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14. 用代数式表示下列数量关系：
（1）比a与b的差的一半小1的数；
（2）某服装原价为a元，降价10%后的价格是多少元？
（3）某种苹果的售价是每千克x元，用面值100元的人民币购买了5千克，应找回多少元？
（1）比a与b的差的一半小1的数；
（2）某服装原价为a元，降价10%后的价格是多少元？
（3）某种苹果的售价是每千克x元，用面值100元的人民币购买了5千克，应找回多少元？
答案
14. (1) $\dfrac{1}{2}(a-b)-1$ (2) $0.9a$ 元 (3) $(100-5x)$元
解析
【分析】
解决列代数式问题的核心是理清运算顺序和对应数量关系：
（1）按照题干描述的运算优先级思考：先计算a与b的差，再求差的一半，最后减去1即可得到所求的数；
（2）降价10%意味着现价是原价的（1-10%），用原价乘这个占比就能得到降价后的价格；
（3）先计算购买5千克苹果的总花费，再用100元减去总花费，就是应找回的钱数，注意代数式后带单位时，若代数式为和差形式需要加括号。
【解析】
（1）先求a与b的差：$a-b$，再求差的一半：$\dfrac{1}{2}(a-b)$，比这个结果小1即减去1，可得代数式：$\dfrac{1}{2}(a-b)-1$；
（2）降价10%后价格占原价的比例为$1-10\%=0.9$，原价为a元，因此降价后的价格为$a×0.9=0.9a$元；
（3）每千克苹果售价x元，购买5千克的总花费为$5× x=5x$元，用100元支付，应找回的金额为$(100-5x)$元。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}(a-b)-1$ (2) $0.9a$元 (3) $(100-5x)$元
【知识点】
列代数式，百分数的应用，代数式书写规范
【点评】
本题是基础题型，重点考查对数量关系的梳理能力和代数式的规范书写能力，解题的关键是准确把握运算的先后顺序，涉及带单位的代数式时，若代数式为加减形式需要加括号后再标注单位。
【难度系数】
0.9
解决列代数式问题的核心是理清运算顺序和对应数量关系：
（1）按照题干描述的运算优先级思考：先计算a与b的差，再求差的一半，最后减去1即可得到所求的数；
（2）降价10%意味着现价是原价的（1-10%），用原价乘这个占比就能得到降价后的价格；
（3）先计算购买5千克苹果的总花费，再用100元减去总花费，就是应找回的钱数，注意代数式后带单位时，若代数式为和差形式需要加括号。
【解析】
（1）先求a与b的差：$a-b$，再求差的一半：$\dfrac{1}{2}(a-b)$，比这个结果小1即减去1，可得代数式：$\dfrac{1}{2}(a-b)-1$；
（2）降价10%后价格占原价的比例为$1-10\%=0.9$，原价为a元，因此降价后的价格为$a×0.9=0.9a$元；
（3）每千克苹果售价x元，购买5千克的总花费为$5× x=5x$元，用100元支付，应找回的金额为$(100-5x)$元。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}(a-b)-1$ (2) $0.9a$元 (3) $(100-5x)$元
【知识点】
列代数式，百分数的应用，代数式书写规范
【点评】
本题是基础题型，重点考查对数量关系的梳理能力和代数式的规范书写能力，解题的关键是准确把握运算的先后顺序，涉及带单位的代数式时，若代数式为加减形式需要加括号后再标注单位。
【难度系数】
0.9
15. 如图,将边长为a的小正方形和边长为b的大正方形放在同一平面上$(b＞a)$. (写最简结果)
(1) 用$a,b$表示阴影部分的面积
(2) 当$a=2,b=3$时,求阴影部分面积.
(3) 试说明:白色部分面积与$a$的大小无关.
(1) 用$a,b$表示阴影部分的面积
$\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab$
.(2) 当$a=2,b=3$时,求阴影部分面积.
(3) 试说明:白色部分面积与$a$的大小无关.
答案
15. (1) $\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab$.
(2) 当$a=2,b=3$时,$\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×9+\dfrac{1}{2}×4+\dfrac{1}{2}×2×3=9.5$.
(3) 说明白色部分的面积为$\dfrac{1}{2}a(b-a)+a^2+b^2-(\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab)=\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}a^2+a^2+b^2-\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}b^2$. $\therefore$白色部分面积与$a$的大小无关.
(2) 当$a=2,b=3$时,$\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×9+\dfrac{1}{2}×4+\dfrac{1}{2}×2×3=9.5$.
(3) 说明白色部分的面积为$\dfrac{1}{2}a(b-a)+a^2+b^2-(\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab)=\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}a^2+a^2+b^2-\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}b^2$. $\therefore$白色部分面积与$a$的大小无关.
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用拆分法：将阴影拆分为3个规则三角形，分别计算面积后求和即可。①小正方形内的阴影三角形底和高均为a；②大正方形右上角的阴影三角形底和高均为b；③剩余阴影三角形底为a、高为b。
(2) 第二问属于代数式求值，直接将a=2、b=3代入第一问得到的代数式计算即可。
(3) 第三问先求出整个图形的总面积，再用总面积减去阴影部分面积得到白色部分面积，对结果化简后，若表达式不含a，即可说明白色面积与a无关。
【解析】
(1) 分别计算三部分阴影面积再求和：
小正方形内阴影三角形面积：$\frac{1}{2} × a × a = \frac{1}{2}a^2$
大正方形右上角阴影三角形面积：$\frac{1}{2} × b × b = \frac{1}{2}b^2$
剩余阴影三角形面积：$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$
因此阴影部分总面积为$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$。
(2) 将$a=2,b=3$代入上述代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{阴影面积}&=\frac{1}{2}×3^2+\frac{1}{2}×2^2+\frac{1}{2}×2×3\\&=\frac{9}{2}+\frac{4}{2}+3\\&=4.5+2+3\\&=9.5\end{aligned}$
(3) 整个图形的总面积为两个正方形面积加左上角小三角形面积，即$a^2+b^2+\frac{1}{2}a(b-a)$。
白色部分面积 = 总面积 - 阴影面积，代入化简：
$\begin{aligned}\mathrm{白色面积}&=a^2+b^2+\frac{1}{2}a(b-a)-(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab)\\&=a^2+b^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
化简后的结果仅含b，不含a，因此白色部分面积与a的大小无关。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}ab}$
(2) $\boldsymbol{9.5}$
(3) 白色部分面积化简后为$\dfrac{1}{2}b^2$，不含参数$a$，故与$a$的大小无关。
【知识点】
列代数式；代数式求值；整式的加减
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，结合整式加减运算考察化简能力，需要注意拆分图形时不要漏算、多算面积。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积可采用拆分法：将阴影拆分为3个规则三角形，分别计算面积后求和即可。①小正方形内的阴影三角形底和高均为a；②大正方形右上角的阴影三角形底和高均为b；③剩余阴影三角形底为a、高为b。
(2) 第二问属于代数式求值，直接将a=2、b=3代入第一问得到的代数式计算即可。
(3) 第三问先求出整个图形的总面积，再用总面积减去阴影部分面积得到白色部分面积，对结果化简后，若表达式不含a，即可说明白色面积与a无关。
【解析】
(1) 分别计算三部分阴影面积再求和：
小正方形内阴影三角形面积：$\frac{1}{2} × a × a = \frac{1}{2}a^2$
大正方形右上角阴影三角形面积：$\frac{1}{2} × b × b = \frac{1}{2}b^2$
剩余阴影三角形面积：$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$
因此阴影部分总面积为$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$。
(2) 将$a=2,b=3$代入上述代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{阴影面积}&=\frac{1}{2}×3^2+\frac{1}{2}×2^2+\frac{1}{2}×2×3\\&=\frac{9}{2}+\frac{4}{2}+3\\&=4.5+2+3\\&=9.5\end{aligned}$
(3) 整个图形的总面积为两个正方形面积加左上角小三角形面积，即$a^2+b^2+\frac{1}{2}a(b-a)$。
白色部分面积 = 总面积 - 阴影面积，代入化简：
$\begin{aligned}\mathrm{白色面积}&=a^2+b^2+\frac{1}{2}a(b-a)-(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab)\\&=a^2+b^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
化简后的结果仅含b，不含a，因此白色部分面积与a的大小无关。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}ab}$
(2) $\boldsymbol{9.5}$
(3) 白色部分面积化简后为$\dfrac{1}{2}b^2$，不含参数$a$，故与$a$的大小无关。
【知识点】
列代数式；代数式求值；整式的加减
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是用割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，结合整式加减运算考察化简能力，需要注意拆分图形时不要漏算、多算面积。
【难度系数】
0.7
16. 如图是一个长方形休闲区，长$2x$ m，宽$x$ m.其中：两个半圆形为休息区，直径为$\frac{1}{2}x$ m，长方形内有一块小长方形娱乐区，长$x$ m，宽$\frac{1}{3}x$ m，其他的地方都是绿化草地.
（1）用代数式表示绿化草地的面积(结果保留π)；
（2）当$x=12$时，求绿化草地的面积(π取3).
（1）用代数式表示绿化草地的面积(结果保留π)；
（2）当$x=12$时，求绿化草地的面积(π取3).
答案
16. (1) 由题意,得绿化草地的面积为 $2x × x-\dfrac{1}{3}x × x-π × (\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}x)^2=(\dfrac{5}{3}x^2-\dfrac{1}{16}π x^2)\mathrm{m}^2$.
(2) 把 $x=12$ 代入,$\dfrac{5}{3}x^2-\dfrac{1}{16}π x^2=\dfrac{5}{3}×12^2-\dfrac{1}{16}×3×12^2=213(\mathrm{m}^2)$.
(2) 把 $x=12$ 代入,$\dfrac{5}{3}x^2-\dfrac{1}{16}π x^2=\dfrac{5}{3}×12^2-\dfrac{1}{16}×3×12^2=213(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
要计算绿化草地的面积，可采用“总面积减去非绿化区域面积”的思路：整个休闲区是大长方形，非绿化区域包含小长方形娱乐区和两个半圆形休息区，两个直径相同的半圆可拼成一个完整的圆，能简化计算。第一问先分别求出大长方形、娱乐区、休息区的面积，再用大长方形面积减去后两者的面积，即可得到绿化面积的代数式；第二问将$x=12$、$π=3$代入第一问的代数式，按有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
（1）分别计算各部分面积：
大长方形休闲区面积：$2x × x = 2x^2$（$\mathrm{m}^2$）
娱乐区（小长方形）面积：$x × \frac{1}{3}x = \frac{1}{3}x^2$（$\mathrm{m}^2$）
两个半圆形休息区直径均为$\frac{1}{2}x$，可拼成1个整圆，圆的半径为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x$，休息区总面积为：$π × (\frac{1}{4}x)^2 = \frac{1}{16}π x^2$（$\mathrm{m}^2$）
因此绿化草地面积为：
$2x^2 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{16}π x^2 = (\frac{5}{3}x^2 - \frac{1}{16}π x^2)\mathrm{m}^2$
（2）当$x=12$，$π=3$时，代入上述代数式：
$\frac{5}{3}x^2 - \frac{1}{16}π x^2 = \frac{5}{3} × 12^2 - \frac{1}{16} × 3 × 12^2$
$= \frac{5}{3} × 144 - \frac{1}{16} × 3 × 144$
$= 240 - 27$
$= 213$（$\mathrm{m}^2$）
【答案】
（1）$(\dfrac{5}{3}x^2-\dfrac{1}{16}π x^2)\mathrm{m}^2$
（2）$213\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的常规题型，解题核心是将不规则的绿化面积转化为规则图形面积的和差运算，利用两个等直径半圆可合并为整圆的技巧能简化计算，代入求值时要遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序。
【难度系数】
0.7
要计算绿化草地的面积，可采用“总面积减去非绿化区域面积”的思路：整个休闲区是大长方形，非绿化区域包含小长方形娱乐区和两个半圆形休息区，两个直径相同的半圆可拼成一个完整的圆，能简化计算。第一问先分别求出大长方形、娱乐区、休息区的面积，再用大长方形面积减去后两者的面积，即可得到绿化面积的代数式；第二问将$x=12$、$π=3$代入第一问的代数式，按有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
（1）分别计算各部分面积：
大长方形休闲区面积：$2x × x = 2x^2$（$\mathrm{m}^2$）
娱乐区（小长方形）面积：$x × \frac{1}{3}x = \frac{1}{3}x^2$（$\mathrm{m}^2$）
两个半圆形休息区直径均为$\frac{1}{2}x$，可拼成1个整圆，圆的半径为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x$，休息区总面积为：$π × (\frac{1}{4}x)^2 = \frac{1}{16}π x^2$（$\mathrm{m}^2$）
因此绿化草地面积为：
$2x^2 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{16}π x^2 = (\frac{5}{3}x^2 - \frac{1}{16}π x^2)\mathrm{m}^2$
（2）当$x=12$，$π=3$时，代入上述代数式：
$\frac{5}{3}x^2 - \frac{1}{16}π x^2 = \frac{5}{3} × 12^2 - \frac{1}{16} × 3 × 12^2$
$= \frac{5}{3} × 144 - \frac{1}{16} × 3 × 144$
$= 240 - 27$
$= 213$（$\mathrm{m}^2$）
【答案】
（1）$(\dfrac{5}{3}x^2-\dfrac{1}{16}π x^2)\mathrm{m}^2$
（2）$213\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的常规题型，解题核心是将不规则的绿化面积转化为规则图形面积的和差运算，利用两个等直径半圆可合并为整圆的技巧能简化计算，代入求值时要遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序。
【难度系数】
0.7
