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【例1】 国庆长假期间，某旅行社接待1日游和3日游的旅客共2200人，总收费200万元，其中1日游每人收费200元，3日游每人收费1500元，则该旅行社接待的1日游和3日游旅客各多少人？
【分析】 现在让我们共同应用建模思想方法一起研究这个问题，首先我们构建等量关系式。问题中包括两个相等关系，所以根据题意我们可以构建两个等量关系式，即：
1日游旅客人数+3日游旅客人数=2200人；
所收的1日游费用+所收的3日游费用=200万元。
然后我们用等量代换法将用普通语言表达的等式代换为用数学符号表达的等式，于是这个实际问题的数学模型就建立起来了，即
$\begin{cases}x + y = 2200, \\200x + 1500y = 2000000.\end{cases}$
最后求出这个二元一次方程组的解，使实际问题得到解决。
【分析】 现在让我们共同应用建模思想方法一起研究这个问题，首先我们构建等量关系式。问题中包括两个相等关系，所以根据题意我们可以构建两个等量关系式，即：
1日游旅客人数+3日游旅客人数=2200人；
所收的1日游费用+所收的3日游费用=200万元。
然后我们用等量代换法将用普通语言表达的等式代换为用数学符号表达的等式，于是这个实际问题的数学模型就建立起来了，即
$\begin{cases}x + y = 2200, \\200x + 1500y = 2000000.\end{cases}$
最后求出这个二元一次方程组的解，使实际问题得到解决。
答案
解：设该旅行社接待1日游旅客$x$人，接待3日游旅客$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 2200 \\200x + 1500y = 2000000\end{cases}$
化简第二个方程，得$2x + 15y = 20000$。
由第一个方程得$x = 2200 - y$，将其代入$2x + 15y = 20000$：
$2(2200 - y) + 15y = 20000$
展开计算得：
$4400 + 13y = 20000$
解得$y = 1200$。
将$y=1200$代入$x = 2200 - y$，得$x = 1000$。
答：该旅行社接待1日游旅客1000人，3日游旅客1200人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 2200 \\200x + 1500y = 2000000\end{cases}$
化简第二个方程，得$2x + 15y = 20000$。
由第一个方程得$x = 2200 - y$，将其代入$2x + 15y = 20000$：
$2(2200 - y) + 15y = 20000$
展开计算得：
$4400 + 13y = 20000$
解得$y = 1200$。
将$y=1200$代入$x = 2200 - y$，得$x = 1000$。
答：该旅行社接待1日游旅客1000人，3日游旅客1200人。
解析
【分析】
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路如下：第一步先确定两个未知量，即1日游旅客人数和3日游旅客人数；第二步梳理题干给出的两个核心等量关系：①1日游旅客人数+3日游旅客人数=总人数2200人，②1日游总收费+3日游总收费=总费用200万元；第三步设未知数对应两个未知量，将文字描述的等量关系转化为二元一次方程组；第四步用代入消元法求解方程组，最后验证结果是否符合实际场景即可。
【解析】
解：设该旅行社接待1日游旅客$x$人，接待3日游旅客$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 2200 \\200x + 1500y = 2000000\end{cases}$
化简第二个方程，两边同时除以100得：$2x + 15y = 20000$。
由第一个方程移项得$x = 2200 - y$，将其代入$2x + 15y = 20000$：
$2(2200 - y) + 15y = 20000$
展开计算得：$4400 + 13y = 20000$
移项求解得$y = 1200$。
将$y=1200$代入$x = 2200 - y$，得$x = 1000$。
经检验，结果符合实际题意。
答：该旅行社接待1日游旅客1000人，3日游旅客1200人。
【答案】
该旅行社接待1日游旅客1000人，3日游旅客1200人。
【知识点】
二元一次方程组应用，代入消元法，等量关系构建
【点评】
本题是方程类实际应用的基础题型，核心是从题干中准确提取等量关系，完成实际问题到数学模型的转化，求解后要注意验证结果是否符合实际场景，是初中数学的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路如下：第一步先确定两个未知量，即1日游旅客人数和3日游旅客人数；第二步梳理题干给出的两个核心等量关系：①1日游旅客人数+3日游旅客人数=总人数2200人，②1日游总收费+3日游总收费=总费用200万元；第三步设未知数对应两个未知量，将文字描述的等量关系转化为二元一次方程组；第四步用代入消元法求解方程组，最后验证结果是否符合实际场景即可。
【解析】
解：设该旅行社接待1日游旅客$x$人，接待3日游旅客$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 2200 \\200x + 1500y = 2000000\end{cases}$
化简第二个方程，两边同时除以100得：$2x + 15y = 20000$。
由第一个方程移项得$x = 2200 - y$，将其代入$2x + 15y = 20000$：
$2(2200 - y) + 15y = 20000$
展开计算得：$4400 + 13y = 20000$
移项求解得$y = 1200$。
将$y=1200$代入$x = 2200 - y$，得$x = 1000$。
经检验，结果符合实际题意。
答：该旅行社接待1日游旅客1000人，3日游旅客1200人。
【答案】
该旅行社接待1日游旅客1000人，3日游旅客1200人。
【知识点】
二元一次方程组应用，代入消元法，等量关系构建
【点评】
本题是方程类实际应用的基础题型，核心是从题干中准确提取等量关系，完成实际问题到数学模型的转化，求解后要注意验证结果是否符合实际场景，是初中数学的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
【例2】“震灾无情人有情”.民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件.
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件；
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区.已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件.则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元.民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【分析】 本题的这个实际问题转化为数学问题就是要建立方程和不等式组的模型，列出方程（组）和不等式组来解决问题.
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件；
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区.已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件.则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元.民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【分析】 本题的这个实际问题转化为数学问题就是要建立方程和不等式组的模型，列出方程（组）和不等式组来解决问题.
答案
解：
(1) 设打包成件的食品有$x$件，帐篷有$y$件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 320 \\y - x = 80\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 120 \\y = 200\end{cases}$
(2) 设租用甲种货车$x$辆，则租用乙种货车$(8-x)$辆。
根据运输物资的数量要求列不等式组：
$\begin{cases}40x + 20(8-x) ≥ 200 \\10x + 20(8-x) ≥ 120\end{cases}$
解第一个不等式：
$40x + 160 - 20x ≥ 200$
$20x ≥ 40$
$x ≥ 2$
解第二个不等式：
$10x + 160 - 20x ≥ 120$
$-10x ≥ -40$
$x ≤ 4$
∵ $x$为非负整数，∴ $x$的取值为2、3、4。
则共有3种运输方案：
方案一：租用甲种货车2辆，乙种货车6辆；
方案二：租用甲种货车3辆，乙种货车5辆；
方案三：租用甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3) 设总运输费为$W$元，则：
$W = 4000x + 3600(8-x) = 400x + 28800$
∵ $400＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
∴ 当$x=2$时，$W$取得最小值，$W_{\mathrm{最小}} = 400×2 + 28800 = 29600$元。
答：(1) 打包成件的帐篷有200件，食品有120件；(2) 共有3种方案，分别为租用甲2辆乙6辆、甲3辆乙5辆、甲4辆乙4辆；(3) 应选择租用甲种货车2辆、乙种货车6辆的方案，最少运输费是29600元。
(1) 设打包成件的食品有$x$件，帐篷有$y$件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 320 \\y - x = 80\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 120 \\y = 200\end{cases}$
(2) 设租用甲种货车$x$辆，则租用乙种货车$(8-x)$辆。
根据运输物资的数量要求列不等式组：
$\begin{cases}40x + 20(8-x) ≥ 200 \\10x + 20(8-x) ≥ 120\end{cases}$
解第一个不等式：
$40x + 160 - 20x ≥ 200$
$20x ≥ 40$
$x ≥ 2$
解第二个不等式：
$10x + 160 - 20x ≥ 120$
$-10x ≥ -40$
$x ≤ 4$
∵ $x$为非负整数，∴ $x$的取值为2、3、4。
则共有3种运输方案：
方案一：租用甲种货车2辆，乙种货车6辆；
方案二：租用甲种货车3辆，乙种货车5辆；
方案三：租用甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3) 设总运输费为$W$元，则：
$W = 4000x + 3600(8-x) = 400x + 28800$
∵ $400＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
∴ 当$x=2$时，$W$取得最小值，$W_{\mathrm{最小}} = 400×2 + 28800 = 29600$元。
答：(1) 打包成件的帐篷有200件，食品有120件；(2) 共有3种方案，分别为租用甲2辆乙6辆、甲3辆乙5辆、甲4辆乙4辆；(3) 应选择租用甲种货车2辆、乙种货车6辆的方案，最少运输费是29600元。
解析
【分析】
1. 第(1)问可通过提取题干等量关系求解：已知帐篷和食品总件数、两者的数量差，设两个未知数建立二元一次方程组即可求出两种物资的数量。
2. 第(2)问为方案设计问题，需满足两种货车装载的帐篷、食品总数分别不少于总物资数，设租用甲种货车x辆，则乙种货车为(8-x)辆，根据装载要求列一元一次不等式组，求出x的取值范围后取非负整数解，即可得到所有可行租车方案。
3. 第(3)问求最优方案，先根据运费计算规则列出总运费关于x的一次函数表达式，结合一次函数的增减性和x的取值范围，即可找到运费最低的方案。
【解析】
(1) 设打包成件的食品有$x$件，帐篷有$y$件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 320 \\y - x = 80\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 120 \\y = 200\end{cases}$
(2) 设租用甲种货车$x$辆，则租用乙种货车$(8-x)$辆。
根据运输物资的数量要求列不等式组：
$\begin{cases}40x + 20(8-x) ≥ 200 \\10x + 20(8-x) ≥ 120\end{cases}$
解第一个不等式：
$40x + 160 - 20x ≥ 200$
$20x ≥ 40$
$x ≥ 2$
解第二个不等式：
$10x + 160 - 20x ≥ 120$
$-10x ≥ -40$
$x ≤ 4$
∵ $x$为非负整数，
∴ $x$的取值为2、3、4。
则共有3种运输方案：
方案一：租用甲种货车2辆，乙种货车6辆；
方案二：租用甲种货车3辆，乙种货车5辆；
方案三：租用甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3) 设总运输费为$W$元，则：
$W = 4000x + 3600(8-x) = 400x + 28800$
∵ $400＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
∴ 当$x=2$时，$W$取得最小值，$W_{\mathrm{最小}} = 400×2 + 28800 = 29600$元。
【答案】
(1) 打包成件的帐篷有200件，食品有120件；
(2) 共有3种方案：方案一租用甲种货车2辆、乙种货车6辆，方案二租用甲种货车3辆、乙种货车5辆，方案三租用甲种货车4辆、乙种货车4辆；
(3) 选择租用甲种货车2辆、乙种货车6辆的方案运输费最少，最少运输费是29600元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用
【点评】
本题是贴近生活实际的综合应用类题目，问题设置层层递进，既考察了方程、不等式的基础应用能力，也考察了利用一次函数性质求解最优方案的能力，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的思维。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问可通过提取题干等量关系求解：已知帐篷和食品总件数、两者的数量差，设两个未知数建立二元一次方程组即可求出两种物资的数量。
2. 第(2)问为方案设计问题，需满足两种货车装载的帐篷、食品总数分别不少于总物资数，设租用甲种货车x辆，则乙种货车为(8-x)辆，根据装载要求列一元一次不等式组，求出x的取值范围后取非负整数解，即可得到所有可行租车方案。
3. 第(3)问求最优方案，先根据运费计算规则列出总运费关于x的一次函数表达式，结合一次函数的增减性和x的取值范围，即可找到运费最低的方案。
【解析】
(1) 设打包成件的食品有$x$件，帐篷有$y$件。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 320 \\y - x = 80\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 120 \\y = 200\end{cases}$
(2) 设租用甲种货车$x$辆，则租用乙种货车$(8-x)$辆。
根据运输物资的数量要求列不等式组：
$\begin{cases}40x + 20(8-x) ≥ 200 \\10x + 20(8-x) ≥ 120\end{cases}$
解第一个不等式：
$40x + 160 - 20x ≥ 200$
$20x ≥ 40$
$x ≥ 2$
解第二个不等式：
$10x + 160 - 20x ≥ 120$
$-10x ≥ -40$
$x ≤ 4$
∵ $x$为非负整数，
∴ $x$的取值为2、3、4。
则共有3种运输方案：
方案一：租用甲种货车2辆，乙种货车6辆；
方案二：租用甲种货车3辆，乙种货车5辆；
方案三：租用甲种货车4辆，乙种货车4辆。
(3) 设总运输费为$W$元，则：
$W = 4000x + 3600(8-x) = 400x + 28800$
∵ $400＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
∴ 当$x=2$时，$W$取得最小值，$W_{\mathrm{最小}} = 400×2 + 28800 = 29600$元。
【答案】
(1) 打包成件的帐篷有200件，食品有120件；
(2) 共有3种方案：方案一租用甲种货车2辆、乙种货车6辆，方案二租用甲种货车3辆、乙种货车5辆，方案三租用甲种货车4辆、乙种货车4辆；
(3) 选择租用甲种货车2辆、乙种货车6辆的方案运输费最少，最少运输费是29600元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用
【点评】
本题是贴近生活实际的综合应用类题目，问题设置层层递进，既考察了方程、不等式的基础应用能力，也考察了利用一次函数性质求解最优方案的能力，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的思维。
【难度系数】
0.7
【例3】 某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10～25人之间.甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元.该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠.问：该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？
【分析】 本题贴近生活，背景新颖，建立一次函数和一元一次不等式的模型.
【分析】 本题贴近生活，背景新颖，建立一次函数和一元一次不等式的模型.
答案
解：设该单位参加旅游的人数为$x$人，选择甲旅行社的总费用为$y_甲$元，选择乙旅行社的总费用为$y_乙$元，其中$10≤ x≤25$。
根据题意，得：
$y_甲 = 200×0.75x = 150x$
$y_乙 = 200×0.8(x-1) = 160x - 160$
1. 当$y_甲 = y_乙$时：
$150x = 160x - 160$
解得$x=16$
即旅游人数为16人时，两家旅行社总费用相同，任选其一均可。
2. 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$150x ＜ 160x - 160$
解得$x＞16$
结合$10≤ x≤25$，得$16＜x≤25$
即旅游人数大于16且不超过25人时，选择甲旅行社总费用较少。
3. 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$150x ＞ 160x - 160$
解得$x＜16$
结合$10≤ x≤25$，得$10≤ x＜16$
即旅游人数不少于10且小于16人时，选择乙旅行社总费用较少。
答：当旅游人数为16人时，任选两家旅行社均可；当人数为17~25人时，选择甲旅行社总费用更少；当人数为10~15人时，选择乙旅行社总费用更少。
根据题意，得：
$y_甲 = 200×0.75x = 150x$
$y_乙 = 200×0.8(x-1) = 160x - 160$
1. 当$y_甲 = y_乙$时：
$150x = 160x - 160$
解得$x=16$
即旅游人数为16人时，两家旅行社总费用相同，任选其一均可。
2. 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$150x ＜ 160x - 160$
解得$x＞16$
结合$10≤ x≤25$，得$16＜x≤25$
即旅游人数大于16且不超过25人时，选择甲旅行社总费用较少。
3. 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$150x ＞ 160x - 160$
解得$x＜16$
结合$10≤ x≤25$，得$10≤ x＜16$
即旅游人数不少于10且小于16人时，选择乙旅行社总费用较少。
答：当旅游人数为16人时，任选两家旅行社均可；当人数为17~25人时，选择甲旅行社总费用更少；当人数为10~15人时，选择乙旅行社总费用更少。
解析
【分析】
这是实际生活中的优惠方案选择问题，解题思路如下：第一步确定变量，设旅游人数为x，分别写出甲、乙两家旅行社总费用关于x的代数式；第二步分三种情况比较两个费用的大小：费用相等、甲费用更低、乙费用更低，分别列方程或不等式求解；第三步结合题目给出的人数范围10≤x≤25对结果进行取舍，最终得到不同人数对应的最优选择。
【解析】
设该单位参加旅游的人数为$x$人，选择甲旅行社的总费用为$y_甲$元，选择乙旅行社的总费用为$y_乙$元，其中$10≤ x≤25$且x为正整数。
根据题意，得：
$y_甲 = 200×0.75x = 150x$
$y_乙 = 200×0.8(x-1) = 160x - 160$
1. 当$y_甲 = y_乙$时：
$150x = 160x - 160$
解得$x=16$
即旅游人数为16人时，两家旅行社总费用相同，任选其一均可。
2. 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$150x ＜ 160x - 160$
解得$x＞16$
结合$10≤ x≤25$，得$16＜x≤25$
即旅游人数大于16且不超过25人时，选择甲旅行社总费用较少。
3. 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$150x ＞ 160x - 160$
解得$x＜16$
结合$10≤ x≤25$，得$10≤ x＜16$
即旅游人数不少于10且小于16人时，选择乙旅行社总费用较少。
【答案】
当旅游人数为16人时，任选两家旅行社均可；当人数为17~25人时，选择甲旅行社总费用更少；当人数为10~15人时，选择乙旅行社总费用更少。
【知识点】
一次函数应用，一元一次不等式求解，方案最优选择
【点评】
本题结合生活中常见的旅行社优惠场景，考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力，解题过程用到分类讨论思想，实用性较强，能很好地锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.65
这是实际生活中的优惠方案选择问题，解题思路如下：第一步确定变量，设旅游人数为x，分别写出甲、乙两家旅行社总费用关于x的代数式；第二步分三种情况比较两个费用的大小：费用相等、甲费用更低、乙费用更低，分别列方程或不等式求解；第三步结合题目给出的人数范围10≤x≤25对结果进行取舍，最终得到不同人数对应的最优选择。
【解析】
设该单位参加旅游的人数为$x$人，选择甲旅行社的总费用为$y_甲$元，选择乙旅行社的总费用为$y_乙$元，其中$10≤ x≤25$且x为正整数。
根据题意，得：
$y_甲 = 200×0.75x = 150x$
$y_乙 = 200×0.8(x-1) = 160x - 160$
1. 当$y_甲 = y_乙$时：
$150x = 160x - 160$
解得$x=16$
即旅游人数为16人时，两家旅行社总费用相同，任选其一均可。
2. 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$150x ＜ 160x - 160$
解得$x＞16$
结合$10≤ x≤25$，得$16＜x≤25$
即旅游人数大于16且不超过25人时，选择甲旅行社总费用较少。
3. 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$150x ＞ 160x - 160$
解得$x＜16$
结合$10≤ x≤25$，得$10≤ x＜16$
即旅游人数不少于10且小于16人时，选择乙旅行社总费用较少。
【答案】
当旅游人数为16人时，任选两家旅行社均可；当人数为17~25人时，选择甲旅行社总费用更少；当人数为10~15人时，选择乙旅行社总费用更少。
【知识点】
一次函数应用，一元一次不等式求解，方案最优选择
【点评】
本题结合生活中常见的旅行社优惠场景，考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力，解题过程用到分类讨论思想，实用性较强，能很好地锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.65
