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1. 下列运算正确的是(
A.$x^{3}· x^{4}=x^{12}$
B.$(-2x^{2})^{3}=-8x^{6}$
C.$x^{6}÷ x^{3}=x^{2}$
D.$x^{2}+x^{3}=x^{5}$
B
)A.$x^{3}· x^{4}=x^{12}$
B.$(-2x^{2})^{3}=-8x^{6}$
C.$x^{6}÷ x^{3}=x^{2}$
D.$x^{2}+x^{3}=x^{5}$
答案
1. B
2. 新素养 运算能力 计算：
（1）$a^{3}· a^{3}+(a^{2})^{4}+(2a^{4})^{2}$；
（2）$(a - b)^{3m + 2n}÷ (a - b)^{m + n}÷ (a - b)^{m - n}$。
（1）$a^{3}· a^{3}+(a^{2})^{4}+(2a^{4})^{2}$；
（2）$(a - b)^{3m + 2n}÷ (a - b)^{m + n}÷ (a - b)^{m - n}$。
答案
2. （1）原式$=a^{6}+a^{8}+4a^{8}=a^{6}+5a^{8}.$
（2）原式$=(a - b)^{3m + 2n - (m + n) - (m - n)}=(a - b)^{m + 2n}.$
（2）原式$=(a - b)^{3m + 2n - (m + n) - (m - n)}=(a - b)^{m + 2n}.$
3. 比较 $81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$ 的大小。
答案
3. 因为$81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124},27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123},9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，且$124＞123＞122$，所以$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}.$
4. 比较大小：$2^{13}× 3^{10}$ 与 $2^{10}× 3^{12}$。
答案
4. 因为$2^{13}×3^{10}=2^{3}×2^{10}×3^{10}=2^{3}×(2×3)^{10}=8×6^{10},2^{10}×3^{12}=2^{10}×3^{10}×3^{2}=(2×3)^{10}×3^{2}=9×6^{10}$，且$8×6^{10}＜9×6^{10}$，所以$2^{13}×3^{10}＜2^{10}×3^{12}.$
5. 新趋势 综合实践 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若 $a^{m}=4$，$a^{m + n}=20$，求 $a^{n}$ 的值。这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 $a^{m + n}=a^{m}· a^{n}$，所以 $20 = 4× a^{n}$，所以 $a^{n}=5$。
(1)若 $a^{m}=8$，$a^{2m - n}=16$，请你也利用逆向思考的方法求出 $a^{n}$ 的值；
(2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，参考小豫的方法解答下面的问题：
① 小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条逆用的性质：
② 计算：$(-4)^{2024}× 0.25^{2025}$；
③ 若 $5· 25^{n}· 625^{n}=5^{25}$，求 $n$ 的值。
(1)若 $a^{m}=8$，$a^{2m - n}=16$，请你也利用逆向思考的方法求出 $a^{n}$ 的值；
(2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，参考小豫的方法解答下面的问题：
① 小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条逆用的性质：
$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$
；② 计算：$(-4)^{2024}× 0.25^{2025}$；
③ 若 $5· 25^{n}· 625^{n}=5^{25}$，求 $n$ 的值。
答案
5. （1）因为$a^{m}=8,a^{2m - n}=16$，且$a^{2m - n}=\frac{(a^{m})^{2}}{a^{n}}$，所以$16=\frac{8^{2}}{a^{n}}$，所以$a^{n}=4.$
（2）①$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$
② 原式$=(-4×0.25)^{2024}×0.25=(-1)^{2024}×0.25=0.25.$
③ 因为$5·25^{n}·625^{n}=5^{25}$，所以$5·5^{2n}·5^{4n}=5^{25}$，所以$5^{6n + 1}=5^{25}$，所以$6n + 1=25$，解得$n = 4.$
（2）①$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$
② 原式$=(-4×0.25)^{2024}×0.25=(-1)^{2024}×0.25=0.25.$
③ 因为$5·25^{n}·625^{n}=5^{25}$，所以$5·5^{2n}·5^{4n}=5^{25}$，所以$5^{6n + 1}=5^{25}$，所以$6n + 1=25$，解得$n = 4.$
6. 计算：
（1）$16^{a + 1}· 4^{a + 2}÷ 8^{2a}$；
（2）$2^{4}· 4^{m}· 8^{m - 1}+(2^{m})^{5}· 2$。
（1）$16^{a + 1}· 4^{a + 2}÷ 8^{2a}$；
（2）$2^{4}· 4^{m}· 8^{m - 1}+(2^{m})^{5}· 2$。
答案
6. （1）原式$=2^{4a + 4}·2^{2a + 4}÷2^{6a}=2^{4a + 4 + 2a + 4 - 6a}=2^{8}=256.$
（2）原式$=2^{4}·2^{2m}·2^{3m - 3}+2^{5m + 1}=2^{5m + 1}+2^{5m + 1}=2^{5m + 2}.$
（2）原式$=2^{4}·2^{2m}·2^{3m - 3}+2^{5m + 1}=2^{5m + 1}+2^{5m + 1}=2^{5m + 2}.$
7. （2025·江苏徐州期中）若 $3× 9^{m}× 27^{m}=3^{17 + m}$，求代数式 $(-m^{2})^{3}÷ (m^{3}· m^{2})$ 的值。
答案
7. 因为$3×9^{m}×27^{m}=3^{17 + m}$，所以$3×3^{2m}×3^{3m}=3^{17 + m}$，所以$3^{5m + 1}=3^{17 + m}$，所以$5m + 1=17 + m$，解得$m = 4$，所以原式$=-m^{6}÷m^{5}=-m=-4.$
