登录
1. (教材习题变式)(2024·甘孜)如图,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,$OA=1$,则$AB$的长为
（
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$
（
C
）A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
1. C 解析:
∵正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,
∴∠AOB=1/6×360°=60°.
∵OA=OB,
∴△AOB 是等边三角形,
∴AB=OA=1.
∵正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,
∴∠AOB=1/6×360°=60°.
∵OA=OB,
∴△AOB 是等边三角形,
∴AB=OA=1.
解析
【分析】
要解决正六边形内接于圆时弦AB的长度问题，需利用正多边形与圆的关系：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，先求出正六边形的中心角$∠ AOB$；再结合圆的半径相等，判断$△ AOB$为等边三角形，进而得出AB与半径的关系，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
∴正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$，
又
∵$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OA = OB$，
∴$△ AOB$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴$AB = OA$，
已知$OA=1$，因此$AB=1$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定
【点评】
本题考查正多边形与圆的性质，核心是利用正六边形的中心角和半径相等的特点，推导等边三角形得到弦长，属于基础题型，侧重对基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
要解决正六边形内接于圆时弦AB的长度问题，需利用正多边形与圆的关系：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，先求出正六边形的中心角$∠ AOB$；再结合圆的半径相等，判断$△ AOB$为等边三角形，进而得出AB与半径的关系，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
∴正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$，
又
∵$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OA = OB$，
∴$△ AOB$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴$AB = OA$，
已知$OA=1$，因此$AB=1$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定
【点评】
本题考查正多边形与圆的性质，核心是利用正六边形的中心角和半径相等的特点，推导等边三角形得到弦长，属于基础题型，侧重对基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
2. 如图,正五边形 $ABCDE$ 内接于$\odot O$,点 $F$ 在$\overset{\frown}{AE}$上. 若$∠ CDF=95°$,则$∠ FCD$的度数为（
A.$38°$
B.$42°$
C.$49°$
D.$58°$
C
）A.$38°$
B.$42°$
C.$49°$
D.$58°$
答案
2. C 解析:连接 OC、OD.
∵正五边形 ABCDE 内接于⊙O,
∴∠COD=360°÷5=72°,
∴∠CFD=1/2∠COD=1/2×72°=36°.
∵在△CDF中,∠CDF=95°,
∴∠FCD=180°−∠CFD−∠CDF=180°−36°−95°=49°.
∵正五边形 ABCDE 内接于⊙O,
∴∠COD=360°÷5=72°,
∴∠CFD=1/2∠COD=1/2×72°=36°.
∵在△CDF中,∠CDF=95°,
∴∠FCD=180°−∠CFD−∠CDF=180°−36°−95°=49°.
解析
【分析】
要解决本题，需结合正五边形的性质、圆周角定理和三角形内角和定理逐步推导：首先利用正五边形内接于圆的特点，求出弧CD对应的圆心角；再根据圆周角定理得到弧CD所对的圆周角∠CFD的度数；最后在△CDF中，利用三角形内角和为180°，计算出∠FCD的度数。
【解析】
连接OC、OD。
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴整个圆周为360°，正五边形每条边对应的圆心角相等，因此∠COD = 360°÷5 = 72°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧CD所对的圆周角为∠CFD，
∴∠CFD = 1/2∠COD = 1/2×72° = 36°。
在△CDF中，三角形内角和为180°，已知∠CDF=95°，
∴∠FCD = 180°−∠CFD−∠CDF = 180°−36°−95° = 49°。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理、三角形内角和定理
【点评】
本题将正五边形与圆结合，考查圆周角定理和三角形内角和的应用，核心是利用正多边形的中心角求出对应圆周角，再结合三角形内角和计算目标角，属于中等难度的几何计算题，需掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合正五边形的性质、圆周角定理和三角形内角和定理逐步推导：首先利用正五边形内接于圆的特点，求出弧CD对应的圆心角；再根据圆周角定理得到弧CD所对的圆周角∠CFD的度数；最后在△CDF中，利用三角形内角和为180°，计算出∠FCD的度数。
【解析】
连接OC、OD。
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴整个圆周为360°，正五边形每条边对应的圆心角相等，因此∠COD = 360°÷5 = 72°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧CD所对的圆周角为∠CFD，
∴∠CFD = 1/2∠COD = 1/2×72° = 36°。
在△CDF中，三角形内角和为180°，已知∠CDF=95°，
∴∠FCD = 180°−∠CFD−∠CDF = 180°−36°−95° = 49°。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理、三角形内角和定理
【点评】
本题将正五边形与圆结合，考查圆周角定理和三角形内角和的应用，核心是利用正多边形的中心角求出对应圆周角，再结合三角形内角和计算目标角，属于中等难度的几何计算题，需掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
3. 下列图形中,正多边形内接于半径相等的圆,其中正多边形周长最小的是 （
A
）答案
3. A 解析:随着圆内接正多边形边数的增加,它的周长和面积越来越接近于圆周长和圆面积.
解析
【分析】
要找出半径相等的圆内接正多边形中周长最小的图形，需明确规律：在半径相同的圆中，内接正多边形的边数越少，其周长越小。因为随着圆内接正多边形边数增加，正多边形会越来越接近圆，周长也越来越接近圆的周长，所以边数越少，周长越小。观察选项，A是正三角形（3条边），B是正方形（4条边），C是正六边形（6条边），D的正多边形边数多于6条，边数最少的是A对应的正三角形，因此它的周长最小。
【解析】
在半径相等的圆中，内接正多边形的周长随边数增加而增大，随边数减少而减小。选项A为圆内接正三角形（边数3），B为圆内接正方形（边数4），C为圆内接正六边形（边数6），D为边数多于6的圆内接正多边形。对比各正多边形的边数，A的边数最少，故其周长最小。
【答案】
A
【知识点】
圆内接正多边形、正多边形周长
【点评】
本题考查圆内接正多边形的周长与边数的关系，核心是理解“圆内接正多边形边数越多，越接近圆，周长越大”的规律，属于基础题型，需准确分析各选项正多边形的边数。
【难度系数】
0.6
要找出半径相等的圆内接正多边形中周长最小的图形，需明确规律：在半径相同的圆中，内接正多边形的边数越少，其周长越小。因为随着圆内接正多边形边数增加，正多边形会越来越接近圆，周长也越来越接近圆的周长，所以边数越少，周长越小。观察选项，A是正三角形（3条边），B是正方形（4条边），C是正六边形（6条边），D的正多边形边数多于6条，边数最少的是A对应的正三角形，因此它的周长最小。
【解析】
在半径相等的圆中，内接正多边形的周长随边数增加而增大，随边数减少而减小。选项A为圆内接正三角形（边数3），B为圆内接正方形（边数4），C为圆内接正六边形（边数6），D为边数多于6的圆内接正多边形。对比各正多边形的边数，A的边数最少，故其周长最小。
【答案】
A
【知识点】
圆内接正多边形、正多边形周长
【点评】
本题考查圆内接正多边形的周长与边数的关系，核心是理解“圆内接正多边形边数越多，越接近圆，周长越大”的规律，属于基础题型，需准确分析各选项正多边形的边数。
【难度系数】
0.6
4. 如果一个正多边形的中心角是$20^{\circ }$,那么这个正多边形的边数为
18
.答案
4. 18 解析:360°÷20°=18,故这个正多边形的边数为 18.
解析
【分析】要解决这个问题，需明确正多边形的核心性质：正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角大小相等，因此正多边形的边数可通过“360°除以单个中心角的度数”计算得出，据此代入已知条件即可求解。
【解析】已知该正多边形的中心角为20°，根据正多边形边数与中心角的关系，边数 = 360° ÷ 中心角的度数 = 360° ÷ 20° = 18。
【答案】18
【知识点】正多边形的中心角
【点评】本题考查正多边形中心角与边数的基础关系，属于概念类基础题，只要牢记相关公式就能快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】已知该正多边形的中心角为20°，根据正多边形边数与中心角的关系，边数 = 360° ÷ 中心角的度数 = 360° ÷ 20° = 18。
【答案】18
【知识点】正多边形的中心角
【点评】本题考查正多边形中心角与边数的基础关系，属于概念类基础题，只要牢记相关公式就能快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
5. 如图，$AB$、$BC$ 和 $AC$ 分别为$\odot O$的内接正方形、内接正六边形和内接正$n$边形的一边，则$n$的值为
12
。答案
5. 12 解析:连接 OA、OB、OC. 由题意得,∠AOB=360°/4=90°,∠BOC=360°/6=60°,
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=30°,
∴n=360°/30°=12.
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=30°,
∴n=360°/30°=12.
解析
【分析】
要解决本题，需利用圆内接正多边形的中心角公式（正多边形的中心角=360°÷边数）。先分别求出AB对应的内接正方形的中心角∠AOB、BC对应的内接正六边形的中心角∠BOC，再计算AC对应的中心角∠AOC，最后根据中心角公式求出正n边形的边数n。
【解析】
连接OA、OB、OC。
1. 因为AB是⊙O的内接正方形的一边，根据圆内接正多边形中心角公式，正方形的中心角∠AOB = 360°÷4 = 90°；
2. 因为BC是⊙O的内接正六边形的一边，同理，正六边形的中心角∠BOC = 360°÷6 = 60°；
3. 因此AC对应的中心角∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - 60° = 30°；
4. 又因为AC是⊙O的内接正n边形的一边，所以该正n边形的中心角为30°，代入中心角公式得：n = 360°÷30° = 12。
【答案】
12
【知识点】
圆内接正多边形、中心角计算
【点评】
本题考查圆内接正多边形中心角的应用，核心是掌握正多边形中心角与边数的关系，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用圆内接正多边形的中心角公式（正多边形的中心角=360°÷边数）。先分别求出AB对应的内接正方形的中心角∠AOB、BC对应的内接正六边形的中心角∠BOC，再计算AC对应的中心角∠AOC，最后根据中心角公式求出正n边形的边数n。
【解析】
连接OA、OB、OC。
1. 因为AB是⊙O的内接正方形的一边，根据圆内接正多边形中心角公式，正方形的中心角∠AOB = 360°÷4 = 90°；
2. 因为BC是⊙O的内接正六边形的一边，同理，正六边形的中心角∠BOC = 360°÷6 = 60°；
3. 因此AC对应的中心角∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - 60° = 30°；
4. 又因为AC是⊙O的内接正n边形的一边，所以该正n边形的中心角为30°，代入中心角公式得：n = 360°÷30° = 12。
【答案】
12
【知识点】
圆内接正多边形、中心角计算
【点评】
本题考查圆内接正多边形中心角的应用，核心是掌握正多边形中心角与边数的关系，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在正十边形 $A_0A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9$ 中,连接 $A_1A_4$、$A_1A_7$,则 $∠ A_4A_1A_7$ 的度数为
54°
.答案
6. 54° 解析:如图,设正十边形内接于⊙O,连接 A₇O、A₄O.
∵正十边形的各边都相等,
∴∠A₇OA₄=3/10×360°=108°,
∴∠A₄A₁A₇=1/2×108°=54°.
解析
【分析】要计算正十边形中∠A₄A₁A₇的度数，可将正十边形看作内接于圆，先确定弧A₄A₇对应的圆心角，再利用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），即可求出目标角的度数。
【解析】设正十边形内接于⊙O，连接A₇O、A₄O。
∵正十边形的中心角为$\frac{360°}{10}=36°$，
从A₄到A₇间隔3条边，因此弧A₄A₇对应的圆心角$∠ A_7OA_4=3×36°=108°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ A_4A_1A_7=\frac{1}{2}∠ A_7OA_4=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】54°
【知识点】正多边形与圆，圆周角定理
【点评】本题结合正多边形的性质与圆周角定理，核心是将正多边形转化为圆内接图形，利用圆心角与圆周角的关系解题，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】设正十边形内接于⊙O，连接A₇O、A₄O。
∵正十边形的中心角为$\frac{360°}{10}=36°$，
从A₄到A₇间隔3条边，因此弧A₄A₇对应的圆心角$∠ A_7OA_4=3×36°=108°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ A_4A_1A_7=\frac{1}{2}∠ A_7OA_4=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】54°
【知识点】正多边形与圆，圆周角定理
【点评】本题结合正多边形的性质与圆周角定理，核心是将正多边形转化为圆内接图形，利用圆心角与圆周角的关系解题，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.5
7. 如图，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$，$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，$AB$、$AC$ 的垂直平分线分别交 $\odot O$ 于点 $E$、$F$，求证：五边形 $AEBCF$ 是 $\odot O$ 的内接正五边形.
答案
7. 证明:如图,连接 BF、CE.
∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵AB、AC 的垂直平分线分别交⊙O于点 E、F,
∴AF=CF,AE=BE,
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF}$,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,
∴∠ABF=∠CBF=1/2∠ABC=36°,∠ACE=∠BCE=1/2∠ACB=36°,
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°,
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{FC}$,
∴AE=AF=BE=BC=FC,
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA=108°,
∴五边形 AEBCF 是⊙O 的内接正五边形.
解析
【分析】要证明五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形，需证明该五边形的各边相等、各内角相等，结合圆的性质，可通过证明五边形各顶点分圆所得的弧相等来推导。首先利用等腰三角形性质求出△ABC的底角，再根据垂直平分线的性质得到弧相等，进而通过圆周角关系推导各弧相等，最终证明五边形为正五边形。
【解析】
证明：如图，连接BF、CE。
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°。
∵ AB的垂直平分线交⊙O于点E，AC的垂直平分线交⊙O于点F，
∴ AE=BE，AF=CF，根据垂直平分线的性质，可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF}$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，故∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°。
由此可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{FC}$（等角对等弧）。
在同圆中，等弧对等弦，故AE=AF=BE=BC=FC；等弧所对的圆周角相等，因此五边形AEBCF的各内角均相等，所以五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
【答案】如图，五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
【知识点】圆内接正多边形判定，垂直平分线性质，圆周角定理
【点评】本题综合考查等腰三角形、垂直平分线、圆周角定理及圆内接正多边形的判定，需通过弧的相等关系推导边和角的相等，是圆的典型综合题，注重知识点的串联应用。
【难度系数】0.5
【解析】
证明：如图，连接BF、CE。
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°。
∵ AB的垂直平分线交⊙O于点E，AC的垂直平分线交⊙O于点F，
∴ AE=BE，AF=CF，根据垂直平分线的性质，可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF}$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，故∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°。
由此可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{FC}$（等角对等弧）。
在同圆中，等弧对等弦，故AE=AF=BE=BC=FC；等弧所对的圆周角相等，因此五边形AEBCF的各内角均相等，所以五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
【答案】如图，五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
【知识点】圆内接正多边形判定，垂直平分线性质，圆周角定理
【点评】本题综合考查等腰三角形、垂直平分线、圆周角定理及圆内接正多边形的判定，需通过弧的相等关系推导边和角的相等，是圆的典型综合题，注重知识点的串联应用。
【难度系数】0.5
