例题解析
例1 (1)已知直角三角形的两边长是3cm和4cm，求第三边的长.
(2)一个等腰三角形的周长为14cm，一条边长为4cm，求底边上的高.
(1)分析:已知直角三角形的两边长不相等，并且没有指明是直角边还是斜边，因此应分两种情况考虑，即把这两条边都看作直角边，或一条为直角边，另一条为斜边.
解:当3cm和4cm是两条直角边时，利用勾股定理可得斜边长是$\sqrt{3^2 + 4^2}=5$(cm).
当3cm是直角边，4cm是斜边时，利用勾股定理可得另一条直角边长是$\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$(cm).
(2)分析:等腰三角形的一条边长为4cm，没有说明该边是腰还是底边，因此应分两种情况考虑，即腰长为4cm，或底边长为4cm，同时要满足三角形任意两边之和大于第三边这个条件.
解:当底边长为4cm时，腰长为$(14 - 4)÷2 = 5$(cm)，显然可以构成等腰三角形.
所以底边上的高为$\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{21}$(cm).
当腰长为4cm时，底边长为$14 - 2×4 = 6$(cm)，由于$4 + 4 = 8 ＞ 6$，可以构成等腰三角形.
所以底边上的高为$\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$(cm).
思考:一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为4cm，底边上的高是多少？

解：分两种情况讨论：
当长为4cm的边为等腰三角形的底边时：
腰长为$(16 - 4)÷2 = 6(\mathrm{cm})$，
此时三角形三边长为6cm、6cm、4cm，满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形。
由等腰三角形三线合一可知，底边的一半长为$4÷2=2(\mathrm{cm})$，
根据勾股定理，底边上的高为$\sqrt{6^2 - 2^2} = 4\sqrt{2}(\mathrm{cm})$。
当长为4cm的边为等腰三角形的腰时：
底边长为$16 - 2×4 = 8(\mathrm{cm})$，
此时三角形三边长为4cm、4cm、8cm，由于$4 + 4 = 8$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
答：底边上的高是$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。