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9.化简：
$(a_1+a_2+\dots+a_{n-1})(a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n)-(a_2+a_3+\dots+a_{n-1})(a_1+a_2+\dots+a_n)$。
$(a_1+a_2+\dots+a_{n-1})(a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n)-(a_2+a_3+\dots+a_{n-1})(a_1+a_2+\dots+a_n)$。
答案
9.解:设$a_2+a_3+\dots+a_{n-1}=A$,则原式=$(a_1+A)(A+a_n)-A(a_1+A+a_n)=a_1a_n$。
解析
【分析】
观察原式可发现，式子中多次重复出现多项式$a_2+a_3+\dots+a_{n-1}$，如果直接展开多项式乘法，会产生大量重复项，计算繁琐易出错。因此可以采用整体代换的思路，把重复的公共部分设为一个字母$A$，将复杂的多因式运算转化为简单的含$A$的多项式运算，展开后同类项会相互抵消，就能快速得到化简结果。
【解析】
设$a_2+a_3+\dots+a_{n-1}=A$，则原式可改写为：
$\begin{aligned}&(a_1+A)(A+a_n)-A(a_1+A+a_n)\\=&a_1A+a_1a_n+A^2+Aa_n-(a_1A+A^2+Aa_n)\\=&a_1A+a_1a_n+A^2+Aa_n-a_1A-A^2-Aa_n\\=&a_1a_n\end{aligned}$
【答案】
$a_1a_n$
【知识点】
整体代换，多项式乘法，整式化简
【点评】
本题核心考查整式化简中的整体代换技巧，当运算中存在多个重复的复杂多项式部分时，将重复部分设为整体代换，可大幅减少运算量，避免展开过多项出现计算失误，是整式化简的常用技巧。
【难度系数】
0.65
观察原式可发现，式子中多次重复出现多项式$a_2+a_3+\dots+a_{n-1}$，如果直接展开多项式乘法，会产生大量重复项，计算繁琐易出错。因此可以采用整体代换的思路，把重复的公共部分设为一个字母$A$，将复杂的多因式运算转化为简单的含$A$的多项式运算，展开后同类项会相互抵消，就能快速得到化简结果。
【解析】
设$a_2+a_3+\dots+a_{n-1}=A$，则原式可改写为：
$\begin{aligned}&(a_1+A)(A+a_n)-A(a_1+A+a_n)\\=&a_1A+a_1a_n+A^2+Aa_n-(a_1A+A^2+Aa_n)\\=&a_1A+a_1a_n+A^2+Aa_n-a_1A-A^2-Aa_n\\=&a_1a_n\end{aligned}$
【答案】
$a_1a_n$
【知识点】
整体代换，多项式乘法，整式化简
【点评】
本题核心考查整式化简中的整体代换技巧，当运算中存在多个重复的复杂多项式部分时，将重复部分设为整体代换，可大幅减少运算量，避免展开过多项出现计算失误，是整式化简的常用技巧。
【难度系数】
0.65
10.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加的一个条件是：
AE=AF
，并给予证明。答案
10.添加条件:AE=AF 证明:在$△AED$与$△AFD$中,$\because AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,\therefore ∠EAD=∠FDA,\therefore △AED≌△AFD$。
解析
【分析】
要判定△AED≌△AFD，先梳理现有已知条件：AD是△ABC的角平分线，根据角平分线定义可得∠EAD=∠FAD，同时△AED和△AFD有公共边AD=AD，已经满足一组对应角相等、一组对应边相等的条件。结合全等三角形的判定定理，只需再补充一个符合判定规则的条件即可，比如补充等角的另一组夹边AE=AF，就可通过SAS判定两三角形全等。
【解析】
添加条件：$AE=AF$（答案不唯一）
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ EAD=∠ FAD$，
在$△ AED$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}AE=AF(\mathrm{添加的条件}) \\∠ EAD=∠ FAD(\mathrm{已证}) \\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ AED ≌ △ AFD(\mathrm{SAS})$
【答案】
$AE=AF$（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等判定的开放型习题，需要结合已有条件匹配全等判定定理，补充缺失的条件即可作答，解题时需注意题目不添加辅助线的要求，能够有效考查对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判定△AED≌△AFD，先梳理现有已知条件：AD是△ABC的角平分线，根据角平分线定义可得∠EAD=∠FAD，同时△AED和△AFD有公共边AD=AD，已经满足一组对应角相等、一组对应边相等的条件。结合全等三角形的判定定理，只需再补充一个符合判定规则的条件即可，比如补充等角的另一组夹边AE=AF，就可通过SAS判定两三角形全等。
【解析】
添加条件：$AE=AF$（答案不唯一）
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ EAD=∠ FAD$，
在$△ AED$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}AE=AF(\mathrm{添加的条件}) \\∠ EAD=∠ FAD(\mathrm{已证}) \\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ AED ≌ △ AFD(\mathrm{SAS})$
【答案】
$AE=AF$（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等判定的开放型习题，需要结合已有条件匹配全等判定定理，补充缺失的条件即可作答，解题时需注意题目不添加辅助线的要求，能够有效考查对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11.商场为了促销，提出两种销售方式，方式①:所有商品打七五折销售；方式②:一次购物单价每满200元送60元现金。
杨老师要购买标价为628元和787元的商品各一件，现有四种方案：
方案一:628元和788元的商品均按促销方式①购买；
方案二:628元的商品按方式①购买，788元的商品按方式②购买；
方案三:628元的商品按方式②购买，788元的商品按方式①购买；
方案四:628元和788元的商品均按方式②购买。
你能帮杨老师找出最合理的购买方案吗？
杨老师要购买标价为628元和787元的商品各一件，现有四种方案：
方案一:628元和788元的商品均按促销方式①购买；
方案二:628元的商品按方式①购买，788元的商品按方式②购买；
方案三:628元的商品按方式②购买，788元的商品按方式①购买；
方案四:628元和788元的商品均按方式②购买。
你能帮杨老师找出最合理的购买方案吗？
答案
解：
分别计算四种方案的实际花费：
方案一：
两件商品总价为 $628 + 788 = 1416$ 元，
实际花费：$1416 × 0.75 = 1062$ 元。
方案二：
628元商品打七五折花费：$628 × 0.75 = 471$ 元，
788元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$788 - 180 = 608$ 元，
总花费：$471 + 608 = 1079$ 元。
方案三：
628元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$628 - 180 = 448$ 元，
788元商品打七五折花费：$788 × 0.75 = 591$ 元，
总花费：$448 + 591 = 1039$ 元。
方案四：
628元商品按方式②实际花费448元，788元商品按方式②实际花费608元，
总花费：$448 + 608 = 1056$ 元。
比较四个方案花费：$1039 ＜ 1056 ＜ 1062 ＜ 1079$，方案三花费最少。
答：最合理的购买方案是方案三。
分别计算四种方案的实际花费：
方案一：
两件商品总价为 $628 + 788 = 1416$ 元，
实际花费：$1416 × 0.75 = 1062$ 元。
方案二：
628元商品打七五折花费：$628 × 0.75 = 471$ 元，
788元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$788 - 180 = 608$ 元，
总花费：$471 + 608 = 1079$ 元。
方案三：
628元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$628 - 180 = 448$ 元，
788元商品打七五折花费：$788 × 0.75 = 591$ 元，
总花费：$448 + 591 = 1039$ 元。
方案四：
628元商品按方式②实际花费448元，788元商品按方式②实际花费608元，
总花费：$448 + 608 = 1056$ 元。
比较四个方案花费：$1039 ＜ 1056 ＜ 1062 ＜ 1079$，方案三花费最少。
答：最合理的购买方案是方案三。
解析
【分析】
要找到最合理的购买方案，本质是选出花费最少的方案，解题思路如下：第一步，先明确两种促销方式的计算规则：方式①为商品总价乘0.75得到实付金额；方式②为计算商品标价里完整的200元的个数，每满1个200元减免60元，不满200元的部分不减免。第二步，分别计算四种方案的总花费。第三步，对比四个方案的总花费，金额最小的即为最优方案。
【解析】
分别计算四种方案的实际花费：
方案一：
两件商品总价为 $628 + 788 = 1416$ 元，
实际花费：$1416 × 0.75 = 1062$ 元。
方案二：
628元商品打七五折花费：$628 × 0.75 = 471$ 元，
788元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$788 - 180 = 608$ 元，
总花费：$471 + 608 = 1079$ 元。
方案三：
628元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$628 - 180 = 448$ 元，
788元商品打七五折花费：$788 × 0.75 = 591$ 元，
总花费：$448 + 591 = 1039$ 元。
方案四：
628元商品按方式②实际花费448元，788元商品按方式②实际花费608元，
总花费：$448 + 608 = 1056$ 元。
比较四个方案花费：$1039 ＜ 1056 ＜ 1062 ＜ 1079$，方案三花费最少。
【答案】
最合理的购买方案是方案三。
【知识点】
打折销售计算，最优方案选择，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景出题，解题核心是准确理解不同促销规则的计算方法，通过逐一计算各方案的花费再对比得出最优结果，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要找到最合理的购买方案，本质是选出花费最少的方案，解题思路如下：第一步，先明确两种促销方式的计算规则：方式①为商品总价乘0.75得到实付金额；方式②为计算商品标价里完整的200元的个数，每满1个200元减免60元，不满200元的部分不减免。第二步，分别计算四种方案的总花费。第三步，对比四个方案的总花费，金额最小的即为最优方案。
【解析】
分别计算四种方案的实际花费：
方案一：
两件商品总价为 $628 + 788 = 1416$ 元，
实际花费：$1416 × 0.75 = 1062$ 元。
方案二：
628元商品打七五折花费：$628 × 0.75 = 471$ 元，
788元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$788 - 180 = 608$ 元，
总花费：$471 + 608 = 1079$ 元。
方案三：
628元商品按方式②，满200元的次数为3次，返还现金 $3 × 60 = 180$ 元，实际花费：$628 - 180 = 448$ 元，
788元商品打七五折花费：$788 × 0.75 = 591$ 元，
总花费：$448 + 591 = 1039$ 元。
方案四：
628元商品按方式②实际花费448元，788元商品按方式②实际花费608元，
总花费：$448 + 608 = 1056$ 元。
比较四个方案花费：$1039 ＜ 1056 ＜ 1062 ＜ 1079$，方案三花费最少。
【答案】
最合理的购买方案是方案三。
【知识点】
打折销售计算，最优方案选择，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景出题，解题核心是准确理解不同促销规则的计算方法，通过逐一计算各方案的花费再对比得出最优结果，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
