，即：星期二的单价 - 1元 = 星期六的单价
代入可得方程：$\frac{15}{x} - 1 = \frac{15 - 1}{x + 2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列分式方程解应用题；总价、单价、数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是明确题目中的等量关系，分别表示出两次购买的单价即可快速列方程，是这类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
