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1. (2025·江苏连云港二模)已知△ABC在经过某次平移后,顶点A(-1,m+2)的对应点为A₁(2, m-3).若△ABC内任意一点P(a,b)经过此次平移后对应点为P₁(c,d),则a+b−c−d的值为 (
A.8+m
B.−8+m
C.2
D.−2
C
)A.8+m
B.−8+m
C.2
D.−2
答案
1. C 解析:由题意,得△ABC先向右平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度,所以a+3=c,b−5=d,即a−c=−3,b−d=5. 所以a+b−c−d=a−c+b−d=2.
2. 已知平面直角坐标系中有一个轴对称图形，$A(3,-\dfrac{5}{2}),B(3,-\dfrac{11}{2})$两点在此图形上且互为对称点。若此图形上有一点$C(-2,-9)$，则点$C$的对称点的坐标为
(-2,1)
。答案
2. (-2,1) 解析:由题意,得此图形关于直线y=−4对称,所以点C的对称点的坐标为(−2,1).
3. 已知在平面直角坐标系中，点$ A(x,y) $的坐标满足方程$ 3x - y = 4 $。当点$ A $在第四象限，且$ OA $是第四象限的角平分线时，点$ A $的坐标为
(1,−1)
。答案
3. (1,−1) 解析:因为点A在第四象限,且OA是第四象限的角平分线,所以x+y=0. 又3x−y=4,所以x=1,y=−1.则点A的坐标为(1,−1).
4. 已知平面直角坐标系内有一点A(1,−1),O是坐标原点,P是x轴上一动点.如果以P,O,A三点为顶点的三角形是等腰三角形,那么点P的坐标为
(1,0)或(2,0)或(√2,0)或(−√2,0)
.答案
4. (1,0)或(2,0)或(√2,0)或(−√2,0) 解析:过点A作AB⊥x轴于点B. 因为点A的坐标为(1,−1),所以OB=AB=1. 所以OA=√(AB²+OB²)=√2. 又点P在x轴上,且以P,O,A三点为顶点的三角形是等腰三角形,所以有OP=AP 或OA=AP 或OA=OP 三种情况. 当OP=AP时,P,B两点重合,则点P的坐标为(1,0);当OA=AP时,OP=2OB=2,则点P的坐标为(2,0);当OA=OP时,OP=√2,所以点P的坐标为(√2,0)或(−√2,0).综上,点P的坐标为(1,0)或(2,0)或(√2,0)或(−√2,0).
5. 记有序的有理数对$x,y$为$(x,y)$.若$xy＞0,|x|y - x = 0$且$|x| + |y| = 3$,则满足以上条件的有理数对$(x,y)$是________.
答案
5. (2,1)或(−2,−1) 解析:因为xy＞0,所以x,y同号,且不为0. 又|x|y−x=0且|x|+|y|=3,所以当x＞0,y＞0时,xy−x=0,x+y=3. 所以y=1,x=2. 则有理数对(x,y)是(2,1);当x＜0,y＜0时,−xy−x=0,−x−y=3. 所以y=−1,x=−2. 则有理数对(x,y)是(−2,−1).综上,有理数对(x,y)是(2,1)或(−2,−1).
6. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l$为第一、三象限的角平分线,点$P$关于$y$轴的对称点称为点$P$的一次反射点,记作点$P_1$;点$P_1$关于直线$l$的对称点称为点$P$的二次反射点,记作点$P_2$.例如:点$(-2,5)$的一次反射点为$(2,5)$,二次反射点为$(5,2)$.根据定义,解答下列问题:
(1) 点$(3,4)$的一次反射点为
(2) 当点$A$在第三象限时,$M(-4,1)$,$N(3,-1)$,$Q(-1,-5)$三点中可以是点$A$的二次反射点的是
(3) 若点$A$在第二象限,$A_1$,$A_2$两点分别是点$A$的一次、二次反射点,$∠A_1OA_2=50°$,求射线$OA$与$x$轴所夹锐角的度数.
(1) 点$(3,4)$的一次反射点为
(-3,4)
,二次反射点为(4,-3)
;(2) 当点$A$在第三象限时,$M(-4,1)$,$N(3,-1)$,$Q(-1,-5)$三点中可以是点$A$的二次反射点的是
点M
;(3) 若点$A$在第二象限,$A_1$,$A_2$两点分别是点$A$的一次、二次反射点,$∠A_1OA_2=50°$,求射线$OA$与$x$轴所夹锐角的度数.
答案
6. (1) (−3,4) (4,−3)
(2) 点M
(3) 因为∠A₁OA₂=50°,所以易得射线OA₁与x轴所夹锐角为20°或70°.因为A,A₁两点关于y轴对称,所以射线OA与x轴所夹锐角的度数为20°或70°.
(2) 点M
(3) 因为∠A₁OA₂=50°,所以易得射线OA₁与x轴所夹锐角为20°或70°.因为A,A₁两点关于y轴对称,所以射线OA与x轴所夹锐角的度数为20°或70°.
