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8. 如图，在平面直角坐标系中，原点$O$为▱$ABCD$的对角线$BD$的中点，$AD// x$轴. 若点$B$的坐标为$(-2,-2)$，$AD = 6$，则点$A$的坐标为
$(-4,2)$
.答案
8. $(-4,2)$
9. (2025·东港期末)如图，在▱$ABCD$中，$O$是对角线$AC$，$BD$的交点，过点$O$作$OE⊥ AC$交$AD$于点$E$. 若$∠ DEC = 80^{\circ}$，则$∠ ACB$的度数为
$40^{\circ}$
.答案
9. $40^{\circ}$
10. 如图，平行四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$的直线分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$. 若图中阴影部分的面积为$3\ cm^{2}$，$BC = 4\ cm$，则$AD$与$BC$之间的距离为
3
$cm$.答案
10. 3
11. (2025·山东)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$BC = 8$. $P$为边$AC$上异于点$A$的一点，以$PA$，$PB$为邻边作▱$PAQB$，则线段$PQ$的最小值是
4.8
.答案
11. 4.8
12. 如图，已知点$A(x,3)$，$B(-2,-3)$，$C(5,y)$，▱$ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于原点$O$.
(1)求出$x$，$y$的值；
(2)求出▱$ABCD$的面积.
(1)求出$x$，$y$的值；
(2)求出▱$ABCD$的面积.
答案
12. 解：(1)由题意知点$A$，$C$关于原点对称，
$\because A(x,3)$，$C(5,y)$，
$\therefore x=-5$，$y=-3$．
(2)$□ ABCD$的面积$=[5-(-2)]× [3-(-3)]=7× 6=42$．
$\because A(x,3)$，$C(5,y)$，
$\therefore x=-5$，$y=-3$．
(2)$□ ABCD$的面积$=[5-(-2)]× [3-(-3)]=7× 6=42$．
13. 已知▱$ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与边$AB$，$CD$分别相交于点$E$，$F$.
(1)如图①，求证：$OE = OF$.
(2)如图②，已知$AD = 1$，$BD = 2$，$AC = 2\sqrt{2}$，$∠ DOF = α$.
①当$α$为多少度时，$EF⊥ AC$?
②在①的条件下，连接$AF$，求$△ ADF$的周长.
(1)如图①，求证：$OE = OF$.
(2)如图②，已知$AD = 1$，$BD = 2$，$AC = 2\sqrt{2}$，$∠ DOF = α$.
①当$α$为多少度时，$EF⊥ AC$?
②在①的条件下，连接$AF$，求$△ ADF$的周长.
答案
13. (1)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OB=OD$，$AB// CD$，$\therefore ∠ EBO=∠ FDO$．
又$\because ∠ BOE=∠ DOF$，$\therefore △ BOE≌ △ DOF(ASA)$，
$\therefore OE=OF$．
(2)解：①$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OD=\frac{1}{2}BD=1$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$．
又$\because AD=1$，$\therefore AD^{2}+OD^{2}=OA^{2}$，
$\therefore △ ADO$为直角三角形，且$∠ ADO=90^{\circ}$，
$\because AD=OD$，$\therefore ∠ AOD=45^{\circ}$．
$\because EF⊥ AC$，$\therefore ∠ AOF=90^{\circ}$，
$\therefore α =90^{\circ}-∠ AOD=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，
即当$α$为$45^{\circ}$时，$EF⊥ AC$．
②由(1)可得$EF$垂直平分$AC$，$\therefore AF=FC$．
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$\therefore CD=AB=\sqrt{5}$，
$\therefore △ ADF$的周长$=AD+DF+FA=AD+CD=1+\sqrt{5}$．
$\therefore OB=OD$，$AB// CD$，$\therefore ∠ EBO=∠ FDO$．
又$\because ∠ BOE=∠ DOF$，$\therefore △ BOE≌ △ DOF(ASA)$，
$\therefore OE=OF$．
(2)解：①$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OD=\frac{1}{2}BD=1$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$．
又$\because AD=1$，$\therefore AD^{2}+OD^{2}=OA^{2}$，
$\therefore △ ADO$为直角三角形，且$∠ ADO=90^{\circ}$，
$\because AD=OD$，$\therefore ∠ AOD=45^{\circ}$．
$\because EF⊥ AC$，$\therefore ∠ AOF=90^{\circ}$，
$\therefore α =90^{\circ}-∠ AOD=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，
即当$α$为$45^{\circ}$时，$EF⊥ AC$．
②由(1)可得$EF$垂直平分$AC$，$\therefore AF=FC$．
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$\therefore CD=AB=\sqrt{5}$，
$\therefore △ ADF$的周长$=AD+DF+FA=AD+CD=1+\sqrt{5}$．
