6.综合与实践
【问题情境】如图1,正方形ABCD和正方形AB₁C₁D₁有公共顶点A,AB=2√2 + 2,AB₁=2。现将正方形AB₁C₁D₁绕点A按顺时针方向旋转,旋转角为α(0°＜α＜360°),连结DD₁,BB₁。
(1)【猜想证明】猜想图2中DD₁与BB₁的数量关系并证明;
(2)【探究发现】如图3,当α=90°时,连结BD,延长DD₁交BB₁于点E,求证:DE垂直平分BB₁;
(3)【拓展延伸】在旋转过程中,当△BB₁D的面积最大时,直接写出此时旋转角α的度数和△BB₁D的面积。

(1)$DD_1=BB_1$,理由如下:在正方形 ABCD 中,$AD=AB$,$∠ DAB=90°$,在正方形$AB_1C_1D_1$中,$AD_1=AB_1$,$∠ D_1AB_1=90°$,所以$∠ DAB-∠ D_1AB=∠ D_1AB_1-∠ D_1AB$,即$∠ DAD_1=∠ BAB_1$,所以$△ DAD_1≌△ BAB_1(\mathrm{SAS})$,所以$DD_1=BB_1$；
(2)由(1)知,$△ DAD_1≌△ BAB_1$,所以$∠ ADD_1=∠ ABB_1$。因为$∠ AD_1D=∠ ED_1B$,所以$180°-∠ ADD_1-∠ AD_1D=180°-∠ ABB_1-∠ ED_1B$,即$∠ DAB=∠ D_1EB=90°$,所以$DE⊥ BB_1$。因为$AB=AD=2\sqrt{2}+2$,$AB_1=AD_1=2$,$∠ DAB=∠ D_1AB_1=90°$,所以$BD=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}+4$,$B_1D=AD+AB_1=2\sqrt{2}+4$,所以$BD=B_1D$。因为$DE⊥ BB_1$,所以$B_1E=BE$,所以 DE 垂直平分$BB_1$；
(3)在$△ BB_1D$中,边 BD 的长是定值,则 BD 边上的高取最大值时$△ BB_1D$的面积有最大值,所以当点$B_1$在线段 BD 的垂直平分线上时,$△ BB_1D$的面积有最大值,作 AE 垂直平分 BD 于点 E,如图所示。因为$AB=AD=2\sqrt{2}+2$,$∠ BAD=90°$,AE 垂直平分 BD,所以$∠ EAB=45°$,$BD=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×(2\sqrt{2}+2)=4+2\sqrt{2}$,所以$AE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×(4+2\sqrt{2})=2+\sqrt{2}$。因为$AB_1=2$,所以$B_1E=AB_1+AE=2+2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$,$∠ B_1AB=180°-∠ EAB=180°-45°=135°$,所以$△ BB_1D$的面积最大值$=\frac{1}{2}BD· B_1E=\frac{1}{2}×(4+2\sqrt{2})×(4+\sqrt{2})=10+6\sqrt{2}$,$α=∠ B_1AB=135°$。

【分析】
本题是正方形旋转的综合问题，分三小问逐步解决：
1. 第(1)问需猜想并证明$DD_1$与$BB_1$的数量关系，利用正方形的边相等、角相等，结合旋转后角的关系，通过SAS证明三角形全等，从而得到线段相等；
2. 第(2)问要证$DE$垂直平分$BB_1$，先由(1)的全等得到角相等，推出$DE⊥BB_1$，再计算$BD$和$B_1D$的长度，证明$△ BDB_1$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质完成证明；
3. 第(3)问求$△ BB_1D$面积最大时的旋转角和面积，关键是$BD$为定值，当$BD$边上的高最大时面积最大，找到$B_1$到$BD$的高最大的位置，计算旋转角和面积。
【解析】
(1) 猜想：$DD_1=BB_1$，证明如下：
在正方形$ABCD$中，$AD=AB$，$∠DAB=90°$；在正方形$AB_1C_1D_1$中，$AD_1=AB_1$，$∠D_1AB_1=90°$。
所以$∠DAB + ∠D_1AB = ∠D_1AB_1 + ∠D_1AB$，即$∠DAD_1=∠BAB_1$。
在$△ DAD_1$和$△ BAB_1$中：
$\begin{cases} AD=AB \\ ∠DAD_1=∠BAB_1 \\ AD_1=AB_1 \end{cases}$
所以$△ DAD_1≌△ BAB_1(\mathrm{SAS})$，故$DD_1=BB_1$。
(2) 证明：
由(1)知$△ DAD_1≌△ BAB_1$，所以$∠ADD_1=∠ABB_1$。
又$∠AD_1D=∠ED_1B$，所以$180°-∠ADD_1-∠AD_1D=180°-∠ABB_1-∠ED_1B$，即$∠DAB=∠D_1EB=90°$，故$DE⊥BB_1$。
已知$AB=AD=2\sqrt{2}+2$，$AB_1=AD_1=2$，$∠DAB=∠D_1AB_1=90°$，则：
$BD=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}(2\sqrt{2}+2)=4+2\sqrt{2}$，
$B_1D=AD + AB_1=2\sqrt{2}+2 + 2=2\sqrt{2}+4$，
所以$BD=B_1D$，即$△ BDB_1$是等腰三角形。
又$DE⊥BB_1$，根据等腰三角形三线合一，得$B_1E=BE$，故$DE$垂直平分$BB_1$。
(3) 解：
在$△ BB_1D$中，$BD$为定值，当$BD$边上的高取最大值时，$△ BB_1D$的面积最大。
当点$B_1$在线段$BD$的垂直平分线上时，$B_1$到$BD$的高最大。
作$AE$垂直平分$BD$于$E$，因为$AB=AD=2\sqrt{2}+2$，$∠BAD=90°$，所以：
$BD=\sqrt{2}AB=4+2\sqrt{2}$，$AE=\frac{1}{2}BD=2+\sqrt{2}$，
$B_1E=AB_1 + AE=2 + 2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$，
此时$∠B_1AB=180°-∠EAB=180°-45°=135°$，即旋转角$α=135°$。
$△ BB_1D$的面积最大值为：$\frac{1}{2}×BD×B_1E=\frac{1}{2}×(4+2\sqrt{2})×(4+\sqrt{2})=10+6\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$DD_1=BB_1$，理由如下:在正方形 ABCD 中,$AD=AB$,$∠ DAB=90°$,在正方形$AB_1C_1D_1$中,$AD_1=AB_1$,$∠ D_1AB_1=90°$,所以$∠ DAB-∠ D_1AB=∠ D_1AB_1-∠ D_1AB$,即$∠ DAD_1=∠ BAB_1$,所以$△ DAD_1≌△ BAB_1(\mathrm{SAS})$,所以$DD_1=BB_1$；
(2)由(1)知,$△ DAD_1≌△ BAB_1$,所以$∠ ADD_1=∠ ABB_1$。因为$∠ AD_1D=∠ ED_1B$,所以$180°-∠ ADD_1-∠ AD_1D=180°-∠ ABB_1-∠ ED_1B$,即$∠ DAB=∠ D_1EB=90°$,所以$DE⊥ BB_1$。因为$AB=AD=2\sqrt{2}+2$,$AB_1=AD_1=2$,$∠ DAB=∠ D_1AB_1=90°$,所以$BD=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}+4$,$B_1D=AD+AB_1=2\sqrt{2}+4$,所以$BD=B_1D$。因为$DE⊥ BB_1$,所以$B_1E=BE$,所以 DE 垂直平分$BB_1$；
(3)旋转角$α=135°$,$△ BB_1D$的面积为$10+6\sqrt{2}$。

【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、垂直平分线、三角形面积最值
【点评】
本题是正方形旋转的综合探究题，结合全等三角形、垂直平分线、三角形面积最值等知识点，需要学生掌握旋转的性质，利用正方形的边和角的关系进行推导，考察综合应用能力，难度中等偏上。
【难度系数】
0.4