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1. 写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
19 和 57
24 和 16
26 和 39
19 和 57
24 和 16
26 和 39
答案
19 和 57 的最大公因数是 19，最小公倍数是 57。
24 和 16 的最大公因数是 8，最小公倍数是 48。
26 和 39 的最大公因数是 13，最小公倍数是 78。
【解析】19 和 57 具有倍数关系，最大公因数是 19，最小公倍数是 57；24=2×2×2×3，16=2×2×2×2，因此 24 和 16 的最大公因数是 2×2×2=8，最小公倍数是 8×3×2=48；26=2×13，39=3×13，因此 26 和 39 的最大公因数是 13，最小公倍数是 13×3×2=78。
24 和 16 的最大公因数是 8，最小公倍数是 48。
26 和 39 的最大公因数是 13，最小公倍数是 78。
【解析】19 和 57 具有倍数关系，最大公因数是 19，最小公倍数是 57；24=2×2×2×3，16=2×2×2×2，因此 24 和 16 的最大公因数是 2×2×2=8，最小公倍数是 8×3×2=48；26=2×13，39=3×13，因此 26 和 39 的最大公因数是 13，最小公倍数是 13×3×2=78。
解析
【分析】
我们求解两个数的最大公因数和最小公倍数时，优先观察两个数是否存在特殊关系：如果较大数是较小数的整数倍，也就是二者为倍数关系时，较小数就是二者的最大公因数，较大数就是二者的最小公倍数，可以直接得到结果；如果不存在特殊倍数关系，就可以用分解质因数的通用方法，把两个数都拆解为质数相乘的形式，将所有共有的质因数相乘得到最大公因数，把所有质因数（相同质因数取出现次数更多的）相乘就能得到最小公倍数，按照这个思路依次处理三组数即可。
【解析】
1. 求解19和57的最大公因数与最小公倍数：
计算得57÷19=3，说明57是19的整数倍，二者为倍数关系，因此最大公因数是较小数19，最小公倍数是较大数57。
2. 求解24和16的最大公因数与最小公倍数：
对两个数分解质因数：
$24=2×2×2×3$
$16=2×2×2×2$
二者共有的质因数是3个2，因此最大公因数$=2×2×2=8$；
取所有质因数的最高出现次数相乘，2最多出现4次，3最多出现1次，因此最小公倍数$=2×2×2×2×3=48$。
3. 求解26和39的最大公因数与最小公倍数：
对两个数分解质因数：
$26=2×13$
$39=3×13$
二者共有的质因数是13，因此最大公因数$=13$；
所有质因数2、3、13各出现1次，因此最小公倍数$=2×3×13=78$。
【答案】
19 和 57 的最大公因数是 19，最小公倍数是 57。
24 和 16 的最大公因数是 8，最小公倍数是 48。
26 和 39 的最大公因数是 13，最小公倍数是 78。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，分解质因数
【点评】
本题是公因数公倍数模块的基础练习题，既考察了倍数关系下的快速解题技巧，也巩固了分解质因数法的通用求解逻辑，能帮助学生区分不同场景的最优解题思路，夯实数论部分的基础概念。
【难度系数】
0.8
我们求解两个数的最大公因数和最小公倍数时，优先观察两个数是否存在特殊关系：如果较大数是较小数的整数倍，也就是二者为倍数关系时，较小数就是二者的最大公因数，较大数就是二者的最小公倍数，可以直接得到结果；如果不存在特殊倍数关系，就可以用分解质因数的通用方法，把两个数都拆解为质数相乘的形式，将所有共有的质因数相乘得到最大公因数，把所有质因数（相同质因数取出现次数更多的）相乘就能得到最小公倍数，按照这个思路依次处理三组数即可。
【解析】
1. 求解19和57的最大公因数与最小公倍数：
计算得57÷19=3，说明57是19的整数倍，二者为倍数关系，因此最大公因数是较小数19，最小公倍数是较大数57。
2. 求解24和16的最大公因数与最小公倍数：
对两个数分解质因数：
$24=2×2×2×3$
$16=2×2×2×2$
二者共有的质因数是3个2，因此最大公因数$=2×2×2=8$；
取所有质因数的最高出现次数相乘，2最多出现4次，3最多出现1次，因此最小公倍数$=2×2×2×2×3=48$。
3. 求解26和39的最大公因数与最小公倍数：
对两个数分解质因数：
$26=2×13$
$39=3×13$
二者共有的质因数是13，因此最大公因数$=13$；
所有质因数2、3、13各出现1次，因此最小公倍数$=2×3×13=78$。
【答案】
19 和 57 的最大公因数是 19，最小公倍数是 57。
24 和 16 的最大公因数是 8，最小公倍数是 48。
26 和 39 的最大公因数是 13，最小公倍数是 78。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，分解质因数
【点评】
本题是公因数公倍数模块的基础练习题，既考察了倍数关系下的快速解题技巧，也巩固了分解质因数法的通用求解逻辑，能帮助学生区分不同场景的最优解题思路，夯实数论部分的基础概念。
【难度系数】
0.8
(1)已知 $a=2×2×3×5,b=2×m×3,$
$a$ 和 $b$ 的最大公因数是 12,则 $m=(\quad)$，
$a$ 和 $b$ 的最小公倍数是 $(\quad)$。
$a$ 和 $b$ 的最大公因数是 12,则 $m=(\quad)$，
$a$ 和 $b$ 的最小公倍数是 $(\quad)$。
答案
2 60
【解析】12=2×2×3，因此 m 是 2；最小公倍数是 2×2×3×5=60。
【解析】12=2×2×3，因此 m 是 2；最小公倍数是 2×2×3×5=60。
解析
【分析】
我们可以按照分解质因数法求最大公因数、最小公倍数的规则来逐步解题：第一步，先明确两个数的最大公因数等于它们全部公有质因数的乘积，先把已知的最大公因数12分解质因数，明确它的质因数组成；第二步，对照a和b已经给出的质因数，找出b缺少的公有质因数，同时排除会引入额外公共质因数的取值，就能算出m的值；第三步，再根据最小公倍数等于两个数全部公有质因数乘各自独有质因数的规则，代入计算得到a和b的最小公倍数。
【解析】
1. 计算m的值：
先将最大公因数12分解质因数：$12=2×2×3$，说明a和b的公共质因数包含2个2、1个3。
已知$a=2×2×3×5$，$b=2× m×3$，目前b仅含有1个质因数2、1个质因数3，缺少1个质因数2；同时如果m取5，a和b就会多出公共质因数5，最大公因数就会变成$2×3×5=30$，不符合题干要求，且a、b都是分解质因数的标准形式，m为质数，因此$m=2$。
2. 计算最小公倍数：
a的质因数为2、2、3、5，b的质因数为2、2、3，二者公有质因数是2、2、3，a独有的质因数是5，因此最小公倍数为$2×2×3×5=60$。
【答案】2；60
【知识点】最大公因数计算，最小公倍数计算，质因数分解
【点评】本题是数论板块的基础题型，核心考察分解质因数法求最大公因数和最小公倍数的规则，解题时要注意题目给出的a、b均为分解质因数的标准形式，m为质数，避免误将m取为其他不符合要求的数值，同时要注意不能引入额外的公共质因数导致最大公因数不符合题干条件。
【难度系数】0.7
我们可以按照分解质因数法求最大公因数、最小公倍数的规则来逐步解题：第一步，先明确两个数的最大公因数等于它们全部公有质因数的乘积，先把已知的最大公因数12分解质因数，明确它的质因数组成；第二步，对照a和b已经给出的质因数，找出b缺少的公有质因数，同时排除会引入额外公共质因数的取值，就能算出m的值；第三步，再根据最小公倍数等于两个数全部公有质因数乘各自独有质因数的规则，代入计算得到a和b的最小公倍数。
【解析】
1. 计算m的值：
先将最大公因数12分解质因数：$12=2×2×3$，说明a和b的公共质因数包含2个2、1个3。
已知$a=2×2×3×5$，$b=2× m×3$，目前b仅含有1个质因数2、1个质因数3，缺少1个质因数2；同时如果m取5，a和b就会多出公共质因数5，最大公因数就会变成$2×3×5=30$，不符合题干要求，且a、b都是分解质因数的标准形式，m为质数，因此$m=2$。
2. 计算最小公倍数：
a的质因数为2、2、3、5，b的质因数为2、2、3，二者公有质因数是2、2、3，a独有的质因数是5，因此最小公倍数为$2×2×3×5=60$。
【答案】2；60
【知识点】最大公因数计算，最小公倍数计算，质因数分解
【点评】本题是数论板块的基础题型，核心考察分解质因数法求最大公因数和最小公倍数的规则，解题时要注意题目给出的a、b均为分解质因数的标准形式，m为质数，避免误将m取为其他不符合要求的数值，同时要注意不能引入额外的公共质因数导致最大公因数不符合题干条件。
【难度系数】0.7
（2）实验班原创 几何直观 储藏室的地面长250厘米，宽200厘米。用大小相同的正方形地砖去铺，要使正好铺满且所用块数最少。每块地砖的边长应该是（
50
）厘米，用了（20
）块这样的地砖。答案
50 20
【解析】求正方形地砖的边长最长是多少，就是求 250 和 200 的最大公因数。先根据求最大公因数的方法求出正方形地砖的边长，再求出正方形地砖的面积，最后用储藏室的面积除以每块地砖的面积，即可解答。
【解析】求正方形地砖的边长最长是多少，就是求 250 和 200 的最大公因数。先根据求最大公因数的方法求出正方形地砖的边长，再求出正方形地砖的面积，最后用储藏室的面积除以每块地砖的面积，即可解答。
解析
【分析】
首先读题明确核心要求：用大小相同的正方形地砖正好铺满长方形储藏室地面，且所用地砖块数最少。要让总块数最少，就需要单块地砖的面积尽可能大，也就是地砖的边长要尽可能大，同时这个边长必须能同时整除地面的长250厘米和宽200厘米，否则无法做到无剩余铺满，因此问题直接转化为求250和200的最大公因数，得到最大的地砖边长后，再分别用地面的长、宽除以地砖边长，算出长、宽方向各需要铺的地砖数，二者相乘就能得到总地砖块数。
【解析】
步骤1：明确边长的数学要求
要正好铺满长250cm、宽200cm的长方形地面，正方形地砖的边长必须同时是250和200的因数；要让使用的地砖块数最少，地砖边长需要取符合要求的最大值，即求250和200的最大公因数。
步骤2：计算250和200的最大公因数
使用短除法求解：
先将250和200同时除以公因数10，得到25和20；
再将25和20同时除以公因数5，得到5和4，此时5和4互质，停止运算。
因此二者的最大公因数为10×5=50，即每块地砖的边长是50厘米。
步骤3：计算所需地砖总块数
地面长方向可铺地砖数量：250÷50=5（块）
地面宽方向可铺地砖数量：200÷50=4（块）
总地砖块数：5×4=20（块）
【答案】50；20
【知识点】最大公因数应用，长方形铺砖问题
【点评】本题是公因数在生活场景中的典型应用题，核心考察学生能否把“铺满且地砖块数最少”的实际要求，转化为求两个数最大公因数的数学问题，跳出机械套公式的误区，也可以通过“储藏室总面积÷单块地砖面积”的方法验证总块数的正确性。
【难度系数】0.7
首先读题明确核心要求：用大小相同的正方形地砖正好铺满长方形储藏室地面，且所用地砖块数最少。要让总块数最少，就需要单块地砖的面积尽可能大，也就是地砖的边长要尽可能大，同时这个边长必须能同时整除地面的长250厘米和宽200厘米，否则无法做到无剩余铺满，因此问题直接转化为求250和200的最大公因数，得到最大的地砖边长后，再分别用地面的长、宽除以地砖边长，算出长、宽方向各需要铺的地砖数，二者相乘就能得到总地砖块数。
【解析】
步骤1：明确边长的数学要求
要正好铺满长250cm、宽200cm的长方形地面，正方形地砖的边长必须同时是250和200的因数；要让使用的地砖块数最少，地砖边长需要取符合要求的最大值，即求250和200的最大公因数。
步骤2：计算250和200的最大公因数
使用短除法求解：
先将250和200同时除以公因数10，得到25和20；
再将25和20同时除以公因数5，得到5和4，此时5和4互质，停止运算。
因此二者的最大公因数为10×5=50，即每块地砖的边长是50厘米。
步骤3：计算所需地砖总块数
地面长方向可铺地砖数量：250÷50=5（块）
地面宽方向可铺地砖数量：200÷50=4（块）
总地砖块数：5×4=20（块）
【答案】50；20
【知识点】最大公因数应用，长方形铺砖问题
【点评】本题是公因数在生活场景中的典型应用题，核心考察学生能否把“铺满且地砖块数最少”的实际要求，转化为求两个数最大公因数的数学问题，跳出机械套公式的误区，也可以通过“储藏室总面积÷单块地砖面积”的方法验证总块数的正确性。
【难度系数】0.7
(1)下列说法正确的是(
A.12 是 3 和 4 的最大公因数
B.18 是 6 和 9 的最小公倍数
C.3 和 4 都是 12 的公因数
D.10 是 2,5 和 10 的公因数
B
)。A.12 是 3 和 4 的最大公因数
B.18 是 6 和 9 的最小公倍数
C.3 和 4 都是 12 的公因数
D.10 是 2,5 和 10 的公因数
答案
B
【解析】根据因数、倍数和最大公因数、最小公倍数含义解决问题。
【解析】根据因数、倍数和最大公因数、最小公倍数含义解决问题。
解析
【分析】
这道题是概念辨析类题目，解题思路是先明确公因数、最大公因数、最小公倍数的定义，再逐个选项对照定义排查正误：首先回忆核心定义：多个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的是最大公因数；两个数公有的倍数中最小的数是这两个数的最小公倍数。之后逐个验证选项：先判断A选项中3和4的最大公因数是不是12，再验证B选项6和9的最小公倍数是否为18，接着排查C选项的概念表述是否正确，最后判断D选项对公因数的描述是否有误，通过排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个对选项进行正误判断：
1. 分析选项A：3的因数为1、3，4的因数为1、2、4，3和4的最大公因数是1，12是3和4的公倍数，并非最大公因数，A错误。
2. 分析选项B：6的倍数序列为6、12、18、24……，9的倍数序列为9、18、27……，二者公有的最小倍数是18，即18是6和9的最小公倍数，B正确。
3. 分析选项C：公因数是针对至少两个数的公共因数的概念，3和4是12的因数，不能表述为12的公因数，概念使用错误，C错误。
4. 分析选项D：2、5、10的公因数只有1，10是三个数的公倍数，并非公因数，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
公因数，最大公因数，最小公倍数
【点评】
本题重点考察对公因数、公倍数相关基础概念的区分，容易出现的误区是混淆“单个数字的因数”和“多个数的公因数”、“公因数”和“公倍数”的定义，解题时只要紧扣概念的适用场景逐一验证，就可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
这道题是概念辨析类题目，解题思路是先明确公因数、最大公因数、最小公倍数的定义，再逐个选项对照定义排查正误：首先回忆核心定义：多个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的是最大公因数；两个数公有的倍数中最小的数是这两个数的最小公倍数。之后逐个验证选项：先判断A选项中3和4的最大公因数是不是12，再验证B选项6和9的最小公倍数是否为18，接着排查C选项的概念表述是否正确，最后判断D选项对公因数的描述是否有误，通过排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个对选项进行正误判断：
1. 分析选项A：3的因数为1、3，4的因数为1、2、4，3和4的最大公因数是1，12是3和4的公倍数，并非最大公因数，A错误。
2. 分析选项B：6的倍数序列为6、12、18、24……，9的倍数序列为9、18、27……，二者公有的最小倍数是18，即18是6和9的最小公倍数，B正确。
3. 分析选项C：公因数是针对至少两个数的公共因数的概念，3和4是12的因数，不能表述为12的公因数，概念使用错误，C错误。
4. 分析选项D：2、5、10的公因数只有1，10是三个数的公倍数，并非公因数，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
公因数，最大公因数，最小公倍数
【点评】
本题重点考察对公因数、公倍数相关基础概念的区分，容易出现的误区是混淆“单个数字的因数”和“多个数的公因数”、“公因数”和“公倍数”的定义，解题时只要紧扣概念的适用场景逐一验证，就可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
(2)在一条60米长廊的一边,每隔3米挂一个灯笼(首尾都挂)。现在要将每两个灯笼之间的间隔改为5米(起点的灯笼不动),共有(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)个灯笼不要移动。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
【解析】3 和 5 的最小公倍数是 15，共有 60÷15+1=5(个)灯笼不要移动。
【解析】3 和 5 的最小公倍数是 15，共有 60÷15+1=5(个)灯笼不要移动。
解析
【分析】
我们首先要明确什么样的灯笼不需要移动：这类灯笼的位置，距离起点的长度既要符合原间隔3米的设置要求，也要符合新间隔5米的设置要求，也就是距离起点的长度是3和5的公倍数。解题时第一步先求出3和5的最小公倍数，得到所有不需要移动的灯笼的间隔距离；第二步用长廊总长度除以这个最小公倍数，得到对应的间隔数，由于题目里首尾都挂灯笼，起点的灯笼本身也不需要移动，因此最后要给间隔数加1，就能得到不用移动的灯笼总数量。
【解析】
1. 确定不动灯笼的位置规律：距离起点的长度同时是3和5的倍数，也就是3和5的公倍数对应的位置。
2. 计算3和5的最小公倍数：3和5互质，因此最小公倍数为3×5=15，即每隔15米就有1个灯笼不需要移动。
3. 计算不动灯笼的总数：长廊总长60米，60÷15=4，即共有4个间隔，因为起点的灯笼也属于不需要移动的，两端都栽的情况下灯笼数=间隔数+1，因此总个数为4+1=5个。
【答案】
C
【知识点】
最小公倍数应用，两端都栽植树问题
【点评】
本题是公倍数知识点和植树问题的结合题型，最常见的易错点是计算完60÷15得到4之后，忘记加上起点处不需要移动的1个灯笼，错选B选项，解题时要牢记两端都栽的植树问题中“棵数=间隔数+1”的数量关系，避免漏算起点的灯笼。
【难度系数】
0.6
我们首先要明确什么样的灯笼不需要移动：这类灯笼的位置，距离起点的长度既要符合原间隔3米的设置要求，也要符合新间隔5米的设置要求，也就是距离起点的长度是3和5的公倍数。解题时第一步先求出3和5的最小公倍数，得到所有不需要移动的灯笼的间隔距离；第二步用长廊总长度除以这个最小公倍数，得到对应的间隔数，由于题目里首尾都挂灯笼，起点的灯笼本身也不需要移动，因此最后要给间隔数加1，就能得到不用移动的灯笼总数量。
【解析】
1. 确定不动灯笼的位置规律：距离起点的长度同时是3和5的倍数，也就是3和5的公倍数对应的位置。
2. 计算3和5的最小公倍数：3和5互质，因此最小公倍数为3×5=15，即每隔15米就有1个灯笼不需要移动。
3. 计算不动灯笼的总数：长廊总长60米，60÷15=4，即共有4个间隔，因为起点的灯笼也属于不需要移动的，两端都栽的情况下灯笼数=间隔数+1，因此总个数为4+1=5个。
【答案】
C
【知识点】
最小公倍数应用，两端都栽植树问题
【点评】
本题是公倍数知识点和植树问题的结合题型，最常见的易错点是计算完60÷15得到4之后，忘记加上起点处不需要移动的1个灯笼，错选B选项，解题时要牢记两端都栽的植树问题中“棵数=间隔数+1”的数量关系，避免漏算起点的灯笼。
【难度系数】
0.6
4. 一次室外野餐,每2人用一个饭碗,每3人用一个菜碗,每4人用一个汤碗,这次野餐共用了65个碗。参加野餐的一共有多少人?
答案
2,3 和 4 的最小公倍数是 12。
12÷2+12÷3+12÷4=13(个)
65÷13×12=60(人)
【解析】使用三种碗的人数的最小公倍数是 12，每12 人为一组，每组人使用 12÷2+12÷3+12÷4=13(个)碗，一共用了 65 个碗，说明参加野餐的一共有 65÷13×12=60(人)。
12÷2+12÷3+12÷4=13(个)
65÷13×12=60(人)
【解析】使用三种碗的人数的最小公倍数是 12，每12 人为一组，每组人使用 12÷2+12÷3+12÷4=13(个)碗，一共用了 65 个碗，说明参加野餐的一共有 65÷13×12=60(人)。
解析
【分析】
我们先梳理题目隐含条件：总人数需要同时被2、3、4整除，才能保证饭碗、菜碗、汤碗的数量都是整数，符合实际场景。因此我们可以先求出2、3、4的最小公倍数，把这个最小公倍数对应的人数当作一组，先算出这一组人总共要用多少个碗，再用总碗数除以每组的碗数得到总组数，最后用组数乘每组的人数就能得到总人数，这种方法可以避免复杂的分数运算，解题更简便。
【解析】
步骤1：求2、3、4的最小公倍数
2、3互质，4是2的倍数，因此三者的最小公倍数是12。
步骤2：计算每12人一组需要使用的碗的总数
饭碗数量：12÷2=6（个）
菜碗数量：12÷3=4（个）
汤碗数量：12÷4=3（个）
每组总碗数：6+4+3=13（个）
步骤3：计算总组数
已知全部野餐共用65个碗，总组数为：65÷13=5（组）
步骤4：计算总人数
每组12人，共5组，总人数为：5×12=60（人）
【答案】60人
【知识点】
最小公倍数、实际问题运算
【点评】
本题是典型的生活场景公倍数应用问题，没有直接要求计算公倍数，需要学生自主挖掘出“总人数是2、3、4的公倍数”这个隐含条件，通过分组的思路把分数运算转化为整数运算，解题思路巧妙，能有效锻炼学生将数论知识和实际问题结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
我们先梳理题目隐含条件：总人数需要同时被2、3、4整除，才能保证饭碗、菜碗、汤碗的数量都是整数，符合实际场景。因此我们可以先求出2、3、4的最小公倍数，把这个最小公倍数对应的人数当作一组，先算出这一组人总共要用多少个碗，再用总碗数除以每组的碗数得到总组数，最后用组数乘每组的人数就能得到总人数，这种方法可以避免复杂的分数运算，解题更简便。
【解析】
步骤1：求2、3、4的最小公倍数
2、3互质，4是2的倍数，因此三者的最小公倍数是12。
步骤2：计算每12人一组需要使用的碗的总数
饭碗数量：12÷2=6（个）
菜碗数量：12÷3=4（个）
汤碗数量：12÷4=3（个）
每组总碗数：6+4+3=13（个）
步骤3：计算总组数
已知全部野餐共用65个碗，总组数为：65÷13=5（组）
步骤4：计算总人数
每组12人，共5组，总人数为：5×12=60（人）
【答案】60人
【知识点】
最小公倍数、实际问题运算
【点评】
本题是典型的生活场景公倍数应用问题，没有直接要求计算公倍数，需要学生自主挖掘出“总人数是2、3、4的公倍数”这个隐含条件，通过分组的思路把分数运算转化为整数运算，解题思路巧妙，能有效锻炼学生将数论知识和实际问题结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 新情境 助农 为帮农民伯伯销售农产品，“网络达人”通过在田间地头直播带货，为农产品销售打开了市场，振兴了乡村经济。李阿姨今天在果园摘了一些水蜜桃，数量在 150～200 个之间。4 个装一盒，还剩3 个；6 个装一盒，还剩 5 个；15 个装一盒，还剩 14 个。李阿姨今天摘了多少个水蜜桃？
答案
4,6,15 的最小公倍数是 60。
60×3=180(个) 180-1=179(个)
【解析】由题意可知，水蜜桃个数是比 4,6,15 的公倍数少 1 个，且数量在 150～200 个之间。4,6,15 的公倍数有 60,120,180……其中只有 180 符合条件，因此李阿姨今天摘了 180-1=179(个)水蜜桃。
60×3=180(个) 180-1=179(个)
【解析】由题意可知，水蜜桃个数是比 4,6,15 的公倍数少 1 个，且数量在 150～200 个之间。4,6,15 的公倍数有 60,120,180……其中只有 180 符合条件，因此李阿姨今天摘了 180-1=179(个)水蜜桃。
解析
【分析】
我们先梳理题目给出的装盒条件：4个装一盒剩3个，说明总数量加1就刚好能凑成整盒被4整除；同理6个装一盒剩5个、15个装一盒剩14个，都满足总数量加1后刚好能被6和15整除。由此可以把带余数的问题转化为公倍数问题：水蜜桃的总数量比4、6、15的公倍数少1。接下来我们先求出三个数的最小公倍数，再找出150~200范围内符合要求的公倍数，减1就能得到总数量。
【解析】
1. 条件转化：
根据题意，水蜜桃的总数量加1之后，可同时被4、6、15整除，即总数量+1是4、6、15的公倍数。
2. 求最小公倍数：
对4、6、15分解质因数：
$4=2×2$，$6=2×3$，$15=3×5$
因此三个数的最小公倍数为$2×2×3×5=60$。
3. 找指定范围内的公倍数：
4、6、15的公倍数为60、120、180、240……，其中落在150~200区间内的只有180。
4. 计算水蜜桃总数：
总数量 = $180 - 1 = 179$（个）
验证：$179÷4=44$盒余3个，$179÷6=29$盒余5个，$179÷15=11$盒余14个，完全符合题目条件，且179在150~200之间。
【答案】
179个
【知识点】
最小公倍数计算、公倍数实际应用
【点评】
本题是典型的余数转化类公倍数应用题，结合助农直播的新情境贴近生活，解题核心是发现所有装法都差1个就能装满整盒的隐藏规律，把复杂的带余计数问题转化为熟悉的公倍数求解问题，避免了低效的枚举计算，能锻炼学生的条件转化思维。
【难度系数】
0.6
我们先梳理题目给出的装盒条件：4个装一盒剩3个，说明总数量加1就刚好能凑成整盒被4整除；同理6个装一盒剩5个、15个装一盒剩14个，都满足总数量加1后刚好能被6和15整除。由此可以把带余数的问题转化为公倍数问题：水蜜桃的总数量比4、6、15的公倍数少1。接下来我们先求出三个数的最小公倍数，再找出150~200范围内符合要求的公倍数，减1就能得到总数量。
【解析】
1. 条件转化：
根据题意，水蜜桃的总数量加1之后，可同时被4、6、15整除，即总数量+1是4、6、15的公倍数。
2. 求最小公倍数：
对4、6、15分解质因数：
$4=2×2$，$6=2×3$，$15=3×5$
因此三个数的最小公倍数为$2×2×3×5=60$。
3. 找指定范围内的公倍数：
4、6、15的公倍数为60、120、180、240……，其中落在150~200区间内的只有180。
4. 计算水蜜桃总数：
总数量 = $180 - 1 = 179$（个）
验证：$179÷4=44$盒余3个，$179÷6=29$盒余5个，$179÷15=11$盒余14个，完全符合题目条件，且179在150~200之间。
【答案】
179个
【知识点】
最小公倍数计算、公倍数实际应用
【点评】
本题是典型的余数转化类公倍数应用题，结合助农直播的新情境贴近生活，解题核心是发现所有装法都差1个就能装满整盒的隐藏规律，把复杂的带余计数问题转化为熟悉的公倍数求解问题，避免了低效的枚举计算，能锻炼学生的条件转化思维。
【难度系数】
0.6
6. 大雪后的一天,东东和爸爸共同步测一个花坛的周长。他们从同一起点出发,沿同一路线同一方向行走,东东平均每步长54 厘米,爸爸平均每步长 72 厘米。两人的脚印有重合,并且他们各自走完一圈后都回到了起点,这时雪地上共留下 60 个脚印。这个花坛的周长是多少米?
答案
54 和 72 的最小公倍数是 216。
216÷72=3(个)
216÷54=4(个) 4+3-1=6(个)
60÷6=10(组) 216×10=2160(厘米)
2160 厘米=21.6 米
【解析】从起点出发后，第一次脚印重合时，东东的脚印是 4 个，爸爸的脚印是 3 个，因此在雪地上共留下 4+3-1=6(个)脚印(不包括起点的脚印)。当两人回到起点时，最后的一个脚印与起点的脚印重合，现在雪地上共留下 60 个脚印，因此花坛的周长是 216×(60÷6)=2160(厘米)，即 21.6 米。
216÷72=3(个)
216÷54=4(个) 4+3-1=6(个)
60÷6=10(组) 216×10=2160(厘米)
2160 厘米=21.6 米
【解析】从起点出发后，第一次脚印重合时，东东的脚印是 4 个，爸爸的脚印是 3 个，因此在雪地上共留下 4+3-1=6(个)脚印(不包括起点的脚印)。当两人回到起点时，最后的一个脚印与起点的脚印重合，现在雪地上共留下 60 个脚印，因此花坛的周长是 216×(60÷6)=2160(厘米)，即 21.6 米。
解析
【分析】
这是典型的脚印重合类计数问题，我们可以按以下思路逐步推导：第一步，两人步长不同，脚印重合的位置一定同时是两人步长的公倍数，因此先求出54和72的最小公倍数，就能得到第一次脚印重合时两人共同走过的距离。第二步，在这个重合间隔的距离里，分别算出东东和爸爸各自的步数，由于起点脚印是两人共有的，需要减去重复的1个重合脚印，得到这个间隔内实际留下的独立脚印数。第三步，用总脚印数除以单个间隔对应的脚印数，得到总共有多少个这样的重合间隔，最后用间隔长度乘间隔数得到花坛总周长，再把厘米单位转换为米即可得到结果。
【解析】
1. 求54和72的最小公倍数
对两个数分解质因数：54=2×3³，72=2³×3²，取各质因数最高次幂计算得最小公倍数为2³×3³=216，即两人每走216厘米，脚印就会重合一次。
2. 计算216厘米内两人的步数
东东的步数：216÷54=4（个）
爸爸的步数：216÷72=3（个）
3. 计算216厘米内实际独立脚印数
起点处的脚印是两人重合的，需要减去重复计数的1个脚印，因此实际脚印总数为：4+3-1=6（个），即每走216厘米雪地上会留下6个不重复的脚印。
4. 计算间隔组数
已知雪地上总共有60个脚印，对应的间隔组数为：60÷6=10（组）
5. 计算花坛周长
总长度为：216×10=2160（厘米）
转换单位：2160厘米=21.6米
【答案】
21.6米
【知识点】
最小公倍数应用，重叠计数，长度单位换算
【点评】
本题是小学阶段经典的步测重叠计数题型，核心是利用最小公倍数定位脚印重合的间隔，最容易出错的点是忘记减去重复的重合脚印，直接将两人步数相加得到错误的间隔脚印数，解题时要明确重合脚印仅需计数一次，同时注意最终结果要按要求转换为米的单位。
【难度系数】
0.4
这是典型的脚印重合类计数问题，我们可以按以下思路逐步推导：第一步，两人步长不同，脚印重合的位置一定同时是两人步长的公倍数，因此先求出54和72的最小公倍数，就能得到第一次脚印重合时两人共同走过的距离。第二步，在这个重合间隔的距离里，分别算出东东和爸爸各自的步数，由于起点脚印是两人共有的，需要减去重复的1个重合脚印，得到这个间隔内实际留下的独立脚印数。第三步，用总脚印数除以单个间隔对应的脚印数，得到总共有多少个这样的重合间隔，最后用间隔长度乘间隔数得到花坛总周长，再把厘米单位转换为米即可得到结果。
【解析】
1. 求54和72的最小公倍数
对两个数分解质因数：54=2×3³，72=2³×3²，取各质因数最高次幂计算得最小公倍数为2³×3³=216，即两人每走216厘米，脚印就会重合一次。
2. 计算216厘米内两人的步数
东东的步数：216÷54=4（个）
爸爸的步数：216÷72=3（个）
3. 计算216厘米内实际独立脚印数
起点处的脚印是两人重合的，需要减去重复计数的1个脚印，因此实际脚印总数为：4+3-1=6（个），即每走216厘米雪地上会留下6个不重复的脚印。
4. 计算间隔组数
已知雪地上总共有60个脚印，对应的间隔组数为：60÷6=10（组）
5. 计算花坛周长
总长度为：216×10=2160（厘米）
转换单位：2160厘米=21.6米
【答案】
21.6米
【知识点】
最小公倍数应用，重叠计数，长度单位换算
【点评】
本题是小学阶段经典的步测重叠计数题型，核心是利用最小公倍数定位脚印重合的间隔，最容易出错的点是忘记减去重复的重合脚印，直接将两人步数相加得到错误的间隔脚印数，解题时要明确重合脚印仅需计数一次，同时注意最终结果要按要求转换为米的单位。
【难度系数】
0.4
