7. 如图，在平行四边形$ABCD$中，过$B$作$BE⊥ CD$，垂足为点$E$.连接$AE$，$F$为$AE$上一点，且$\angle BFE=\angle C$.
(1)求证：$\triangle ABF\backsim\triangle EAD$.
(2)若$AB = 4$，$\angle BAE = 30^{\circ}$，求$AE$的长.

(2)AE的长为8√3/3。

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，∠C=∠BAD。
∵AB//CD，∴∠BAE=∠AED（内错角相等）。
∵∠BFE=∠C，∠C=∠BAD，∴∠BFE=∠BAD。
∵∠BFE+∠AFB=180°，∠BAD+∠ADE=180°（AD//BC，同旁内角互补），
∴∠AFB=∠ADE。
在△ABF和△EAD中，∠BAF=∠AED，∠AFB=∠ADE，
∴△ABF∽△EAD（两角对应相等，两三角形相似）。
(2)解：
∵BE⊥CD，AB//CD，∴BE⊥AB，即∠ABE=90°。
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=4，
cos∠BAE=AB/AE，
∴AE=AB/cos30°=4/(√3/2)=8√3/3。

某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动.小明设计了点做圆周运动
的一个模型，如图所示.甲、乙两点分别从直径的两端点$A$，$B$以顺时针、逆时针的方向同时
沿圆周运动.甲运动的路程$l(\mathrm{cm})$与时间$t(\mathrm{s})$满足关系$l=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t(t\geqslant0)$，乙以$4\ \mathrm{cm/s}$
的速度匀速运动，半圆的长度为$21\ \mathrm{cm}$.
(1)甲运动$4\ \mathrm{s}$后的路程是多少？
(2)从开始运动到第一次相遇时，甲、乙运动了多少时间？
(3)从开始运动到第二次相遇时，甲、乙运动了多少时间？

(1) 当 $t = 4$ 时，
$l = \frac{1}{2} × 4^{2} + \frac{3}{2} × 4 = 8 + 6 = 14(cm)$，
所以甲运动$4s$后的路程是$14cm$。
(2) 设从开始运动到第一次相遇时，甲、乙运动了 $t$ 秒，
由题意，得 $\frac{1}{2}t^{2} + \frac{3}{2}t + 4t = 21 × 2 ÷ 2$（$21× 2$为整个圆周长，除以2即为半圆长度，即$21$），
整理得 $t^{2} + 11t - 42 = 0$，
解得 $t_{1} = 3$，$t_{2} = -14$（不合题意舍去）。
所以从开始运动到第一次相遇时，甲、乙运动了$3s$。
(3) 设从开始运动到第二次相遇时，甲、乙运动了 $t$ 秒，
由题意，得 $\frac{1}{2}t^{2} + \frac{3}{2}t + 4t = 21 × 3 ÷ 2× 2= 63-21=42+21=63-0=63$（第二次相遇时，甲和乙总共走过的路程为两个半圆，即整个圆的周长，也就是$21× 2=42$（$cm$）再加上一个半圆$21cm$，总共$63cm$），
整理得$t^{2} + 11t - 12 × 6 = 0$，
即$t^{2} + 11t - 126 = 0$，
解得$t_{1} = 7$，$t_{2} = -18$（不合题意舍去）。
所以从开始运动到第二次相遇时，甲、乙运动了$ 7s$。