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7.如图,是一个$5×6$的正方形网格,以点D,E为顶点作位置不同的格点三角形(三角形的三个顶点都在网格线的交点上),使所作的格点三角形与$△ ABC$全等,这样的格点三角形最多可以画出 (
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
B
)A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用全等三角形的判定思路：首先观察到AC和DE的长度相等（都是3个小方格的边长），可作为一组对应边，接下来只需要在DE的上下两侧寻找第三个格点，使得另外两边分别与△ABC的AB、BC边对应相等即可。思考时可以通过平移、翻折△ABC，让AC与DE重合，分上下两侧、正向反向两种对应方式计数，避免漏解。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 先观察△ABC的边长：AC为水平边，长度为3；AB是横向占1格、纵向占3格的格点斜边，BC是横向占2格、纵向占3格的格点斜边。
2. 观察DE边：DE为水平边，长度也为3，因此DE可以和AC作为全等三角形的一组对应边。
3. 寻找第三个顶点：
① 在DE的上方：存在2个符合要求的格点，第一种是让D对应A、E对应C，作出的三角形和△ABC全等；第二种是让D对应C、E对应A，作出的三角形也和△ABC全等，共2个。
② 在DE的下方：同理，也存在2个符合要求的格点，能作出2个和△ABC全等的三角形。
4. 总共有2+2=4个符合条件的格点三角形。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，格点图形性质
【点评】
本题考查全等三角形在格点图中的应用，解题的关键是先确定等长的对应边，再分类讨论不同的对应方式和顶点位置，锻炼学生的作图和分类计数能力，注意不要漏算某一侧的三角形。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以利用全等三角形的判定思路：首先观察到AC和DE的长度相等（都是3个小方格的边长），可作为一组对应边，接下来只需要在DE的上下两侧寻找第三个格点，使得另外两边分别与△ABC的AB、BC边对应相等即可。思考时可以通过平移、翻折△ABC，让AC与DE重合，分上下两侧、正向反向两种对应方式计数，避免漏解。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 先观察△ABC的边长：AC为水平边，长度为3；AB是横向占1格、纵向占3格的格点斜边，BC是横向占2格、纵向占3格的格点斜边。
2. 观察DE边：DE为水平边，长度也为3，因此DE可以和AC作为全等三角形的一组对应边。
3. 寻找第三个顶点：
① 在DE的上方：存在2个符合要求的格点，第一种是让D对应A、E对应C，作出的三角形和△ABC全等；第二种是让D对应C、E对应A，作出的三角形也和△ABC全等，共2个。
② 在DE的下方：同理，也存在2个符合要求的格点，能作出2个和△ABC全等的三角形。
4. 总共有2+2=4个符合条件的格点三角形。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，格点图形性质
【点评】
本题考查全等三角形在格点图中的应用，解题的关键是先确定等长的对应边，再分类讨论不同的对应方式和顶点位置，锻炼学生的作图和分类计数能力，注意不要漏算某一侧的三角形。
【难度系数】
0.6
8.如图，$AB=CD$，$AC=DB$，$∠ ABD=25°$，$∠ AOB=82°$，则$∠ DCB=$
$66°$
。答案
8.$66°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先观察已知条件，有两组边相等$AB=CD$、$AC=DB$，再加上公共边$BC=CB$，可通过SSS判定定理证明$△ ABC≌△ DCB$，得到对应角相等的关系：$∠ ABC=∠ DCB$，$∠ ACB=∠ DBC$；2. 利用三角形外角性质，$∠ AOB$是$△ BOC$的外角，等于与它不相邻的两个内角$∠ DBC$和$∠ ACB$的和，结合两个角相等的关系可算出$∠ DBC$的度数；3. 结合已知$∠ ABD$的度数，求出$∠ ABC$的度数，再根据全等对应角相等的关系，得到$∠ DCB$的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB=CD \\AC=DB \\BC=CB\quad(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DCB\ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC=∠ DCB$，$∠ ACB=∠ DBC$
$\because ∠ AOB$是$△ BOC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ AOB=∠ DBC+∠ ACB$
又$\because ∠ ACB=∠ DBC$，$∠ AOB=82°$
$\therefore 2∠ DBC=82°$，解得$∠ DBC=41°$
已知$∠ ABD=25°$
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=25°+41°=66°$
又$\because ∠ ABC=∠ DCB$
$\therefore ∠ DCB=66°$
【答案】
$66°$
【知识点】
SSS证三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是三角形全等与角度计算结合的常规题型，解题的关键是先通过边的条件证明三角形全等，找到对应角的等量关系，再结合外角性质推导角度，属于基础类的几何计算题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先观察已知条件，有两组边相等$AB=CD$、$AC=DB$，再加上公共边$BC=CB$，可通过SSS判定定理证明$△ ABC≌△ DCB$，得到对应角相等的关系：$∠ ABC=∠ DCB$，$∠ ACB=∠ DBC$；2. 利用三角形外角性质，$∠ AOB$是$△ BOC$的外角，等于与它不相邻的两个内角$∠ DBC$和$∠ ACB$的和，结合两个角相等的关系可算出$∠ DBC$的度数；3. 结合已知$∠ ABD$的度数，求出$∠ ABC$的度数，再根据全等对应角相等的关系，得到$∠ DCB$的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB=CD \\AC=DB \\BC=CB\quad(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DCB\ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC=∠ DCB$，$∠ ACB=∠ DBC$
$\because ∠ AOB$是$△ BOC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ AOB=∠ DBC+∠ ACB$
又$\because ∠ ACB=∠ DBC$，$∠ AOB=82°$
$\therefore 2∠ DBC=82°$，解得$∠ DBC=41°$
已知$∠ ABD=25°$
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=25°+41°=66°$
又$\because ∠ ABC=∠ DCB$
$\therefore ∠ DCB=66°$
【答案】
$66°$
【知识点】
SSS证三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是三角形全等与角度计算结合的常规题型，解题的关键是先通过边的条件证明三角形全等，找到对应角的等量关系，再结合外角性质推导角度，属于基础类的几何计算题。
【难度系数】
0.7
9.如图，$OA=OB$，$AC=BC$，$∠ ACO=30°$，则$∠ ACB=$
$60°$
。答案
9.$60°$
解析
【分析】
首先观察图形与已知条件，发现△OAC和△OBC有两组边对应相等（OA=OB、AC=BC），且两个三角形共享边OC，因此可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠BCO的度数，最后通过角的和差关系求出∠ACB的度数。
【解析】
在$△ OAC$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB \quad (\mathrm{已知}) \\AC=BC \quad (\mathrm{已知}) \\OC=OC \quad (\mathrm{公共边相等})\end{cases}$
$\therefore △ OAC ≌ △ OBC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BCO = ∠ ACO = 30°$（全等三角形的对应角相等）
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACO + ∠ BCO = 30° + 30° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题关键是准确找到两个三角形的公共边，结合已知的边相等条件判定全等，进而得到等角计算结果，注重对基础判定定理和性质的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察图形与已知条件，发现△OAC和△OBC有两组边对应相等（OA=OB、AC=BC），且两个三角形共享边OC，因此可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠BCO的度数，最后通过角的和差关系求出∠ACB的度数。
【解析】
在$△ OAC$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB \quad (\mathrm{已知}) \\AC=BC \quad (\mathrm{已知}) \\OC=OC \quad (\mathrm{公共边相等})\end{cases}$
$\therefore △ OAC ≌ △ OBC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BCO = ∠ ACO = 30°$（全等三角形的对应角相等）
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACO + ∠ BCO = 30° + 30° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题关键是准确找到两个三角形的公共边，结合已知的边相等条件判定全等，进而得到等角计算结果，注重对基础判定定理和性质的考查。
【难度系数】
0.8
10.如图，以$△ ABC$的顶点$A$为圆心，以$BC$长为半径作弧，再以顶点$C$为圆心，以$AB$长为半径作弧，两弧交于点$D$，连接$AD$，$CD$.若$∠ B=65°$，则$∠ ADC$的大小为$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
10.65
解析
【分析】
首先分析作图过程的几何意义：以A为圆心BC长为半径作弧，可得到AD=BC；以C为圆心AB长为半径作弧，可得到CD=AB。观察△ABC和△CDA，已有两组边对应相等，再加上两个三角形的公共边AC，即可用“边边边”判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等，就能求出∠ADC的度数。
【解析】
解：由作图可知，$AD=BC$，$CD=AB$。
在$△ ABC$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}AB=CD\\BC=DA\\AC=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CDA$（SSS）
$\therefore ∠ ADC = ∠ B = 65°$
【答案】
65
【知识点】
尺规作图的含义、SSS判定全等、全等三角形的性质
【点评】
本题的解题关键是读懂尺规作图得到的边相等的条件，结合公共边证明三角形全等，再利用全等的性质求角度，是对全等基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
首先分析作图过程的几何意义：以A为圆心BC长为半径作弧，可得到AD=BC；以C为圆心AB长为半径作弧，可得到CD=AB。观察△ABC和△CDA，已有两组边对应相等，再加上两个三角形的公共边AC，即可用“边边边”判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等，就能求出∠ADC的度数。
【解析】
解：由作图可知，$AD=BC$，$CD=AB$。
在$△ ABC$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}AB=CD\\BC=DA\\AC=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CDA$（SSS）
$\therefore ∠ ADC = ∠ B = 65°$
【答案】
65
【知识点】
尺规作图的含义、SSS判定全等、全等三角形的性质
【点评】
本题的解题关键是读懂尺规作图得到的边相等的条件，结合公共边证明三角形全等，再利用全等的性质求角度，是对全等基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
11.工人师傅常用角尺平分一个任意角.作法如下:如图所示,$∠ AOB$是一个任意角,在边$OA$,$OB$上分别取$OM=ON$,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与$M$,$N$重合.过角尺顶点$C$作射线$OC$.由作法得$△ MOC ≌ △ NOC$的依据是
SSS
,射线$OC$是$∠ AOB$的平分线的依据是全等三角形的对应角相等
.答案
11.SSS,全等三角形的对应角相等
解析
【分析】
首先梳理题中给出的操作条件：第一，作图时在OA、OB上分别取OM=ON，得到第一组相等的边；第二，移动角尺使两边相同刻度分别与M、N重合，说明角尺上CM和CN的长度相等，得到第二组相等的边；第三，△MOC和△NOC有公共边OC，得到第三组相等的边。三组边对应相等即可判定两个三角形全等，对应判定定理为SSS。要说明OC是角平分线，需证明∠AOC=∠BOC，这两个角是全等三角形的对应角，因此依据全等三角形对应角相等的性质即可推导得出。
【解析】
在$△ MOC$和$△ NOC$中：
$\begin{cases}OM=ON（由作图作法可得）\\CM=CN（角尺相同刻度对应长度相等）\\OC=OC（公共边）\end{cases}$
因此$△ MOC ≌ △ NOC$（SSS）。
根据全等三角形的性质，两个三角形全等则对应角相等，可得$∠ MOC=∠ NOC$，即射线OC平分$∠ AOB$，因此射线OC是$∠ AOB$的平分线的依据是全等三角形的对应角相等。
【答案】
SSS，全等三角形的对应角相等
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合生活实际操作场景，考查三角形全等的判定及性质的应用，解题关键是从操作步骤中提取出相等的边这一有效条件，属于基础类题目，重在考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.85
首先梳理题中给出的操作条件：第一，作图时在OA、OB上分别取OM=ON，得到第一组相等的边；第二，移动角尺使两边相同刻度分别与M、N重合，说明角尺上CM和CN的长度相等，得到第二组相等的边；第三，△MOC和△NOC有公共边OC，得到第三组相等的边。三组边对应相等即可判定两个三角形全等，对应判定定理为SSS。要说明OC是角平分线，需证明∠AOC=∠BOC，这两个角是全等三角形的对应角，因此依据全等三角形对应角相等的性质即可推导得出。
【解析】
在$△ MOC$和$△ NOC$中：
$\begin{cases}OM=ON（由作图作法可得）\\CM=CN（角尺相同刻度对应长度相等）\\OC=OC（公共边）\end{cases}$
因此$△ MOC ≌ △ NOC$（SSS）。
根据全等三角形的性质，两个三角形全等则对应角相等，可得$∠ MOC=∠ NOC$，即射线OC平分$∠ AOB$，因此射线OC是$∠ AOB$的平分线的依据是全等三角形的对应角相等。
【答案】
SSS，全等三角形的对应角相等
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合生活实际操作场景，考查三角形全等的判定及性质的应用，解题关键是从操作步骤中提取出相等的边这一有效条件，属于基础类题目，重在考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.85
12.雨伞的截图如图所示，伞背$AB=AC$，支撑杆$OE=OF$，$AE=\frac{1}{4}AB$，$AF=\frac{1}{4}AC$，当$O$沿$AD$滑动时，雨伞开闭。问：雨伞开闭过程中，$∠ BEO$与$∠ CFO$有何关系？请说明理由。
答案
12.$∠BEO=∠CFO$
解析
【分析】
要判断∠BEO与∠CFO的数量关系，可先推导两角邻补角的关系：首先根据AB=AC及AE、AF与AB、AC的数量关系，可得AE=AF；再结合已知OE=OF，公共边AO，可通过SSS判定△AEO≌△AFO，得到对应角∠AEO=∠AFO；最后根据等角的补角相等，即可推出∠BEO与∠CFO的关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠BEO=∠CFO}$，理由如下：
∵ $AB=AC$，$AE=\frac{1}{4}AB$，$AF=\frac{1}{4}AC$
∴ $AE=AF$
在$△ AEO$和$△ AFO$中：
$\begin{cases}AE=AF \\OE=OF \\AO=AO \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ AEO≌△ AFO$（SSS）
∴ $∠AEO=∠AFO$
∵ $∠AEO + ∠BEO = 180°$，$∠AFO + ∠CFO = 180°$
∴ $∠BEO=∠CFO$（等角的补角相等）
【答案】
$∠BEO=∠CFO$
【知识点】
三角形全等的判定（SSS）、全等三角形的性质、补角的性质
【点评】
本题结合生活中雨伞开闭的实际场景，考查全等三角形的判定与性质、补角性质的应用，解题的关键是从已知条件中挖掘出相等线段，构造全等三角形，再结合补角性质推导待求角的关系。
【难度系数】
0.7
要判断∠BEO与∠CFO的数量关系，可先推导两角邻补角的关系：首先根据AB=AC及AE、AF与AB、AC的数量关系，可得AE=AF；再结合已知OE=OF，公共边AO，可通过SSS判定△AEO≌△AFO，得到对应角∠AEO=∠AFO；最后根据等角的补角相等，即可推出∠BEO与∠CFO的关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠BEO=∠CFO}$，理由如下：
∵ $AB=AC$，$AE=\frac{1}{4}AB$，$AF=\frac{1}{4}AC$
∴ $AE=AF$
在$△ AEO$和$△ AFO$中：
$\begin{cases}AE=AF \\OE=OF \\AO=AO \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ AEO≌△ AFO$（SSS）
∴ $∠AEO=∠AFO$
∵ $∠AEO + ∠BEO = 180°$，$∠AFO + ∠CFO = 180°$
∴ $∠BEO=∠CFO$（等角的补角相等）
【答案】
$∠BEO=∠CFO$
【知识点】
三角形全等的判定（SSS）、全等三角形的性质、补角的性质
【点评】
本题结合生活中雨伞开闭的实际场景，考查全等三角形的判定与性质、补角性质的应用，解题的关键是从已知条件中挖掘出相等线段，构造全等三角形，再结合补角性质推导待求角的关系。
【难度系数】
0.7
