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(三)拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题:已知$A(0,1)$,$B(4,3)$.
(1)$C$为坐标轴上的点,且使得$\triangle ABC是以AB$为底边的等腰三角形,求点$C$的坐标;
(2)在坐标轴上有一点$M$,使$\triangle ABM是以AB$为直角边的直角三角形,直接写出点$M$的坐标.
5. 【回顾旧知】
(1)如图①,已知点$A$,$B和直线l$,如何在直线$l上确定一点P$,使$PA+PB$最小? 将下面解决问题的思路补充完整.
解决问题的思路:可以构造全等三角形,将两条线段集中到一个三角形中! 据此,在$l上任取一点P'$,作点$A关于l的对称点A'$,$AA'与直线l相交于点C$. 连接$P'A'$,易知$\triangle AP'C\cong$____,从而有$P'A= P'A'$.这样,在$\triangle A'P'B$中,根据“____”可知$A'B与l的交点P$即为所求.
【解决问题】
(2)如图②,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$AB= 8$,$E$,$F为AB$上的两个动点,且$AE= BF$,求$CE+CF$的最小值.
【变式研究】
(3)如图③,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 60^{\circ}$,$AC= 5$,$BC= 4$,点$D$,$E分别为AB$,$AC$上的动点,且$AD= CE$,请直接写出$CD+BE$的最小值.
试用以上所得结论解决如下问题:已知$A(0,1)$,$B(4,3)$.
(1)$C$为坐标轴上的点,且使得$\triangle ABC是以AB$为底边的等腰三角形,求点$C$的坐标;
(2)在坐标轴上有一点$M$,使$\triangle ABM是以AB$为直角边的直角三角形,直接写出点$M$的坐标.
5. 【回顾旧知】
(1)如图①,已知点$A$,$B和直线l$,如何在直线$l上确定一点P$,使$PA+PB$最小? 将下面解决问题的思路补充完整.
解决问题的思路:可以构造全等三角形,将两条线段集中到一个三角形中! 据此,在$l上任取一点P'$,作点$A关于l的对称点A'$,$AA'与直线l相交于点C$. 连接$P'A'$,易知$\triangle AP'C\cong$____,从而有$P'A= P'A'$.这样,在$\triangle A'P'B$中,根据“____”可知$A'B与l的交点P$即为所求.
【解决问题】
(2)如图②,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$AB= 8$,$E$,$F为AB$上的两个动点,且$AE= BF$,求$CE+CF$的最小值.
【变式研究】
(3)如图③,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 60^{\circ}$,$AC= 5$,$BC= 4$,点$D$,$E分别为AB$,$AC$上的动点,且$AD= CE$,请直接写出$CD+BE$的最小值.
答案
拓展应用：(1) 当点 $C$ 在 $x$ 轴上时，设 $C(x,0)$，$\because \triangle ABC$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形，$\therefore AC = BC$，$\therefore \sqrt{(0 - x)^2+(1 - 0)^2}=\sqrt{(4 - x)^2+(3 - 0)^2}$，解得 $x = 3$，$\therefore C(3,0)$；当点 $C$ 在 $y$ 轴上时，设
$C(0,y)$，$\because \triangle ABC$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形，$\therefore AC = BC$，
$\therefore \sqrt{(0 - 0)^2+(1 - y)^2}=\sqrt{(4 - 0)^2+(3 - y)^2}$，解得 $y = 6$，$\therefore C(0,6)$.
综上，点 $C$ 的坐标为 $(3,0)$ 或 $(0,6)$.
(2) 点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 或 $\left(\frac{11}{2}, 0\right)$ 或 $(0,11)$ 解析：当
$\angle BAM = 90^{\circ}$ 时，如图①，设 $M(a,0)$，$\because \angle AOM = 90^{\circ}$，$\therefore AM^2 = 1 + a^2$.
$\because \angle BAM = 90^{\circ}$，$\therefore AM^2 + AB^2 = BM^2$，$\therefore \left(1 + a^2\right)+[(4 - 0)^2+(3 - 1)^2]=(4 - a)^2+(3 - 0)^2$，解得 $a=\frac{1}{2}$，$\therefore M\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.
当 $\angle ABM = 90^{\circ}$ 时，如图②，当点 $M$ 在 $x$ 轴上时，设 $M_2(a,0)$，则 $AM_2^2 = 1 + a^2$，$\because \angle ABM_2 = 90^{\circ}$，$\therefore AB^2 + BM_2^2 = AM_2^2$，$\therefore [(4 - 0)^2+(3 - 1)^2]+[(4 - a)^2+(3 - 0)^2]=1 + a^2$，解得 $a=\frac{11}{2}$，$\therefore M_2\left(\frac{11}{2}, 0\right)$；
当点 $M$ 在 $y$ 轴上时，设 $M_1(0,b)$，则 $AM_1 = b - 1$，$\because AB^2 + BM_1^2 = AM_1^2$，$\therefore [(4 - 0)^2+(3 - 1)^2]+[(4 - 0)^2+(3 - b)^2]=(b - 1)^2$，解得 $b = 11$，$\therefore M_1(0,11)$. 综上，点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 或 $\left(\frac{11}{2}, 0\right)$ 或 $(0,11)$.
$C(0,y)$，$\because \triangle ABC$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形，$\therefore AC = BC$，
$\therefore \sqrt{(0 - 0)^2+(1 - y)^2}=\sqrt{(4 - 0)^2+(3 - y)^2}$，解得 $y = 6$，$\therefore C(0,6)$.
综上，点 $C$ 的坐标为 $(3,0)$ 或 $(0,6)$.
(2) 点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 或 $\left(\frac{11}{2}, 0\right)$ 或 $(0,11)$ 解析：当
$\angle BAM = 90^{\circ}$ 时，如图①，设 $M(a,0)$，$\because \angle AOM = 90^{\circ}$，$\therefore AM^2 = 1 + a^2$.
$\because \angle BAM = 90^{\circ}$，$\therefore AM^2 + AB^2 = BM^2$，$\therefore \left(1 + a^2\right)+[(4 - 0)^2+(3 - 1)^2]=(4 - a)^2+(3 - 0)^2$，解得 $a=\frac{1}{2}$，$\therefore M\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.
当 $\angle ABM = 90^{\circ}$ 时，如图②，当点 $M$ 在 $x$ 轴上时，设 $M_2(a,0)$，则 $AM_2^2 = 1 + a^2$，$\because \angle ABM_2 = 90^{\circ}$，$\therefore AB^2 + BM_2^2 = AM_2^2$，$\therefore [(4 - 0)^2+(3 - 1)^2]+[(4 - a)^2+(3 - 0)^2]=1 + a^2$，解得 $a=\frac{11}{2}$，$\therefore M_2\left(\frac{11}{2}, 0\right)$；
当点 $M$ 在 $y$ 轴上时，设 $M_1(0,b)$，则 $AM_1 = b - 1$，$\because AB^2 + BM_1^2 = AM_1^2$，$\therefore [(4 - 0)^2+(3 - 1)^2]+[(4 - 0)^2+(3 - b)^2]=(b - 1)^2$，解得 $b = 11$，$\therefore M_1(0,11)$. 综上，点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 或 $\left(\frac{11}{2}, 0\right)$ 或 $(0,11)$.
