1. (2024·绥化中考)如图,已知$A_{1}(1,-\sqrt{3})$,$A_{2}(3,-\sqrt{3})$,$A_{3}(4,0)$,$A_{4}(6,0)$,$A_{5}(7,\sqrt{3})$,$A_{6}(9,\sqrt{3})$,$A_{7}(10,0)$,$A_{8}(11,-\sqrt{3})$,…$$,依此规律,则点$A_{2024}$的坐标为____.

$(2891,-\sqrt{3})$ 解析：$\because A_{1}(1,-\sqrt{3}), A_{2}(3,-\sqrt{3}), A_{3}(4,0), A_{4}(6,0), A_{5}(7,\sqrt{3}), A_{6}(9,\sqrt{3}), A_{7}(10,0), A_{8}(11,-\sqrt{3}), \cdots, \therefore$ 可知 7 个点坐标的纵坐标为一个循环，$A_{7n}$ 的坐标为 $(10n,0), A_{7n+1}(10n+1,-\sqrt{3}). \because 2024 \div 7=289 \cdots \cdots 1, \therefore A_{2023}$ 的坐标为 $(2890,0). \therefore A_{2024}$ 的坐标为 $(2891,-\sqrt{3})$.

2. 在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点$O$出发,按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动,每次移动$1\mathrm{m}$.其行走路线如图所示,第$1次移动到A_{1}$,第$2次移动到A_{2}$,…$$,第$n次移动到A_{n}$,则$\triangle OA_{2}A_{2024}$的面积是____$\mathrm{m}^{2}$.

506 解析：取坐标轴的单位长度为 1 m. 根据题意，可知点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ 的坐标分别为 $(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(3,0),(3,1),(4,1),(4,0)$，结合点的坐标特点，易知动点的坐标每 4 个完成一次循环，即点 $A_{4n-3}, A_{4n-2}, A_{4n-1}, A_{4n}$ 的坐标分别为 $(2n-1,0),(2n-1,1),(2n,1),(2n,0). \because 2024=4 \times 506, \therefore$ 点 $A_{2024}$ 的坐标为 $(2 \times 506,0)$，即点 $A_{2024}$ 的坐标为 $(1012,0). \therefore O A_{2024}=1012 \mathrm{~m}$. 根据题意，可知 $\triangle O A_{2} A_{2024}$ 的高为 1 m，$\therefore \triangle O A_{2} A_{2024}$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times 1012 \times 1=506\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$.

3. (潍坊中考改编)在平面直角坐标系中,点$A_{1}$从原点出发,沿如图所示的方向运动,到达位置的坐标依次为$A_{2}(1,0)$,$A_{3}(1,1)$,$A_{4}(-1,1)$,$A_{5}(-1,-1)$,$A_{6}(2,-1)$,$A_{7}(2,2)$,…$$.若到达终点$A_{n}(507,-506)$,则$n$的值为____.

2026 解析：$\because(507,-506)$ 是第四象限的点，$\therefore A_{n}(507,-506)$ 落在第四象限. 由题得在第四象限的点为 $A_{6}(2,-1), A_{10}(3,-2), A_{14}(4,-3), \cdots, A_{n}(507,-506). \therefore 6=4 \times|1|+2,10=4 \times|2|+2,14=4 \times|3|+2,18=4 \times|4|+2, \cdots, \therefore n=4 \times|-506|+2=2026$.

4. (毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移$1$个单位,再向右平移$1$个单位,得到点$A_{1}(1,1)$;把点$A_{1}向上平移2$个单位,再向左平移$2$个单位,得到点$A_{2}(-1,3)$;把点$A_{2}向下平移3$个单位,再向左平移$3$个单位,得到点$A_{3}(-4,0)$;把点$A_{3}向下平移4$个单位,再向右平移$4$个单位,得到点$A_{4}(0,-4)$;…$$;按此做法进行下去,则点$A_{10}$的坐标为____.

$(-1,11)$ 解析：可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面第四个点的横坐标不发生变化，纵坐标每次向下平移 4 个单位，$\therefore$ 点 $A_{8}$ 的坐标为 $(0,-8), \therefore$ 点 $A_{8}$ 到 $A_{9}$ 的平移方式与 $O$ 到 $A_{1}$ 的平移方式相同 (只指平移方向)，即 $A_{8}$ 向右平移 9 个单位，向上平移 9 个单位到 $A_{9}, \therefore A_{9}$ 的坐标为 $(9,1)$，同理 $A_{9}$ 到 $A_{10}$ 的平移方式与 $A_{1}$ 到 $A_{2}$ 的平移方式相同 (只指平移方向)，即 $A_{9}$ 向上平移 10 个单位，向左平移 10 个单位到 $A_{10}, \therefore A_{10}$ 的坐标为 $(-1,11)$.

5. (朝阳中考)如图,动点$P从坐标原点(0,0)$出发,以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动,第$1秒运动到点(1,0)$,第$2秒运动到点(1,1)$,第$3秒运动到点(0,1)$,第$4秒运动到点(0,2)$,…$$,则第$2068秒点P$所在位置的坐标是____.

$(45,43)$ 解析：由题意分析可得，动点 $P$ 第 $(2 \times 4)$ 秒运动到 $(2,0)$，动点 $P$ 第 $(4 \times 6)$ 秒运动到 $(4,0)$，动点 $P$ 第 $(6 \times 8)$ 秒运动到 $(6,0)$，$\cdots$，以此类推，动点 $P$ 第 $2 n \times(2 n+2)$ 秒运动到 $(2 n, 0), \therefore$ 动点 $P$ 第 $2024=44 \times 46$ 秒运动到 $(44,0).2068-2024=44, \therefore$ 按照运动路线，点 $P$ 到达 $(44,0)$ 后，向右移动一个单位长度，然后向上移动 43 个单位长度，$\therefore$ 第 2068 秒点 $P$ 所在位置的坐标是 $(45,43)$.

6. 如图,在平面直角坐标系中,对$\triangle ABC$进行循环往复的轴对称变换,若原来点$A的坐标是(a,b)$,经过第$1次变换后所得的点A_{1}的坐标是(a,-b)$,则经过第$2025次变换后所得的点A_{2025}$的坐标是____.

$(a,-b)$

7. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,0)$,$B(0,4)$,对$\triangle OAB$连续作旋转变换,依次得到$\triangle_{1}$,$\triangle_{2}$,$\triangle_{3}$,$\triangle_{4}$,…$$,则$\triangle_{999}$的直角顶点的坐

标为____.

$(3996,0)$ 解析：$\because$ 点 $A(-3,0), B(0,4), \therefore A B=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$. 由题图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为 $4+5+3=12. \because 999 \div 3=333, \therefore \triangle_{999}$ 的直角顶点是第 333 个循环组的最后一个三角形的直角顶点. $\because 333 \times 12=3996, \therefore \triangle_{999}$ 的直角顶点的坐标为 $(3996,0)$.