4. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$CD$的中点，$F$是$AE$的中点，$FC$与$BE$相交于点$G$，求证：$GF=GC$.

证明: 如答图,取BE的中点H,连接CH,FH.
∵F是AE的中点,H是BE的中点,
∴FH是△ABE的中位线.
∴FH//AB,FH=$\frac{1}{2}$AB.
又
∵E是CD的中点,
∴EC=$\frac{1}{2}$DC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//DC,AB=DC.
∴FH=EC,FH//EC.
∴四边形EFHC是平行四边形.
∴GF=GC.

5. 如图，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$AD=AC$，$BE⊥ AD$交$AD$的延长线于点$E$，$AC$，$BE$的延长线交于点$F$.
求证：(1)$BE=EF$；
(2)$AB-AC=2DE$.

证明: (1)由题意知∠BAD=∠CAD,
∠AEB=∠AEF=90°.
∵AE=AE,
∴△ABE≌△AFE,
∴BE=EF.
(2)如答图,取BC的中点M,连接EM.
由(1)知△ABE≌△AFE,
∴BE=EF,AB=AF,
∴ME=$\frac{1}{2}$CF,ME//AF,
∴∠EMC=∠ACD.
∵AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC,
又
∵∠ADC=∠MDE,
∴∠MDE=∠EMD,
∴DE=ME,
∴AB - AC=CF=2ME=2DE.

6. 如图，$AD$为$△ ABC$的外角平分线，且$AD⊥ BD$，$M$为$BC$的中点，若$AB=12$，$AC=18$，求$MD$的长.

解: 如答图,延长BD,CA交于点E,
易证AE=AB,BD=ED.
∵BM=CM,
∴DM=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$(AB + AC)=$\frac{1}{2}$×(12 + 18)=15.

7. (2025·吴江区期中) 在$△ ABC$中，$D$是$AB$的中点，$CE$平分$∠ ACB$，$AE⊥ CE$于点$E$，连接$DE$.
(1) 求证：$DE// BC$；
(2) 若$AC=5$，$BC=7$，求$DE$的长.

(1)证明: 如答图,延长AE交BC于点F.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠FCE.
∵AE⊥CE于点E,
∴∠AEC=∠FEC=90°.
又
∵CE=CE,
∴△ACE≌△FCE(ASA),
∴AE=FE.
又
∵D是AB的中点,
∴AD=BD,
∴DE是△ABF的中位线,
∴DE//BC.

(2)解:
∵△ACE≌△FCE,
∴CF=AC=5.
∵DE是△ABF的中位线,
∴DE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$(BC - AC)=$\frac{1}{2}$×(7 - 5)=1,
∴DE的长为1.