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24. (12分)如图,一次函数$y = -2x + 6$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,点$C$在$x$轴正半轴上,$AC = AO$.
(1)直接写出直线$BC$的解析式;
(2)如图1,点$D$在$y$轴正半轴上,$∠ OCD = ∠ ABC$,求点$D$的坐标;
(3)如图2,点$H$在$OC$上,过点$H$作$HP ⊥ OC$交$BC$于点$P$,将点$P$向下平移$\frac{1}{2}HA$长度到点$Q$,连接$OQ$,当点$H$从点$O$运动至点$C$的过程中,求$OQ$的最小值.
(1)直接写出直线$BC$的解析式;
(2)如图1,点$D$在$y$轴正半轴上,$∠ OCD = ∠ ABC$,求点$D$的坐标;
(3)如图2,点$H$在$OC$上,过点$H$作$HP ⊥ OC$交$BC$于点$P$,将点$P$向下平移$\frac{1}{2}HA$长度到点$Q$,连接$OQ$,当点$H$从点$O$运动至点$C$的过程中,求$OQ$的最小值.
答案
24. 【点拨】本题考查一次函数的图象及性质,直角三角形的性质,配方法求最值.
【解析】(1)当 $x = 0$ 时,$y = 6, \therefore B(0,6)$,
当 $y = 0$ 时,$x = 3, \therefore A(3,0), \therefore AO = 3$.
$\because AC = AO. \therefore AC = 3, \therefore C(6,0)$,
设直线 $BC$ 的解析式为 $y = kx + 6$,代入点 $C$ 得 $6k + 6 = 0$,
解得 $k = -1$,
$\therefore$ 直线 $BC$ 的解析式为 $y = -x + 6$.
(2)如图,在 $y$ 轴上取点 $E$,使 $OE = OA$,连接 $CE$,作 $EF ⊥ CE$ 交 $CD$ 的延长线于点 $F$,作 $FG ⊥ y$ 轴于点 $G$.
由(1)知:$A(3,0),B(0,6),C(6,0)$,
$\because OE = OA = 3, \therefore E(0,-3)$.
在$△ COE$ 和 $△ BOA$ 中,
$\begin{cases} OC = OB, \\ ∠EOC = ∠AOB, \\ OE = OA. \end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ BOA(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ECO = ∠ABO$.
$\because ∠OCD = ∠ABC$,
$\therefore$ 设 $∠OCD = ∠ABC = α, ∠ECO = ∠ABO = β$,
在等腰直角三角形 $OBC$ 中,$∠OBC = 45° = α + β$,
则 $∠ECF = α + β = 45°$,
即 $△ EFC$ 是等腰直角三角形,$\therefore EC = EF$.
$\because ∠ECO + ∠OEC = 90°, ∠FEG + ∠OEC = 90°$,
$\therefore ∠FEG = ∠ECO$.
在$△ COE$ 和 $△ EGF$ 中,$\begin{cases} ∠EOC = ∠FGE, \\ ∠ECO = ∠FEG, \\ EC = FE. \end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ EGF(\mathrm{AAS}), \therefore FG = OE = 3,EG = OC = 6$,
$\therefore OG = EG - OE = 3$,即 $F( - 3,3)$.
设直线 $FC$ 的解析式为 $y = k'x + b'$,将 $F( - 3,3),C(6,0)$ 分别代入 $y = k'x + b'$,
得 $\begin{cases} 3 = -3k' + b', \\ 0 = 6k' + b', \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k' = -\dfrac{1}{3}, \\ b' = 2. \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $FC$ 的解析式为 $y = -\dfrac{1}{3}x + 2$.
当 $x = 0$ 时,$y = 2, \therefore D(0,2)$.
(3)设 $H( t, 0 )$,则 $P( t, - t + 6 )$. 当 $0 ≤ t ≤ 3$ 时,$AH = 3 - t$,
$\therefore Q( t, -\dfrac{1}{2}t + \dfrac{9}{2} )$,
$\therefore OQ = \sqrt{t^2 + ( -\dfrac{1}{2}t + \dfrac{9}{2} )^2} = \sqrt{\dfrac{5}{4}(t - \dfrac{9}{5})^2 + \dfrac{81}{5}}$,
当 $t = \dfrac{9}{5}$ 时,$OQ$ 有最小值$\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$;
当 $3 ＜ t ≤ 6$ 时,$AH = t - 3, \therefore Q( t, -\dfrac{3}{2}t + \dfrac{15}{2} )$,
$\therefore OQ = \sqrt{t^2 + ( -\dfrac{3}{2}t + \dfrac{15}{2} )^2} = \sqrt{\dfrac{13}{4}(t - \dfrac{45}{13})^2 + \dfrac{225}{13}}$,
当 $t = \dfrac{45}{13}$ 时,$OQ$ 有最小值$\dfrac{15\sqrt{13}}{13}$.
综上所述,$OQ$ 的最小值为$\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：先通过一次函数$y=-2x+6$与坐标轴的交点求出A、B坐标，结合$AC=AO$确定点C坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式；
2. 第(2)问：利用角度相等的条件，构造全等三角形（$△ COE≌△ BOA$、$△ COE≌△ EGF$），求出点F坐标，进而得到直线FC的解析式，从而求出D点坐标；
3. 第(3)问：设H点坐标为$(t,0)$，根据直线BC的解析式得到P点坐标，结合平移规则得到Q点坐标，分$0≤t≤3$和$3＜t≤6$两种情况，用两点间距离公式表示$OQ$，通过配方法求每种情况的最小值，再比较得到$OQ$的最小值。
【解析】
(1) 当$x=0$时，$y=-2×0+6=6$，故$B(0,6)$；当$y=0$时，$-2x+6=0$，解得$x=3$，故$A(3,0)$，则$AO=3$。因为$AC=AO=3$，且C在x轴正半轴，所以$OC=OA+AC=6$，即$C(6,0)$。设直线BC的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,6)$得$b=6$，再代入$C(6,0)$得$6k+6=0$，解得$k=-1$，故直线BC的解析式为$y=-x+6$。
(2) 取$E(0,-3)$（$OE=OA=3$），连接$CE$，作$EF⊥CE$交CD延长线于F，作$FG⊥y$轴于G。由(1)知$OC=OB=6$，$∠ EOC=∠ AOB=90°$，$OE=OA$，故$△ COE≌△ BOA(\mathrm{SAS})$，得$∠ ECO=∠ ABO$。因为$∠ OCD=∠ ABC$，所以$∠ ECF=∠ OCD+∠ ECO=∠ ABC+∠ ABO=∠ OBC=45°$，即$△ EFC$为等腰直角三角形，$EC=EF$。又$∠ ECO+∠ OEC=90°$，$∠ FEG+∠ OEC=90°$，故$∠ FEG=∠ ECO$，结合$∠ EOC=∠ FGE=90°$，$EC=FE$，得$△ COE≌△ EGF(\mathrm{AAS})$，所以$FG=OE=3$，$EG=OC=6$，$OG=EG-OE=3$，即$F(-3,3)$。设直线FC的解析式为$y=k'x+b'$，代入$F(-3,3)$和$C(6,0)$，得方程组：$\begin{cases}3=-3k'+b' \\0=6k'+b'\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=-\frac{1}{3} \\b'=2\end{cases}$，故直线FC的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+2$。令$x=0$，得$y=2$，故$D(0,2)$。
(3) 设$H(t,0)$（$0≤t≤6$），因为P在BC上，所以$P(t,-t+6)$。
① 当$0≤t≤3$时，$AH=OA-OH=3-t$，点P向下平移$\frac{1}{2}AH$长度，故Q的纵坐标为$(-t+6)-\frac{1}{2}(3-t)=-\frac{1}{2}t+\frac{9}{2}$，横坐标与P相同为t，即$Q(t,-\frac{1}{2}t+\frac{9}{2})$。则$OQ=\sqrt{t^2 + (-\frac{1}{2}t+\frac{9}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}(t-\frac{9}{5})^2 + \frac{81}{5}}$，当$t=\frac{9}{5}$时，$OQ$最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
② 当$3＜t≤6$时，$AH=OH-OA=t-3$，Q的纵坐标为$(-t+6)-\frac{1}{2}(t-3)=-\frac{3}{2}t+\frac{15}{2}$，横坐标为t，即$Q(t,-\frac{3}{2}t+\frac{15}{2})$。则$OQ=\sqrt{t^2 + (-\frac{3}{2}t+\frac{15}{2})^2}=\sqrt{\frac{13}{4}(t-\frac{45}{13})^2 + \frac{225}{13}}$，当$t=\frac{45}{13}$时，$OQ$最小值为$\frac{15\sqrt{13}}{13}$。
比较两个最小值，$\frac{9\sqrt{5}}{5}＜\frac{15\sqrt{13}}{13}$，故$OQ$的最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
直线BC的解析式为$y=-x+6$；点D的坐标为$(0,2)$；$OQ$的最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
【知识点】
一次函数解析式、全等三角形判定与性质、配方法求最值
【点评】
本题综合考查一次函数性质、全等三角形构造与应用以及动点最值问题，需要掌握坐标与图形的转化、辅助线构造技巧和分段讨论思想，对学生综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.4
1. 第(1)问：先通过一次函数$y=-2x+6$与坐标轴的交点求出A、B坐标，结合$AC=AO$确定点C坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式；
2. 第(2)问：利用角度相等的条件，构造全等三角形（$△ COE≌△ BOA$、$△ COE≌△ EGF$），求出点F坐标，进而得到直线FC的解析式，从而求出D点坐标；
3. 第(3)问：设H点坐标为$(t,0)$，根据直线BC的解析式得到P点坐标，结合平移规则得到Q点坐标，分$0≤t≤3$和$3＜t≤6$两种情况，用两点间距离公式表示$OQ$，通过配方法求每种情况的最小值，再比较得到$OQ$的最小值。
【解析】
(1) 当$x=0$时，$y=-2×0+6=6$，故$B(0,6)$；当$y=0$时，$-2x+6=0$，解得$x=3$，故$A(3,0)$，则$AO=3$。因为$AC=AO=3$，且C在x轴正半轴，所以$OC=OA+AC=6$，即$C(6,0)$。设直线BC的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,6)$得$b=6$，再代入$C(6,0)$得$6k+6=0$，解得$k=-1$，故直线BC的解析式为$y=-x+6$。
(2) 取$E(0,-3)$（$OE=OA=3$），连接$CE$，作$EF⊥CE$交CD延长线于F，作$FG⊥y$轴于G。由(1)知$OC=OB=6$，$∠ EOC=∠ AOB=90°$，$OE=OA$，故$△ COE≌△ BOA(\mathrm{SAS})$，得$∠ ECO=∠ ABO$。因为$∠ OCD=∠ ABC$，所以$∠ ECF=∠ OCD+∠ ECO=∠ ABC+∠ ABO=∠ OBC=45°$，即$△ EFC$为等腰直角三角形，$EC=EF$。又$∠ ECO+∠ OEC=90°$，$∠ FEG+∠ OEC=90°$，故$∠ FEG=∠ ECO$，结合$∠ EOC=∠ FGE=90°$，$EC=FE$，得$△ COE≌△ EGF(\mathrm{AAS})$，所以$FG=OE=3$，$EG=OC=6$，$OG=EG-OE=3$，即$F(-3,3)$。设直线FC的解析式为$y=k'x+b'$，代入$F(-3,3)$和$C(6,0)$，得方程组：$\begin{cases}3=-3k'+b' \\0=6k'+b'\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=-\frac{1}{3} \\b'=2\end{cases}$，故直线FC的解析式为$y=-\frac{1}{3}x+2$。令$x=0$，得$y=2$，故$D(0,2)$。
(3) 设$H(t,0)$（$0≤t≤6$），因为P在BC上，所以$P(t,-t+6)$。
① 当$0≤t≤3$时，$AH=OA-OH=3-t$，点P向下平移$\frac{1}{2}AH$长度，故Q的纵坐标为$(-t+6)-\frac{1}{2}(3-t)=-\frac{1}{2}t+\frac{9}{2}$，横坐标与P相同为t，即$Q(t,-\frac{1}{2}t+\frac{9}{2})$。则$OQ=\sqrt{t^2 + (-\frac{1}{2}t+\frac{9}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}(t-\frac{9}{5})^2 + \frac{81}{5}}$，当$t=\frac{9}{5}$时，$OQ$最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
② 当$3＜t≤6$时，$AH=OH-OA=t-3$，Q的纵坐标为$(-t+6)-\frac{1}{2}(t-3)=-\frac{3}{2}t+\frac{15}{2}$，横坐标为t，即$Q(t,-\frac{3}{2}t+\frac{15}{2})$。则$OQ=\sqrt{t^2 + (-\frac{3}{2}t+\frac{15}{2})^2}=\sqrt{\frac{13}{4}(t-\frac{45}{13})^2 + \frac{225}{13}}$，当$t=\frac{45}{13}$时，$OQ$最小值为$\frac{15\sqrt{13}}{13}$。
比较两个最小值，$\frac{9\sqrt{5}}{5}＜\frac{15\sqrt{13}}{13}$，故$OQ$的最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
直线BC的解析式为$y=-x+6$；点D的坐标为$(0,2)$；$OQ$的最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$。
【知识点】
一次函数解析式、全等三角形判定与性质、配方法求最值
【点评】
本题综合考查一次函数性质、全等三角形构造与应用以及动点最值问题，需要掌握坐标与图形的转化、辅助线构造技巧和分段讨论思想，对学生综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.4
