14. (2025·成华)如图,四边形OACE的顶点A,E分别在x轴、y轴上,$AC⊥x$轴,反比例函数$y= \frac {5}{x}(x＞0)$的图象交AC于点B,交CE于点D。若B为AC的中点,$CD= 2DE$,求$\triangle DEO$的面积。

[解]如图，分别过点 C 和点 D 作 y 轴和 x 轴的垂线，垂足分别为 M 和 N，设两条垂线相交于点 P，令点 B 坐标为(a, $\frac{5}{a}$)。

∵ B 为 AC 中点，且 AC⊥x 轴，
∴ 点 C 坐标为(a, $\frac{10}{a}$)
∵ DP//y 轴， ∴ △CDP∽△CEM，
∴ $\frac{DP}{EM}$ = $\frac{CD}{CE}$ = $\frac{CP}{CM}$。
又 ∵ CD = 2DE， ∴ CP = $\frac{2}{3}$a，
∴ MP = a - $\frac{2}{3}$a = $\frac{1}{3}$a，即 xD = $\frac{1}{3}$a，
∴ yD = $\frac{15}{a}$， ∴ DP = $\frac{15}{a}$ - $\frac{10}{a}$ = $\frac{5}{a}$， ∴ EM = $\frac{15}{2a}$，
∴ EO = EM + MO = $\frac{15}{2a}$ + $\frac{10}{a}$ = $\frac{35}{2a}$，
∴ S△DEO = $\frac{1}{2}$×$\frac{35}{2a}$×$\frac{1}{3}$a = $\frac{35}{12}$。

15. (2024·莱芜)如图,反比例函数$y= \frac {k}{x}的图象与一次函数y= x+b$的图象交于A,B两点,已知$B(2,3)$。
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式。
(2) 一次函数$y= x+b$的图象与x轴交于点C,点D(未在图中画出)是反比例函数图象上的一个动点。若$S_{\triangle OCD}= 3$,求点D的坐标。
(3) 若M是坐标轴上一点,N是平面内一点,是否存在点M,N,使得四边形ABMN是矩形？若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由。

[解](1) ∵ 点 B(2,3)是反比例函数 y = $\frac{k}{x}$ 与一次函数 y = x + b 图象的交点，
∴ k = xy = 6， b = y - x = 1，
∴ 反比例函数和一次函数的解析式分别为 y = $\frac{6}{x}$， y = x + 1。
(2)在一次函数 y = x + 1 中，当 y = 0 时， x = -1，
∴ C(-1,0)。
设 D(m,n)。
∵ S△ACD = 3，
∴ $\frac{1}{2}$×|n|×1 = 3， ∴ n = ±6。
∵ 点 D(m,n)在反比例函数 y = $\frac{6}{x}$ 的图象上，
∴ 点 D 的坐标为(-1,-6)或(1,6)。
(3)存在点 M，N，使得四边形 ABMN 是矩形，理由如下：
①当点 M 在 x 轴上时，如图 1，设点 M 的坐标为(a,0)，过点 B 作 BG⊥x 轴于点 G。
∵ ∠CGB = ∠CBM = 90°， ∠BCG = ∠MCB，
∴ △CBG∽△CMB， ∴ $\frac{CB}{CM}$ = $\frac{CG}{CB}$。
∵ B(2,3)， C(-1,0)，
∴ CG = 3， CM = a + 1，
∴ CB = $\sqrt{3^2 + 3^2}$ = 3$\sqrt{2}$，
∴ $\frac{3\sqrt{2}}{a + 1}$ = $\frac{3}{3\sqrt{2}}$， ∴ a = 5，
∴ 点 M 的坐标为(5,0)；

②如图 2，当点 M 在 y 轴上时，过点 B 作 BH⊥y 轴于点 H。
设点 M 的坐标为(0,b)。
设点 Q 为直线 y = x + 1 与 y 轴的交点，则 Q(0,1)。
∴ HQ = 3 - 1 = 2，
∴ BQ = $\sqrt{2^2 + 2^2}$ = 2$\sqrt{2}$。
∵ ∠QBM = ∠BHQ = 90°， ∠BQM = ∠HQB，
∴ △BQM∽△HQB，
∴ $\frac{BQ}{HQ}$ = $\frac{MQ}{BQ}$， ∴ $\frac{2\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{b - 1}{2\sqrt{2}}$，
∴ b = 5， ∴ 点 M 的坐标为(0,5)。
综上所述，存在点 M，N，使得四边形 ABMN 是矩形，点 M 的坐标分别为(5,0)或(0,5)。