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19.(本题8分)近年来,某市全面开展素质教育,坚持“五育并举”,强化体育锻炼促进学生身心健康全面发展,各校纷纷响应号召,积极开展阳光体育运动。某校将举行阳光跳绳比赛,每班推荐一位学生参赛,八年级(1)班将在甲、乙两位学生中推荐一位参赛。该班级对甲、乙两位同学连续7天一分钟跳绳成绩进行了收集、整理,并绘制了折线统计图：
(1)老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析,并制作了以下统计表,请分别求出表中$a,b,c$的值。
(2)若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛,你会推荐谁参加比赛?请给出一条推荐理由。
(1)老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析,并制作了以下统计表,请分别求出表中$a,b,c$的值。
(2)若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛,你会推荐谁参加比赛?请给出一条推荐理由。
答案
19.解:(1)平均数$a=\dfrac{150+160+155+155+170+180+185}{7}=165$;对乙数据按大小排列:140,158,160,160,170,180,180,中位数$b=160$;众数$c=155$；(2)我会推荐甲学生参加比赛。推荐理由是:甲、乙两位学生的中位数相等,但甲的平均数略高,从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需依据平均数、中位数、众数的定义计算对应值：平均数是数据总和除以数据个数；中位数是将数据排序后，奇数个数据时取中间位置的数；众数是数据中出现次数最多的数。第(2)问需对比甲、乙的统计量，结合参赛需求（成绩整体水平、发展趋势等）选择选手，需分析统计量的实际意义。
【解析】
(1) 计算甲的平均数$a$：
将甲7天的跳绳成绩求和后除以7，即
$a=\dfrac{150+160+155+155+170+180+185}{7}=\dfrac{1155}{7}=165$；
计算乙的中位数$b$：
先将乙7天的成绩从小到大排列：140,158,160,160,170,180,180，共7个数据，中间位置为第4个，故中位数$b=160$；
计算甲的众数$c$：
观察甲的成绩，155出现次数最多（2次），因此众数$c=155$；
(2) 推荐甲参加比赛：
甲、乙的中位数相同，但甲的平均数更高，说明甲的整体成绩更好；从折线统计图可看出甲的成绩呈上升趋势，稳定性和发展态势更优，因此推荐甲。
【答案】
(1) $a=165$，$b=160$，$c=155$；(2) 推荐甲参加比赛，理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，且甲的成绩趋势更好，稳定性更优。
【知识点】
平均数、中位数、众数、数据的分析
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，是统计模块的基础题型，需熟练掌握三类统计量的定义，能结合实际场景合理分析统计量的意义，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需依据平均数、中位数、众数的定义计算对应值：平均数是数据总和除以数据个数；中位数是将数据排序后，奇数个数据时取中间位置的数；众数是数据中出现次数最多的数。第(2)问需对比甲、乙的统计量，结合参赛需求（成绩整体水平、发展趋势等）选择选手，需分析统计量的实际意义。
【解析】
(1) 计算甲的平均数$a$：
将甲7天的跳绳成绩求和后除以7，即
$a=\dfrac{150+160+155+155+170+180+185}{7}=\dfrac{1155}{7}=165$；
计算乙的中位数$b$：
先将乙7天的成绩从小到大排列：140,158,160,160,170,180,180，共7个数据，中间位置为第4个，故中位数$b=160$；
计算甲的众数$c$：
观察甲的成绩，155出现次数最多（2次），因此众数$c=155$；
(2) 推荐甲参加比赛：
甲、乙的中位数相同，但甲的平均数更高，说明甲的整体成绩更好；从折线统计图可看出甲的成绩呈上升趋势，稳定性和发展态势更优，因此推荐甲。
【答案】
(1) $a=165$，$b=160$，$c=155$；(2) 推荐甲参加比赛，理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，且甲的成绩趋势更好，稳定性更优。
【知识点】
平均数、中位数、众数、数据的分析
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，是统计模块的基础题型，需熟练掌握三类统计量的定义，能结合实际场景合理分析统计量的意义，难度适中。
【难度系数】
0.6
20.(本题8分)如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,连结FD,FE。
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)连结BF,若四边形BEFD是菱形,$BF=12,AC=8$,求EF的长。
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)连结BF,若四边形BEFD是菱形,$BF=12,AC=8$,求EF的长。
答案
20.解:(1)证明:因为D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,所以DF,EF都是$△ ABC$的中位线,所以$DF// BC$,$EF// BA$,所以四边形BEFD是平行四边形；(2)因为四边形BEFD是菱形,所以$BE=BD$。因为D,E分别是边AB,BC的中点,所以$BC=BA$。因为F是边CA的中点,所以$BF⊥AC$,$FC=\dfrac{1}{2}AC=4$。在$Rt△ BFC$中,$BC=\sqrt{BF^2+FC^2}$,因为$BF=12$,$FC=4$,所以$BC=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}$,所以$EF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{10}$。
解析
【分析】
要解决这道题，分两步推导：
1. 第(1)问需证明四边形BEFD是平行四边形，利用三角形中位线定理，D、E、F是各边中点，可得DF、EF为△ABC的中位线，进而推出两组对边分别平行，即可判定平行四边形。
2. 第(2)问，已知四边形BEFD是菱形，根据菱形邻边相等的性质，结合中点定义推出AB=BC；再由菱形对角线互相垂直，得BF⊥AC，结合AC长度算出FC，用勾股定理求出BC，最后利用三角形中位线定理，EF是△ABC的中位线，EF=1/2 BC，即可得到EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴ DF是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得：DF//BC，EF//AB，
即 DF//BE，EF//BD，
∴ 四边形BEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形BEFD是菱形，
∴ BE = BD（菱形的邻边相等），
∵ D、E分别是AB、BC的中点，
∴ BD = 1/2 AB，BE = 1/2 BC，
∴ 1/2 AB = 1/2 BC，即 AB = BC，
又
∵ F是AC中点，BF是菱形BEFD的对角线，
∴ BF⊥AC（菱形的对角线互相垂直），
已知 AC=8，
∴ FC = 1/2 AC = 4，
在Rt△BFC中，BF=12，FC=4，
由勾股定理得：BC = √(BF² + FC²) = √(12² + 4²) = √160 = 4√10，
∵ EF是△ABC的中位线，
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 4√10 = 2√10。
【答案】
(1) 证明成立；(2) EF的长为2√10。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线、平行四边形与菱形的性质，需熟练运用几何定理逐步推导，步骤清晰，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分两步推导：
1. 第(1)问需证明四边形BEFD是平行四边形，利用三角形中位线定理，D、E、F是各边中点，可得DF、EF为△ABC的中位线，进而推出两组对边分别平行，即可判定平行四边形。
2. 第(2)问，已知四边形BEFD是菱形，根据菱形邻边相等的性质，结合中点定义推出AB=BC；再由菱形对角线互相垂直，得BF⊥AC，结合AC长度算出FC，用勾股定理求出BC，最后利用三角形中位线定理，EF是△ABC的中位线，EF=1/2 BC，即可得到EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴ DF是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得：DF//BC，EF//AB，
即 DF//BE，EF//BD，
∴ 四边形BEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形BEFD是菱形，
∴ BE = BD（菱形的邻边相等），
∵ D、E分别是AB、BC的中点，
∴ BD = 1/2 AB，BE = 1/2 BC，
∴ 1/2 AB = 1/2 BC，即 AB = BC，
又
∵ F是AC中点，BF是菱形BEFD的对角线，
∴ BF⊥AC（菱形的对角线互相垂直），
已知 AC=8，
∴ FC = 1/2 AC = 4，
在Rt△BFC中，BF=12，FC=4，
由勾股定理得：BC = √(BF² + FC²) = √(12² + 4²) = √160 = 4√10，
∵ EF是△ABC的中位线，
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 4√10 = 2√10。
【答案】
(1) 证明成立；(2) EF的长为2√10。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线、平行四边形与菱形的性质，需熟练运用几何定理逐步推导，步骤清晰，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
