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1.若关于$x$的二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与$x$轴的交点坐标是$(-1,0)$和$(3,0)$，则关于$x$的一元二次方程$-x^2+mx+n=0$的解为（
A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=3$
D
）A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=3$
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。本题已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，只需提取交点的横坐标，就能得到对应方程的解，无需额外计算。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知：关于x的一元二次方程$-x^2+mx+n=0$的解，就是二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴交点的横坐标。
已知二次函数图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，两个交点的横坐标分别为-1、3，因此方程$-x^2+mx+n=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根这一核心关系，就能快速得到答案，无需复杂运算。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。本题已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，只需提取交点的横坐标，就能得到对应方程的解，无需额外计算。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知：关于x的一元二次方程$-x^2+mx+n=0$的解，就是二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴交点的横坐标。
已知二次函数图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，两个交点的横坐标分别为-1、3，因此方程$-x^2+mx+n=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根这一核心关系，就能快速得到答案，无需复杂运算。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，那么下列结论正确的是（
A.$ac＜0$
B.$b=2a$
C.$b^2-4ac＜0$
D.一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的近似解为$x_1≈-0.5,x_2≈3.2$
A
）A.$ac＜0$
B.$b=2a$
C.$b^2-4ac＜0$
D.一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的近似解为$x_1≈-0.5,x_2≈3.2$
答案
2.A
解析
【分析】解决这类二次函数图像与结论判断的问题，首先从图像提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点情况，再结合二次函数系数与图像的关系、根的对称性逐个判断选项：
1. 先由开口方向确定a的符号，由与y轴交点确定c的符号，判断A选项；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴$x=1$，推导b和a的关系，判断B选项；
3. 由抛物线与x轴的交点个数判断判别式符号，验证C选项；
4. 利用二次方程两根关于对称轴对称的性质，判断D选项的根是否符合。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由图像可知抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$ac＜0$，A正确。
选项B：抛物线对称轴为$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，并非$b=2a$，B错误。
选项C：由图像可知抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，C错误。
选项D：一元二次方程的两个根关于对称轴$x=1$对称，两根之和为$2×1=2$，若$x_1≈-0.5$，则另一个根应为$x_2=2 - (-0.5)=2.5$，和选项中的$x_2≈3.2$不符，D错误。
【答案】A
【知识点】二次函数图像与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】本题是二次函数的基础常考题，需要熟练掌握二次函数系数$a、b、c$与图像特征的对应关系，以及抛物线对称性的应用即可快速解题。
【难度系数】0.7
1. 先由开口方向确定a的符号，由与y轴交点确定c的符号，判断A选项；
2. 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴$x=1$，推导b和a的关系，判断B选项；
3. 由抛物线与x轴的交点个数判断判别式符号，验证C选项；
4. 利用二次方程两根关于对称轴对称的性质，判断D选项的根是否符合。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由图像可知抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$ac＜0$，A正确。
选项B：抛物线对称轴为$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，并非$b=2a$，B错误。
选项C：由图像可知抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，C错误。
选项D：一元二次方程的两个根关于对称轴$x=1$对称，两根之和为$2×1=2$，若$x_1≈-0.5$，则另一个根应为$x_2=2 - (-0.5)=2.5$，和选项中的$x_2≈3.2$不符，D错误。
【答案】A
【知识点】二次函数图像与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】本题是二次函数的基础常考题，需要熟练掌握二次函数系数$a、b、c$与图像特征的对应关系，以及抛物线对称性的应用即可快速解题。
【难度系数】0.7
3. 关于x的方程$ax^2 + bx + 8 = 0$的解是$x_1=2, x_2=4$，则抛物线$y=ax^2 + bx + 8$的对称轴是直线
x=3
。（第2题）答案
3.$x=3$
解析
【分析】
我们知道一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此本题中抛物线与x轴的两个交点坐标为(2,0)、(4,0)。抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，我们只需计算两个交点横坐标的平均值，即可得到对称轴对应的直线方程。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$ax^2 + bx + 8 = 0$的解是$x_1=2, x_2=4$，
∴ 抛物线$y=ax^2 + bx + 8$与x轴的两个交点坐标为$(2,0)$和$(4,0)$。
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴ 对称轴的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+4}{2}=3$，
即抛物线的对称轴是直线$x=3$。
也可通过公式推导验证：由韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2+4=6$，结合抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=\frac{6}{2}=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数对称轴公式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，利用抛物线的对称性或对称轴公式都可快速得出结果，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
我们知道一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此本题中抛物线与x轴的两个交点坐标为(2,0)、(4,0)。抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，我们只需计算两个交点横坐标的平均值，即可得到对称轴对应的直线方程。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$ax^2 + bx + 8 = 0$的解是$x_1=2, x_2=4$，
∴ 抛物线$y=ax^2 + bx + 8$与x轴的两个交点坐标为$(2,0)$和$(4,0)$。
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴ 对称轴的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+4}{2}=3$，
即抛物线的对称轴是直线$x=3$。
也可通过公式推导验证：由韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2+4=6$，结合抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=\frac{6}{2}=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数对称轴公式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，利用抛物线的对称性或对称轴公式都可快速得出结果，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
4.若抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴只有一个交点，且过点$A(m,n)$，$B(m-2,n)$，则$n=$
1
。答案
4.1
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：①首先根据抛物线与x轴只有一个交点，可得判别式Δ=0，从而得到b和c的关系；②再根据A、B两点纵坐标相同，可知两点关于抛物线对称轴对称，先求出两点的对称轴，结合抛物线对称轴公式得到m和b的关系；③最后将点A代入抛物线解析式，把m、c都用含b的式子替换，化简后即可求出n的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4×1× c = 0$，即$c = \frac{b^2}{4}$ ①。
∵点$A(m,n)$，$B(m-2,n)$的纵坐标相同，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，两点的对称轴为$x = \frac{m + (m - 2)}{2} = m - 1$。
又
∵抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2}$，
∴$m - 1 = -\frac{b}{2}$，整理得$m = 1 - \frac{b}{2}$ ②。
将点$A(m,n)$代入抛物线解析式得：$n = m^2 + bm + c$，
把①②代入上式：
$n = (1 - \frac{b}{2})^2 + b(1 - \frac{b}{2}) + \frac{b^2}{4}$
$= 1 - b + \frac{b^2}{4} + b - \frac{b^2}{2} + \frac{b^2}{4}$
$= 1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的综合基础题，核心是利用抛物线的对称性和判别式建立参数之间的关系，通过代入化简消去参数得到结果，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步梳理：①首先根据抛物线与x轴只有一个交点，可得判别式Δ=0，从而得到b和c的关系；②再根据A、B两点纵坐标相同，可知两点关于抛物线对称轴对称，先求出两点的对称轴，结合抛物线对称轴公式得到m和b的关系；③最后将点A代入抛物线解析式，把m、c都用含b的式子替换，化简后即可求出n的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4×1× c = 0$，即$c = \frac{b^2}{4}$ ①。
∵点$A(m,n)$，$B(m-2,n)$的纵坐标相同，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，两点的对称轴为$x = \frac{m + (m - 2)}{2} = m - 1$。
又
∵抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2}$，
∴$m - 1 = -\frac{b}{2}$，整理得$m = 1 - \frac{b}{2}$ ②。
将点$A(m,n)$代入抛物线解析式得：$n = m^2 + bm + c$，
把①②代入上式：
$n = (1 - \frac{b}{2})^2 + b(1 - \frac{b}{2}) + \frac{b^2}{4}$
$= 1 - b + \frac{b^2}{4} + b - \frac{b^2}{2} + \frac{b^2}{4}$
$= 1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的综合基础题，核心是利用抛物线的对称性和判别式建立参数之间的关系，通过代入化简消去参数得到结果，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
5.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在二次函数$y=x^2+mx+n$的图象上,当$x_1=1$,$x_2=3$时,$y_1=y_2$.
(1)求$m$的值.
(2)若抛物线与$x$轴只有一个公共点,求$n$的值.
(1)求$m$的值.
(2)若抛物线与$x$轴只有一个公共点,求$n$的值.
答案
5.(1)点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在二次函数$y=x^2+mx+n$的图象上，$\because$当$x_1=1,x_2=3$时,$y_1=y_2$，$\therefore 1+m+n=9+3m+n$，$\therefore m=-4$
(2)$\because$抛物线与$x$轴只有一个公共点,$\therefore \Delta=m^2-4n=0$,即$16-4n=0$,$\therefore n=4$
(2)$\because$抛物线与$x$轴只有一个公共点,$\therefore \Delta=m^2-4n=0$,即$16-4n=0$,$\therefore n=4$
解析
【分析】
（1）已知点A、B均在二次函数图象上，且当x₁=1、x₂=3时y₁=y₂，可将两个点的横坐标分别代入二次函数解析式，利用y₁=y₂的等量关系列方程，消去n后就能求出m的值；也可根据二次函数的对称性，纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合对称轴公式计算m，两种方法均符合当前学段知识要求。（2）抛物线与x轴只有一个公共点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式Δ=0，代入第一问求出的m值即可计算n的值。
【解析】
(1)
∵点$A(1,y_1),B(3,y_2)$在二次函数$y=x^2+mx+n$的图象上，且$y_1=y_2$
∴将$x=1$、$x=3$分别代入解析式可得：
$1^2 + m×1 + n = 3^2 + m×3 + n$
化简得：$1+m+n=9+3m+n$
移项合并同类项得：$-2m=8$
解得：$m=-4$
(2)
∵抛物线$y=x^2+mx+n$与x轴只有一个公共点
∴对应一元二次方程$x^2+mx+n=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$
$\Delta = m^2 - 4×1× n = 0$
将$m=-4$代入得：$(-4)^2 - 4n = 0$
即$16-4n=0$
解得：$n=4$
【答案】
(1) $m=-4$；(2) $n=4$
【知识点】
二次函数的性质，根的判别式，二次函数与x轴的交点
【点评】
本题为二次函数基础题型，解题核心是掌握二次函数图象上点的坐标满足函数解析式，以及二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，计算量小，思路明确。
【难度系数】
0.8
（1）已知点A、B均在二次函数图象上，且当x₁=1、x₂=3时y₁=y₂，可将两个点的横坐标分别代入二次函数解析式，利用y₁=y₂的等量关系列方程，消去n后就能求出m的值；也可根据二次函数的对称性，纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合对称轴公式计算m，两种方法均符合当前学段知识要求。（2）抛物线与x轴只有一个公共点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式Δ=0，代入第一问求出的m值即可计算n的值。
【解析】
(1)
∵点$A(1,y_1),B(3,y_2)$在二次函数$y=x^2+mx+n$的图象上，且$y_1=y_2$
∴将$x=1$、$x=3$分别代入解析式可得：
$1^2 + m×1 + n = 3^2 + m×3 + n$
化简得：$1+m+n=9+3m+n$
移项合并同类项得：$-2m=8$
解得：$m=-4$
(2)
∵抛物线$y=x^2+mx+n$与x轴只有一个公共点
∴对应一元二次方程$x^2+mx+n=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$
$\Delta = m^2 - 4×1× n = 0$
将$m=-4$代入得：$(-4)^2 - 4n = 0$
即$16-4n=0$
解得：$n=4$
【答案】
(1) $m=-4$；(2) $n=4$
【知识点】
二次函数的性质，根的判别式，二次函数与x轴的交点
【点评】
本题为二次函数基础题型，解题核心是掌握二次函数图象上点的坐标满足函数解析式，以及二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，计算量小，思路明确。
【难度系数】
0.8
