10. (2022·郫都)如图,已知 $ A(-2,-2) $,$ B(n,4) $ 是一次函数 $ y_1 = ax + b $ 的图象和反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 的图象的两个交点.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积；
(3) 观察图象,写出使函数 $ y_1 \geq y_2 $ 的自变量 $ x $ 的取值范围.

【解】(1)$\because$反比例函数$y_{2} = \frac{k}{x}$的图象与一次函数$y_{1} = ax + b$的图象交于点$A(-2,-2)$和点$B(n,4)$。
$\therefore k = -2×(-2) = 4$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y_{2} = \frac{4}{x}$，
$\therefore 4n = 4$，解得$n = 1$，$\therefore B(1,4)$。
把$B(1,4)$和$A(-2,-2)$代入$y_{1} = ax + b$中，得$\begin{cases}a + b = 4\\-2a + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 2\end{cases}$
$\therefore$一次函数的解析式为$y_{1} = 2x + 2$。
(2)如图，设直线$AB$与$x$轴交于点$C$。

令$y_{1} = 2x + 2 = 0$，解得$x = -1$，$\therefore C(-1,0)$，
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}×1×4 + \frac{1}{2}×1×2 = 3$。
(3)$\because y_{1} \geq y_{2}$，$\therefore$一次函数的图象在反比例函数图象上方，由函数图象可知，此时$-2 \leq x ＜ 0$或$x \geq 1$。

11. (2022·武侯)小明为研究反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的图象,在 -2,-1,1 中任意取一个数为横坐标,在 -2,-1,2 中任意取一个数为纵坐标组成点 $ P $ 的坐标,点 $ P $ 在反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的图象上的概率是____.

$\frac{1}{3}$

12. (2025·编写)如图,在平面直角坐标系中,函数 $ y = mx(m ＜ 0) $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于 $ A,B $ 两点,点 $ C $ 在 $ x $ 轴上,且 $ AC = AO $. 若 $ S_{\triangle ABC} = 12 $,则 $ k $ 的值为____.

$-6$

13. (2025·锦江)如图,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象上,点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,连接 $ AB $,且 $ AB // x $ 轴. $ P(\frac{2}{3},0) $ 是 $ x $ 轴上一点,连接 $ PA,PB $. 若 $ PA = PB $,$ S_{\triangle PAB} = 4 $,则 $ PB $ 与 $ y $ 轴交点 $ C $ 的坐标为____.

$(0,\frac{3}{2})$

14. (2024·广安)如图,一次函数 $ y = ax + b $ ($ a,b $ 为常数,$ a \neq 0 $) 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ ($ k $ 为常数,$ k \neq 0 $) 的图象交于 $ A(2,4) $,$ B(n,-2) $ 两点.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,$ P(m,0) $ 是 $ x $ 轴上的点,若 $ \triangle PAC $ 的面积大于 12,请直接写出 $ m $ 的取值范围.

【解】(1)把点$A(2,4)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = 8$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y = \frac{8}{x}$。
把点$B(n,-2)$代入$y = \frac{8}{x}$，得$n = -4$，$\therefore B(-4,-2)$。
$\because$点$A(2,4)$，$B(-4,-2)$在一次函数$y = ax + b$的图象上，
$\therefore \begin{cases}4 = 2a + b\\-2 = -4a + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$
$\therefore$一次函数的解析式为$y = x + 2$。
(2)在函数$y = x + 2$中，当$y = 0$时，$x = -2$，
$\therefore C(-2,0)$。
$\because$点$P$的坐标为$(m,0)$，$\therefore PC = |m + 2|$。
$\because S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2}×|m + 2|×4 ＞ 12$，
$\therefore |m + 2| ＞ 6$，解得$m ＞ 4$或$m ＜ -8$。