1[中]小明在解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-1$去分母时，方程右边的-1没有乘3，因而求得的解为$x=2$，则原方程的解为（）

A.$x=0$
B.$x=-1$
C.$x=2$
D.$x=-2$

1.A 【解析】根据题意,得 $2x-1=x+a-1$. 把 $x=2$ 代入这个方程,得 $3=2+a-1$,解得 $a=2$. 把 $a=2$ 代入原方程,得 $\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{3}-1$. 去分母,得 $2x-1=x+2-3$,移项、合并同类项,得 $x=0$. 故选 A.

2[2025广东深圳期中,中]按如图所示的程序进行计算,若输入x的值是3,则输出y的值为1.若输出y的值为3,则输入x的值是 ()


A.7
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.7或$-\dfrac{1}{3}$
D.-7或$\dfrac{1}{3}$

2.A 【解析】因为若输入 x 的值是 3,则输出 y 的值为 1,所以 $\frac{3-b}{2}=1$,解得 $b=1$,所以当 $x≥-1$ 时, $y=\frac{x-1}{2}$; 当 $x＜-1$ 时, $y=-3x+2$. 当 $\frac{x-1}{2}=3$ 时,解得 $x=7＞-1$,符合题意; 当 $-3x+2=3$ 时,解得 $x=-\frac{1}{3}＞-1$,不符合题意. 故选 A.

3[较难]方程$\frac{x}{3}+\frac{x}{15}+\frac{x}{35}+\dots+\frac{x}{2021×2023}=1$的解是（）

A.$\frac{2021}{2023}$
B.$\frac{2023}{2021}$
C.$\frac{2023}{1011}$
D.$\frac{1011}{2023}$

3.C 【解析】$\frac{x}{3}+\frac{x}{15}+\frac{x}{35}+\dots+\frac{x}{2021×2023}=1$,所以 $\frac{x}{1×3}+\frac{x}{3×5}+\frac{x}{5×7}+\dots+\frac{x}{2021×2023}=1$,所以 $\frac{1}{2}x(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023})=1$,即 $\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2023})x=1$,$\frac{1011}{2023}x=1$,解得 $x=\frac{2023}{1011}$,故选 C.

4[2026江苏南京调研,中]若关于x的一元一次方程$a+x=b(a≠0)$的解为$x=\frac{b}{a}$,则称该方程为“商解方程”,则“商解方程”$6+x=3(m-3)$中m的值为.

4.$\frac{27}{5}$ 【解析】$6+x=3(m-3)$,即 $6+x=3m-9$,解得 $x=3m-15$. 因为一元一次方程 $6+x=3(m-3)$ 是“商解方程”,所以 $x=\frac{3(m-3)}{6}$,所以 $3m-15=\frac{3(m-3)}{6}$,即 $18m-90=3m-9$,解得 $m=\frac{27}{5}$. 故答案为 $\frac{27}{5}$.

5[中]从-3,-2,-1,1,2,3中选一个数作为k的值,使得关于x的方程$1-\frac{2x - k}{4}=\frac{2x + k}{3}-x$的解为整数,则满足条件的所有k的值的积为.

5.-4 【解析】$1-\frac{2x-k}{4}=\frac{2x+k}{3}-x$,$12-3(2x-k)=4(2x+k)-12x$,$12-6x+3k=8x+4k-12x$,$-6x-8x+12x=4k-3k-12$,$-2x=k-12$,所以 $x=6-\frac{k}{2}$. 因为方程的解为整数,所以 $k=-2$ 或 2,所以满足条件的所有 $k$ 的值的积为-4,故答案为-4.

6[中]已知$(a+2b)y^2 - y^{\frac{1}{3}a - \frac{1}{3}} = 3$是关于$y$的一元一次方程.
(1)求$a,b$的值；
(2)若$x=a$是关于$x$的方程$\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} + 3 = x - \frac{x - m}{3}$的解，求$|a - b - 2| - |b - m|$的值.

6.【解】(1)因为$(a+2b)y^2 - y^{\frac{1}{3}a - \frac{1}{3}} = 3$是关于$y$的一元一次方程,所以$\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}=1$,$a+2b=0$,解得$a=4,b=-2$.
(2)因为$a=4$,$x=a$是方程$\frac{x+2}{6}-\frac{x-1}{2}+3=x-\frac{x-m}{3}$的解,所以$1-\frac{3}{2}+3=4-\frac{4-m}{3}$,解得$m=-\frac{1}{2}$,所以$|a-b-2|-|b-m|=|4+2-2|-\left|-2+\frac{1}{2}\right|=\frac{5}{2}$.

7 核心素养运算能力[2025重庆巴南区期末,难]规定:如果将两个一元一次方程的解相减,差的绝对值为Q,那么我们称这两个方程为“值Q方程”.
例如:方程$4m−3=1$的解是$m=1$,方程$n−1=3$的解是$n=4$.
因为$|m−n|=|1−4|=3$,所以方程$4m−3=1$与方程$n−1=3$是“值3方程”.
(1)下列方程中:①$−3x=6$,②$5(x+2)−4=3x$,③$\frac{x-1}{3}−2=\frac{x+2}{2}−x$,是“值1方程”的是,是“值6方程”的是(只填序号);
(2)若关于x的一元一次方程$4x−a=2$和$4(x−2)=2x+6$是“值2方程”,求a的值;
(3)无论k取任何数,关于x的方程$2x+3=x+5$与关于y的方程$\frac{3y+km}{4}−\frac{n}{2}=k+mn$都是“值3方程”,求mn的值.

7.【解】(1)①$-3x=6$,$x=-2$；
②$5(x+2)-4=3x$,$5x+10-4=3x$,$5x-3x=4-10$,$2x=-6$,$x=-3$；
③$\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x$,$2(x-1)-12=3(x+2)-6x$,$2x-2-12=3x+6-6x$,$2x-14=6-3x$,$2x+3x=6+14$,$5x=20$,$x=4$. 因为$|-2-(-3)|=|-2+3|=1$,$|-2-4|=6$,所以是“值1方程”的是①②,是“值6方程”的是①③. 故答案为①②,①③.
(2)$4x-a=2$,$4x=2+a$,$x=\frac{2+a}{4}$. $4(x-2)=2x+6$,$4x-8=2x+6$,$4x-2x=8+6$,$2x=14$,$x=7$. 因为关于x的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,所以$\left|\frac{2+a}{4}-7\right|=2$,所以$\frac{2+a}{4}-7=\pm2$,$2+a-28=\pm8$,$a-26=\pm8$,解得$a=34$或18.
(3)$2x+3=x+5$,$2x-x=5-3$,$x=2$. $\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$,$3y+km-2n=4k+4mn$,$3y=4k+4mn-km+2n$,$y=\frac{4k-km+4mn+2n}{3}$. 因为关于x的方程$2x+3=x+5$与关于y的方程$\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$是“值3方程”,所以$\left|2-\frac{4k-km+4mn+2n}{3}\right|=3$,即$2-\frac{4k-km+4mn+2n}{3}=\pm3$,所以$\frac{4k-km+4mn+2n}{3}=-1$或5,所以$4k-km+4mn+2n=-3$或15,即$(4-m)k+4mn+2n=-3$或15. 因为无论k取任何数,关于x的方程$2x+3=x+5$与关于y的方程$\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$都是“值3方程”,所以$4-m=0$,解得$m=4$,把$m=4$代入$4mn+2n=-3$得$16n+2n=-3$,$18n=-3$,$n=-\frac{1}{6}$;把$m=4$代入$4mn+2n=15$得$16n+2n=15$,$18n=15$,$n=\frac{5}{6}$. 当$m=4,n=-\frac{1}{6}$时,$mn=4×(-\frac{1}{6})=-\frac{2}{3}$;当$m=4,n=\frac{5}{6}$时,$mn=4×\frac{5}{6}=\frac{10}{3}$,所以mn的值为$-\frac{2}{3}$或$\frac{10}{3}$.