6. 核心素养 科学思维 小明乘高铁出行时, 坐在最后一节车厢的最后一排, 细心的他留意到, 列车驶近某隧道口前车头鸣笛一次, 他听到第一次鸣笛声后, 经过 5 s 又听到了被隧道口反射回来的鸣笛声. 已知列车的长度为 220 m, 速度恒定不变为 100 m/s, 小明测得自己穿过该隧道的时间为 200 s. 求:
(1) 该隧道的长度是多少?
(2) 列车鸣笛后, 小明听到第一次鸣笛声的时间?
(3) 列车从鸣笛开始到完全离开隧道所用时间?
视频讲解

(1) $ 20000 \, \text{m} $ (2) $ 0.5 \, \text{s} $ (3) $ 213.2 \, \text{s} $
解析: (1) 根据速度公式可知, 隧道长度
$ s_{\text{隧道}} = v_{\text{车}} t = 100 \, \text{m/s} \times 200 \, \text{s} = 20000 \, \text{m} $.
(2) 车速与声速的和
$ v_{\text{总}} = v_{\text{车}} + v_{\text{声}} = 100 \, \text{m/s} + 340 \, \text{m/s} = 440 \, \text{m/s} $,
第一次听到鸣笛的时间 $ t_1 = \frac{s_{\text{车}}}{v_{\text{总}}} = \frac{220 \, \text{m}}{440 \, \text{m/s}} = 0.5 \, \text{s} $.
(3) 由题知, 车头鸣笛一次, 他听到两次鸣笛声的声音间隔为 $ 5 \, \text{s} $, 则从鸣笛到第二次听到鸣笛用的时间
$ t_2 = t_1 + \Delta t = 0.5 \, \text{s} + 5 \, \text{s} = 5.5 \, \text{s} $,
从鸣笛到第二次听到鸣笛的整个过程如图所示

从鸣笛到第二次听到鸣笛声时声音传播的路程
$ s_{\text{声}} = v_{\text{声}} t_2 = 340 \, \text{m/s} \times 5.5 \, \text{s} = 1870 \, \text{m} $,
此过程中火车通过的路程
$ s_{\text{车}}' = v_{\text{车}} t_2 = 100 \, \text{m/s} \times 5.5 \, \text{s} = 550 \, \text{m} $,
根据图可知, 开始鸣笛时车头到隧道口的距离
$ s_1 = 0.5 (s_{\text{声}} + s_{\text{车}}' - s_{\text{车}}) = 0.5 \times (1870 \, \text{m} + 550 \, \text{m} - 220 \, \text{m}) = 1100 \, \text{m} $,
火车从鸣笛开始到完全离开隧道的路程
$ s = s_1 + s_{\text{隧道}} + s_{\text{车}} = 1100 \, \text{m} + 20000 \, \text{m} + 220 \, \text{m} = 21320 \, \text{m} $,
火车从鸣笛开始到完全离开隧道所用时间
$ t'' = \frac{s}{v_{\text{车}}} = \frac{21320 \, \text{m}}{100 \, \text{m/s}} = 213.2 \, \text{s} $.

7. 声波在海水中传播, 衰减程度很小, 声呐就是利用声波的这一特点来对物体进行定位和测速的, 如图是一艘静止军舰上的声呐装置的显示器所显示出的声波信号的发出与接收的时间, 图中 $ P_1 $、$ P_2 $ 是声呐发出的信号, $ n_1 $、$ n_2 $ 分别是 $ P_1 $、$ P_2 $ 被不明物体反射回来的信号, 已知发出信号 $ P_1 $、$ P_2 $ 之间的时间间隔 $ \Delta t = 1.0 \, \text{s} $, 声波在海水中的传播速度 $ v = 1500 \, \text{m/s} $, 不明物体沿直线正对着军舰匀速行驶, 求:

(1) 信号 $ P_1 $ 遇到不明物体时, 该物体到军舰的距离;
(2) 不明物体从接收到第一次信号到接收到第二次信号的过程中行驶的距离;
(3) 不明物体行驶的速度 (结果保留一位小数).

(1) $ 18000 \, \text{m} $ (2) $ 75 \, \text{m} $ (3) $ 78.9 \, \text{m/s} $
解析: (1) 从图中可以看出, 从发出信号 $ P_1 $ 到接收到信号 $ n_1 $ 经历的时间为 $ 24 \, \text{s} $, 则信号 $ P_1 $ 遇到不明物体时该物体到军舰的距离为 $ s_1 = v t_1 = 1500 \, \text{m/s} \times \frac{1}{2} \times 24 = 18000 \, \text{m} $.
(2) 由图可知, 从发出信号 $ P_2 $ 到接收到信号 $ n_2 $ 经历的时间为 $ t_2 = 24.9 \, \text{s} - 1 \, \text{s} = 23.9 \, \text{s} $,
信号 $ P_2 $ 遇到不明物体时, 该物体到军舰的距离为 $ s_2 = v \times \frac{1}{2} t_2 = 1500 \, \text{m/s} \times \frac{1}{2} \times 23.9 \, \text{s} = 17925 \, \text{m} $,
不明物体从接收到第一次信号到接收到第二次信号的过程中行驶的距离为 $ \Delta s = s_1 - s_2 = 18000 \, \text{m} - 17925 \, \text{m} = 75 \, \text{m} $.
(3) 如图所示:

第一列波单程运动的时间 $ t_1' = \frac{1}{2} t_1 = \frac{1}{2} \times 24 \, \text{s} = 12 \, \text{s} $,
第二列波单程运动的时间 $ t_2' = \frac{1}{2} \times 23.9 \, \text{s} = 11.95 \, \text{s} $,
当第一列波与不明物相遇时, 第二列波的传播时间为 $ t_1' - 1 \, \text{s} = 11 \, \text{s} $,
因为不明物体和第二列波相向运动, 剩下的问题就是相遇问题, 相遇过程它们运动时间相等, 因此不明物体移动这段距离的时间为 $ t_{\text{物}} = t_{\text{第2列剩余}} = t_2' - (t_1' - 1 \, \text{s}) = 11.95 \, \text{s} - 11 \, \text{s} = 0.95 \, \text{s} $, 所以, 不明物体移动的速度 $ v = \frac{\Delta s}{t_{\text{物}}} = \frac{75 \, \text{m}}{0.95 \, \text{s}} \approx 78.9 \, \text{m/s} $.