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2. 水果店统计一个星期内某种水果每天销量如下(单位:kg):
请用两种不同的方法计算该种水果本周每天销量的平均数.
请用两种不同的方法计算该种水果本周每天销量的平均数.
答案
方法一:该种水果本周每天销量的平均数为$\frac{45+44+48+42+57+55+66}{7}$ =51(kg) 方法二:先将各数据同时减去 50,得到一组新数据-5,-6,-2,-8,+7,+5,+16,再计算这组新数据的平均数,得$\bar{x}'=\frac{1}{7}×(-5-6-2-8+7+5+16)=1$ 所以,该种水果本周每天销量的平均数为$\bar{x}'+50=51$(kg)
解析
【分析】
计算平均数有两种常用思路：第一种是直接利用算术平均数的定义，先求出所有数据的总和，再除以数据的总个数即可得到平均数；第二种是基准数简化计算法，观察发现所有销量数据都接近50，因此可以选50作为基准数，将每个数据减去基准数得到一组更小的新数据，先计算新数据的平均数，再加上基准数就能得到原数据的平均数，这种方法可以降低计算量，减少计算错误。
【解析】
方法一：根据算术平均数的定义计算
首先计算7天销量的总和：$45+44+48+42+57+55+66=357$（kg）
数据总个数为7，因此平均数为：$\frac{357}{7}=51$（kg）
方法二：利用基准数法简化计算
选取基准数为50，将每个销量数据减去50，得到新数据：$-5,-6,-2,-8,+7,+5,+16$
计算新数据的平均数：$\bar{x}'=\frac{1}{7}×(-5-6-2-8+7+5+16)=\frac{1}{7}×7=1$
原数据的平均数为新数据平均数加上基准数：$\bar{x}=1+50=51$（kg）
【答案】
该种水果本周每天销量的平均数为$\boxed{51\mathrm{kg}}$。
【知识点】
算术平均数计算；基准数法求平均数
【点评】
本题考查平均数的计算方法，直接计算法思路直观直接，适合数据量小、数值偏小的场景；基准数法适合所有数据接近某个固定值的场景，能有效简化计算，降低出错率，同学们可以根据数据特点灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.9
计算平均数有两种常用思路：第一种是直接利用算术平均数的定义，先求出所有数据的总和，再除以数据的总个数即可得到平均数；第二种是基准数简化计算法，观察发现所有销量数据都接近50，因此可以选50作为基准数，将每个数据减去基准数得到一组更小的新数据，先计算新数据的平均数，再加上基准数就能得到原数据的平均数，这种方法可以降低计算量，减少计算错误。
【解析】
方法一：根据算术平均数的定义计算
首先计算7天销量的总和：$45+44+48+42+57+55+66=357$（kg）
数据总个数为7，因此平均数为：$\frac{357}{7}=51$（kg）
方法二：利用基准数法简化计算
选取基准数为50，将每个销量数据减去50，得到新数据：$-5,-6,-2,-8,+7,+5,+16$
计算新数据的平均数：$\bar{x}'=\frac{1}{7}×(-5-6-2-8+7+5+16)=\frac{1}{7}×7=1$
原数据的平均数为新数据平均数加上基准数：$\bar{x}=1+50=51$（kg）
【答案】
该种水果本周每天销量的平均数为$\boxed{51\mathrm{kg}}$。
【知识点】
算术平均数计算；基准数法求平均数
【点评】
本题考查平均数的计算方法，直接计算法思路直观直接，适合数据量小、数值偏小的场景；基准数法适合所有数据接近某个固定值的场景，能有效简化计算，降低出错率，同学们可以根据数据特点灵活选择计算方法。
【难度系数】
0.9
3. 某跳水队计划招收一批新运动员，请6位评委给选拔赛选手打分，入选的标准是平均分超过8.5分.若小明的分数分别为8.30,8.25,8.45,8.20,8.30,9.60.你认为他适合入选吗？给出必要的计算过程并说明理由.
答案
小明分数中存在一个极端数据 9.60,剔除该数据后小明的平均分数为$\frac{8.30+8.25+8.45+8.20+8.30}{5}=8.3$(分),$8.3＜8.5$,所以小明不合适入选
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要结合比赛打分的实际逻辑：极端过高或过低的分数会影响评分的公平性，因此不能直接用所有分数计算平均分。第一步先观察小明的所有得分，识别出明显偏离其他分数的极端数据；第二步剔除极端值后，用算术平均数公式计算剩余有效得分的平均分；第三步将算出的平均分和入选标准8.5分对比，判断是否符合入选要求。
【解析】
跳水选拔赛打分中，极端值会影响平均分的客观性，因此需要先剔除极端数据。
观察小明的6个得分：8.30、8.25、8.45、8.20、8.30、9.60，其中9.60远高于其他5个得分，属于极端异常值，将其剔除后计算剩余5个得分的算术平均数：
$\bar{x}=\frac{8.30+8.25+8.45+8.20+8.30}{5}=\frac{41.5}{5}=8.3 \mathrm{（分）}$
已知入选标准为平均分超过8.5分，由于$8.3＜8.5$，因此小明不符合入选标准。
【答案】
小明不合适入选
【知识点】
算术平均数计算；极端值对平均数的影响
【点评】
本题结合生活中的打分场景考查平均数的实际应用，提醒我们使用平均数时不能盲目套用公式，要结合实际场景判断是否需要处理极端值，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要结合比赛打分的实际逻辑：极端过高或过低的分数会影响评分的公平性，因此不能直接用所有分数计算平均分。第一步先观察小明的所有得分，识别出明显偏离其他分数的极端数据；第二步剔除极端值后，用算术平均数公式计算剩余有效得分的平均分；第三步将算出的平均分和入选标准8.5分对比，判断是否符合入选要求。
【解析】
跳水选拔赛打分中，极端值会影响平均分的客观性，因此需要先剔除极端数据。
观察小明的6个得分：8.30、8.25、8.45、8.20、8.30、9.60，其中9.60远高于其他5个得分，属于极端异常值，将其剔除后计算剩余5个得分的算术平均数：
$\bar{x}=\frac{8.30+8.25+8.45+8.20+8.30}{5}=\frac{41.5}{5}=8.3 \mathrm{（分）}$
已知入选标准为平均分超过8.5分，由于$8.3＜8.5$，因此小明不符合入选标准。
【答案】
小明不合适入选
【知识点】
算术平均数计算；极端值对平均数的影响
【点评】
本题结合生活中的打分场景考查平均数的实际应用，提醒我们使用平均数时不能盲目套用公式，要结合实际场景判断是否需要处理极端值，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
4. 小明家的鱼塘养了某种鱼2000条，现准备捕捞出售。为了估计销售这种鱼的总收入，先从鱼塘中捕捞了3次，得到的数据如下表：
（1）如果这3次捕捞的每条鱼的质量的平均数能够反映鱼塘中这种鱼平均每条的质量情况，那么鱼塘中这种鱼的总质量大约有多少？
（2）若将鱼塘中这些鱼不分大小，按7.5元/kg的价格销售完，小明家的收入大约有多少？
（1）如果这3次捕捞的每条鱼的质量的平均数能够反映鱼塘中这种鱼平均每条的质量情况，那么鱼塘中这种鱼的总质量大约有多少？
（2）若将鱼塘中这些鱼不分大小，按7.5元/kg的价格销售完，小明家的收入大约有多少？
答案
(1) $\frac{15×1.6+15×2.0+10×1.8}{40}=1.8$(kg),$1.8×2\ 000 = 3\ 600$(kg) 所以鱼塘中所有这种鱼的总质量约是3 600 kg
(2) $3\ 600×7.5 = 27\ 000$(元) 所以小明家的收入大约有 27 000 元
(2) $3\ 600×7.5 = 27\ 000$(元) 所以小明家的收入大约有 27 000 元
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先处理第一问：因为3次捕捞的鱼的条数不同，计算平均质量需用加权平均数的计算方法，先求出3次捕捞的鱼的总质量，再除以捕捞总条数得到平均每条鱼的质量，再用该平均值乘鱼塘总鱼数，即可估算总质量。第二问直接用第一问算出的总质量乘每千克售价，就能得到总收入。
【解析】
（1）先计算3次捕捞的鱼的总质量：
$15×1.6 + 15×2.0 + 10×1.8 = 24 + 30 + 18 = 72$（kg）
3次捕捞的总条数：$15+15+10=40$（条）
平均每条鱼的质量：$\frac{72}{40}=1.8$（kg）
鱼塘中鱼的总质量约为：$1.8×2000=3600$（kg）
（2）总收入为总质量乘单价：
$3600×7.5=27000$（元）
【答案】
（1）鱼塘中这种鱼的总质量大约有3600kg；
（2）小明家的收入大约有27000元。
【知识点】
加权平均数，样本估计总体，有理数运算
【点评】
本题是统计类基础应用题，核心是利用抽样得到的样本特征估计总体特征，解题时要注意计算平均数时需考虑各批次的权重，不要误算成普通算术平均数，计算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，首先处理第一问：因为3次捕捞的鱼的条数不同，计算平均质量需用加权平均数的计算方法，先求出3次捕捞的鱼的总质量，再除以捕捞总条数得到平均每条鱼的质量，再用该平均值乘鱼塘总鱼数，即可估算总质量。第二问直接用第一问算出的总质量乘每千克售价，就能得到总收入。
【解析】
（1）先计算3次捕捞的鱼的总质量：
$15×1.6 + 15×2.0 + 10×1.8 = 24 + 30 + 18 = 72$（kg）
3次捕捞的总条数：$15+15+10=40$（条）
平均每条鱼的质量：$\frac{72}{40}=1.8$（kg）
鱼塘中鱼的总质量约为：$1.8×2000=3600$（kg）
（2）总收入为总质量乘单价：
$3600×7.5=27000$（元）
【答案】
（1）鱼塘中这种鱼的总质量大约有3600kg；
（2）小明家的收入大约有27000元。
【知识点】
加权平均数，样本估计总体，有理数运算
【点评】
本题是统计类基础应用题，核心是利用抽样得到的样本特征估计总体特征，解题时要注意计算平均数时需考虑各批次的权重，不要误算成普通算术平均数，计算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在某校九年级各班学生人数条形统计图中画出一条代表平均人数40的水平线.各班人数的五个条形,有的高于这条水平线,有的低于这条水平线.小亮发现:将水平线上方的超出部分剪下来,恰好能填满下方的不足部分.
（1）请利用所给数据,表示小亮的发现中的等量关系；
（2）请写一组数据,并通过计算验证是否满足小亮的发现；
（3）设一组数据由$a,b,c,d,e$五个数组成,它们的平均数是$m$,请利用这些字母表示小亮的发现中的等量关系,并通过计算验证.
（1）请利用所给数据,表示小亮的发现中的等量关系；
（2）请写一组数据,并通过计算验证是否满足小亮的发现；
（3）设一组数据由$a,b,c,d,e$五个数组成,它们的平均数是$m$,请利用这些字母表示小亮的发现中的等量关系,并通过计算验证.
答案
(1) $(46-40)+(36-40)+(38-40)=0$
(2) 数据:1、1、2、3 平均数为 1.75,$(1-1.75)+(1-1.75)+(2-1.75)+(3-1.75)=0$
(3) $(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=0$ 验证:$(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=(a+b+c+d+e)-5m=0$
(2) 数据:1、1、2、3 平均数为 1.75,$(1-1.75)+(1-1.75)+(2-1.75)+(3-1.75)=0$
(3) $(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=0$ 验证:$(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=(a+b+c+d+e)-5m=0$
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：
(1) 第一问先明确平均人数为40，超出平均数的部分记为正，低于平均数的部分记为负，根据“超出部分恰好填满不足部分”可知所有差值的和为0，对应列出算式即可。
(2) 第二问可任意选取一组数据，先计算这组数据的平均数，再求每个数据与平均数的差值之和，验证结果是否为0即可。
(3) 第三问类比第一问的规律，将五个数分别减去平均数m后求和，结果为0即可得到等量关系；验证时先展开式子合并同类项，再结合平均数的定义（五个数的总和等于5m）代入，即可证明等式成立。
【解析】
(1) 计算各班人数与平均人数40的差值：(2)班超出$46-40=6$，(4)班不足$36-40=-4$，(5)班不足$38-40=-2$，(1)(3)班差值为0不影响总和，因此等量关系为超出部分与不足部分的和为0。
(2) 以数据1、1、2、3为例：先算平均数$\frac{1+1+2+3}{4}=1.75$，再计算各数据与平均数的差值之和，最终结果为0，符合小亮的发现。
(3) 类比具体数据的规律，可得五个数与平均数m的差值之和为0；验证时先展开式子得到五个数的和减去5m，再根据平均数定义可知五个数的和为5m，代入后结果为0，等式成立。
【答案】
(1) $(46-40)+(36-40)+(38-40)=0$
(2) 示例：数据:1、1、2、3 平均数为 1.75,$(1-1.75)+(1-1.75)+(2-1.75)+(3-1.75)=0$（答案不唯一）
(3) 等量关系：$(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=0$ 验证:$(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=(a+b+c+d+e)-5m=0$
【知识点】
算术平均数、平均数的性质、整式化简
【点评】
本题从具体的统计图数据出发，引导学生逐步探究平均数的核心性质，既考查了对平均数概念的理解，又锻炼了从具体实例到抽象规律的归纳能力，侧重基础概念的应用。
【难度系数】
0.75
解题可按以下思路逐步推导：
(1) 第一问先明确平均人数为40，超出平均数的部分记为正，低于平均数的部分记为负，根据“超出部分恰好填满不足部分”可知所有差值的和为0，对应列出算式即可。
(2) 第二问可任意选取一组数据，先计算这组数据的平均数，再求每个数据与平均数的差值之和，验证结果是否为0即可。
(3) 第三问类比第一问的规律，将五个数分别减去平均数m后求和，结果为0即可得到等量关系；验证时先展开式子合并同类项，再结合平均数的定义（五个数的总和等于5m）代入，即可证明等式成立。
【解析】
(1) 计算各班人数与平均人数40的差值：(2)班超出$46-40=6$，(4)班不足$36-40=-4$，(5)班不足$38-40=-2$，(1)(3)班差值为0不影响总和，因此等量关系为超出部分与不足部分的和为0。
(2) 以数据1、1、2、3为例：先算平均数$\frac{1+1+2+3}{4}=1.75$，再计算各数据与平均数的差值之和，最终结果为0，符合小亮的发现。
(3) 类比具体数据的规律，可得五个数与平均数m的差值之和为0；验证时先展开式子得到五个数的和减去5m，再根据平均数定义可知五个数的和为5m，代入后结果为0，等式成立。
【答案】
(1) $(46-40)+(36-40)+(38-40)=0$
(2) 示例：数据:1、1、2、3 平均数为 1.75,$(1-1.75)+(1-1.75)+(2-1.75)+(3-1.75)=0$（答案不唯一）
(3) 等量关系：$(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=0$ 验证:$(a-m)+(b-m)+(c-m)+(d-m)+(e-m)=(a+b+c+d+e)-5m=0$
【知识点】
算术平均数、平均数的性质、整式化简
【点评】
本题从具体的统计图数据出发，引导学生逐步探究平均数的核心性质，既考查了对平均数概念的理解，又锻炼了从具体实例到抽象规律的归纳能力，侧重基础概念的应用。
【难度系数】
0.75
