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11.【跨学科情境】如图，垂直放置在平面上的物体AB经凸透镜折射后在光屏上成倒立放大的实像CD，点E，F为焦点，AC，AG，GC是光线的光路图，若∠BOA=15°，∠BFG=40°，则∠ACG的度数为
$25°$
。答案
11.$25°$
解析
【分析】首先结合凸透镜的光学性质，明确过光心的光线传播方向不变，因此A、O、C三点共线，可得∠COF与∠BOA是对顶角，求出∠COF的度数；同时平行于主光轴的光线经折射后过焦点，因此G、F、C三点共线，可知∠BFG是△COF的外角，最后利用三角形外角的性质即可计算出∠ACG的度数。
【解析】
解：由凸透镜的光学性质可知：
①过光心的光线传播方向不变，因此A、O、C三点共线，直线AC与主光轴BD交于点O，根据对顶角相等，得$∠ COF = ∠ BOA = 15°$；
②平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，因此G、F、C三点共线，$∠ BFG$是$△ COF$的外角。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ BFG = ∠ COF + ∠ ACG$
将$∠ BFG=40°$，$∠ COF=15°$代入得：
$∠ ACG = ∠ BFG - ∠ COF = 40° - 15° = 25°$
【答案】$25°$
【知识点】对顶角相等；三角形外角的性质
【点评】本题融合了物理凸透镜成像的光学知识与几何角度计算，解题的关键是结合跨学科知识梳理清楚各角的位置关系，再利用三角形外角性质求解，考查了知识的综合应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
解：由凸透镜的光学性质可知：
①过光心的光线传播方向不变，因此A、O、C三点共线，直线AC与主光轴BD交于点O，根据对顶角相等，得$∠ COF = ∠ BOA = 15°$；
②平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，因此G、F、C三点共线，$∠ BFG$是$△ COF$的外角。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ BFG = ∠ COF + ∠ ACG$
将$∠ BFG=40°$，$∠ COF=15°$代入得：
$∠ ACG = ∠ BFG - ∠ COF = 40° - 15° = 25°$
【答案】$25°$
【知识点】对顶角相等；三角形外角的性质
【点评】本题融合了物理凸透镜成像的光学知识与几何角度计算，解题的关键是结合跨学科知识梳理清楚各角的位置关系，再利用三角形外角性质求解，考查了知识的综合应用能力。
【难度系数】0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=32°$，将$△ ABC$沿直线$m$翻折，点$B$落在点$D$的位置，则$∠ 1 - ∠ 2=$
64
°。答案
12.64
解析
【分析】
首先回忆翻折的性质：翻折前后对应角相等，可得$∠ D=∠ B=32°$；再结合三角形外角的性质，找到$∠ 1$、$∠ 2$与$∠ B$、$∠ D$的数量关系，通过等量代换即可求出$∠ 1-∠ 2$的度数。思考时先找已知角和未知角的关联，利用外角性质作为桥梁建立等式，最终消去公共角得到所求差值。
【解析】
解：设直线$m$与$AB$交于点$P$，与$BC$交于点$Q$。
根据翻折的性质，翻折前后对应角相等，因此$∠ D=∠ B=32°$。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ 1$是$△ BPQ$的外角，因此$∠ 1 = ∠ B + ∠ BQP$；
$∠ BQP$是$△ DQC$的外角，因此$∠ BQP = ∠ 2 + ∠ D$。
将$∠ BQP = ∠ 2 + ∠ D$代入$∠ 1 = ∠ B + ∠ BQP$中，得：
$∠ 1 = ∠ B + ∠ 2 + ∠ D$
把$∠ D=∠ B=32°$代入上式：
$∠ 1 = 32° + ∠ 2 + 32°$
移项可得：$∠ 1 - ∠ 2 = 32°+32°=64°$
【答案】
$64$
【知识点】
翻折的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用翻折得到等角，再通过外角性质建立不同角之间的数量关系，熟练掌握相关性质就能快速求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆翻折的性质：翻折前后对应角相等，可得$∠ D=∠ B=32°$；再结合三角形外角的性质，找到$∠ 1$、$∠ 2$与$∠ B$、$∠ D$的数量关系，通过等量代换即可求出$∠ 1-∠ 2$的度数。思考时先找已知角和未知角的关联，利用外角性质作为桥梁建立等式，最终消去公共角得到所求差值。
【解析】
解：设直线$m$与$AB$交于点$P$，与$BC$交于点$Q$。
根据翻折的性质，翻折前后对应角相等，因此$∠ D=∠ B=32°$。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ 1$是$△ BPQ$的外角，因此$∠ 1 = ∠ B + ∠ BQP$；
$∠ BQP$是$△ DQC$的外角，因此$∠ BQP = ∠ 2 + ∠ D$。
将$∠ BQP = ∠ 2 + ∠ D$代入$∠ 1 = ∠ B + ∠ BQP$中，得：
$∠ 1 = ∠ B + ∠ 2 + ∠ D$
把$∠ D=∠ B=32°$代入上式：
$∠ 1 = 32° + ∠ 2 + 32°$
移项可得：$∠ 1 - ∠ 2 = 32°+32°=64°$
【答案】
$64$
【知识点】
翻折的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是利用翻折得到等角，再通过外角性质建立不同角之间的数量关系，熟练掌握相关性质就能快速求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
13.(玉林名山中学单元卷)如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$于点$D$,$BE$平分$∠ ABC$,已知$∠ ABC=64°,∠ AEB=70°$.
(1)求$∠ CAD$的度数;
(2)若$F$为线段$BC$上的任意一点,当$△ EFC$为直角三角形时,求$∠ BEF$的度数.
(1)求$∠ CAD$的度数;
(2)若$F$为线段$BC$上的任意一点,当$△ EFC$为直角三角形时,求$∠ BEF$的度数.
答案
13.(1)解:
∵ BE 平分$∠ABC,∠ABC=64°$,
∴ $∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC=32°$,
∴ $∠C=∠AEB-∠EBC=38°$.
∵ $AD ⊥ BC$,
∴ $∠ADC = 90°$,
∴ $∠CAD=90°-∠C=52°$.
(2)分两种情况：
① 如图 1, 当 $∠EFC = 90°$ 时,
$∠BEF=90°-∠EBC=58°$;
② 如图 2, 当 $∠FEC = 90°$ 时, $∠BEF=180°-∠AEB-∠FEC=20°$.
综上所述,$∠BEF$ 的度数为 $58°$或$20°$.
解析
【分析】
(1) 求解∠CAD需先算出∠C的度数：首先根据角平分线的定义，由BE平分∠ABC可求出∠EBC的度数；再利用三角形外角的性质，∠AEB是△BEC的外角，等于不相邻两内角∠EBC与∠C的和，即可求出∠C；最后结合AD⊥BC，△ADC为直角三角形，两锐角互余，用90°减去∠C就能得到∠CAD的度数。
(2) △EFC为直角三角形时，直角顶点不唯一，需分类讨论：①当直角顶点为F即∠EFC=90°时，△BEF为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BEF；②当直角顶点为E即∠FEC=90°时，根据平角为180°，减去已知的∠AEB和∠FEC即可求出∠BEF，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 解:
∵ BE 平分$∠ABC,∠ABC=64°$,
∴ $∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC=32°$,
∵ $∠AEB$是$△ BEC$的外角，
∴ $∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°$.
∵ $AD ⊥ BC$,
∴ $∠ADC = 90°$,
∴ $∠CAD=90°-∠C=90°-38°=52°$.
(2) 分两种情况：
① 如图 1, 当 $∠EFC = 90°$ 时,
$∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°$;
② 如图 2, 当 $∠FEC = 90°$ 时, $∠BEF=180°-∠AEB-∠FEC=180°-70°-90°=20°$.
综上所述,$∠BEF$ 的度数为 $58°$或$20°$.
【答案】
(1) $∠CAD=52°$；
(2)
$∠BEF$的度数为$58°$或$20°$。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的典型综合题，考查了三角形相关的基础性质，第二问需要对直角顶点的位置进行分类讨论，是本题的易错点，能有效锻炼学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠CAD需先算出∠C的度数：首先根据角平分线的定义，由BE平分∠ABC可求出∠EBC的度数；再利用三角形外角的性质，∠AEB是△BEC的外角，等于不相邻两内角∠EBC与∠C的和，即可求出∠C；最后结合AD⊥BC，△ADC为直角三角形，两锐角互余，用90°减去∠C就能得到∠CAD的度数。
(2) △EFC为直角三角形时，直角顶点不唯一，需分类讨论：①当直角顶点为F即∠EFC=90°时，△BEF为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BEF；②当直角顶点为E即∠FEC=90°时，根据平角为180°，减去已知的∠AEB和∠FEC即可求出∠BEF，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 解:
∵ BE 平分$∠ABC,∠ABC=64°$,
∴ $∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC=32°$,
∵ $∠AEB$是$△ BEC$的外角，
∴ $∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°$.
∵ $AD ⊥ BC$,
∴ $∠ADC = 90°$,
∴ $∠CAD=90°-∠C=90°-38°=52°$.
(2) 分两种情况：
① 如图 1, 当 $∠EFC = 90°$ 时,
$∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°$;
② 如图 2, 当 $∠FEC = 90°$ 时, $∠BEF=180°-∠AEB-∠FEC=180°-70°-90°=20°$.
综上所述,$∠BEF$ 的度数为 $58°$或$20°$.
【答案】
(1) $∠CAD=52°$；
(2)
$∠BEF$的度数为$58°$或$20°$。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的典型综合题，考查了三角形相关的基础性质，第二问需要对直角顶点的位置进行分类讨论，是本题的易错点，能有效锻炼学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
1. 如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点.若∠B+∠C=64°,∠D=70°,则∠1+∠2的度数为（
A.44°
B.46°
C.48°
D.50°
B
）A.44°
B.46°
C.48°
D.50°
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再通过作辅助线延长AD，结合三角形外角的性质，推导出∠1、∠2与∠BAC、∠D的数量关系，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：1. 求∠BAC的度数
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠B+∠C=64°，因此：
$∠ BAC = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - 64° = 116°$
2. 推导角的数量关系
连接AD并延长至点G，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ EAG = ∠ 1 + ∠ ADE$，$∠ FAG = ∠ 2 + ∠ ADF$
将两式相加：$∠ EAG + ∠ FAG = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ ADE + ∠ ADF$
其中$∠ EAG + ∠ FAG = ∠ EAF = ∠ BAC = 116°$，$∠ ADE + ∠ ADF = ∠ D = 70°$，代入得：
$116° = ∠1 + ∠2 + 70°$
3. 计算∠1+∠2的度数
$∠1 + ∠2 = 116° - 70° = 46°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，核心是熟练运用三角形内角和与外角性质，通过作辅助线的方法将分散的角建立联系，也可以直接利用飞镖模型的结论快速解题，平时学习中要注意积累常见的几何模型，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再通过作辅助线延长AD，结合三角形外角的性质，推导出∠1、∠2与∠BAC、∠D的数量关系，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：1. 求∠BAC的度数
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠B+∠C=64°，因此：
$∠ BAC = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - 64° = 116°$
2. 推导角的数量关系
连接AD并延长至点G，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ EAG = ∠ 1 + ∠ ADE$，$∠ FAG = ∠ 2 + ∠ ADF$
将两式相加：$∠ EAG + ∠ FAG = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ ADE + ∠ ADF$
其中$∠ EAG + ∠ FAG = ∠ EAF = ∠ BAC = 116°$，$∠ ADE + ∠ ADF = ∠ D = 70°$，代入得：
$116° = ∠1 + ∠2 + 70°$
3. 计算∠1+∠2的度数
$∠1 + ∠2 = 116° - 70° = 46°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，核心是熟练运用三角形内角和与外角性质，通过作辅助线的方法将分散的角建立联系，也可以直接利用飞镖模型的结论快速解题，平时学习中要注意积累常见的几何模型，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
2.如图，已知四边形ABDC，求证：$∠ BDC = ∠ BAC + ∠ B + ∠ C$. 
答案
2. 证明:如图
,连接AD并延长,∵∠2=∠1+∠B,∠4=∠3+∠C,
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
解析
【分析】
要证明∠BDC等于另外三个角的和，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。观察现有图形没有直接可用的外角，因此通过作辅助线构造外角：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个角，这两个角分别是△ABD和△ACD的外角，分别用外角性质写出等量关系，再将两个等式相加整理，即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：如图，连接AD并延长。
根据三角形外角的性质可得：
∠2是△ABD的外角，因此$∠ 2=∠ 1+∠ B$；
∠4是△ACD的外角，因此$∠ 4=∠ 3+∠ C$。
将上述两个等式左右两边分别相加，得：
$∠ 2+∠ 4=∠ 1+∠ B+∠ 3+∠ C$
又$∠ 2+∠ 4=∠ BDC$，$∠ 1+∠ 3=∠ BAC$，代入得：
$∠ BDC=∠ BAC+∠ B+∠ C$，原式得证。
【答案】
证明:如图,连接AD并延长,
∵∠2=∠1+∠B,∠4=∠3+∠C,
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角的和差运算
3. 辅助线构造
【点评】
本题是三角形外角性质的典型应用，对应的模型为“飞镖模型”，通过构造辅助线拆分待求角，将分散的角通过外角性质关联起来，是解决此类角度和问题的常用思路，需熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
要证明∠BDC等于另外三个角的和，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。观察现有图形没有直接可用的外角，因此通过作辅助线构造外角：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个角，这两个角分别是△ABD和△ACD的外角，分别用外角性质写出等量关系，再将两个等式相加整理，即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：如图
，连接AD并延长。根据三角形外角的性质可得：
∠2是△ABD的外角，因此$∠ 2=∠ 1+∠ B$；
∠4是△ACD的外角，因此$∠ 4=∠ 3+∠ C$。
将上述两个等式左右两边分别相加，得：
$∠ 2+∠ 4=∠ 1+∠ B+∠ 3+∠ C$
又$∠ 2+∠ 4=∠ BDC$，$∠ 1+∠ 3=∠ BAC$，代入得：
$∠ BDC=∠ BAC+∠ B+∠ C$，原式得证。
【答案】
证明:如图
,连接AD并延长,∵∠2=∠1+∠B,∠4=∠3+∠C,
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角的和差运算
3. 辅助线构造
【点评】
本题是三角形外角性质的典型应用，对应的模型为“飞镖模型”，通过构造辅助线拆分待求角，将分散的角通过外角性质关联起来，是解决此类角度和问题的常用思路，需熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
3.如图，$∠ α$的度数是 （
A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
第3题图 第4题图
A
）A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
第3题图 第4题图
答案
3. A
解析
【分析】
观察图形可知两个三角形存在一组相等的对顶角，结合三角形内角和为180°，可得两个三角形中除对顶角外的其余两个内角的和相等，据此建立等式即可求出∠α的度数。
【解析】
设两个三角形的一组对顶角分别为∠1、∠2，根据对顶角的性质可得∠1=∠2。
由三角形内角和定理可知：
在含30°、20°角的三角形中，$30°+20°+∠1=180°$；
在含40°、∠α的三角形中，$40°+∠α+∠2=180°$。
因为∠1=∠2，所以$30°+20°=40°+∠α$，
计算得$∠α=50°-40°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是利用“对顶三角形”的角度等量关系求解，熟练掌握三角形内角和与对顶角的性质即可快速得出答案，也可以直接记住“对顶三角形中两组非对顶角的和相等”这一结论提高解题效率。
【难度系数】
0.8
观察图形可知两个三角形存在一组相等的对顶角，结合三角形内角和为180°，可得两个三角形中除对顶角外的其余两个内角的和相等，据此建立等式即可求出∠α的度数。
【解析】
设两个三角形的一组对顶角分别为∠1、∠2，根据对顶角的性质可得∠1=∠2。
由三角形内角和定理可知：
在含30°、20°角的三角形中，$30°+20°+∠1=180°$；
在含40°、∠α的三角形中，$40°+∠α+∠2=180°$。
因为∠1=∠2，所以$30°+20°=40°+∠α$，
计算得$∠α=50°-40°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是利用“对顶三角形”的角度等量关系求解，熟练掌握三角形内角和与对顶角的性质即可快速得出答案，也可以直接记住“对顶三角形中两组非对顶角的和相等”这一结论提高解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD。若∠B=34°，∠D=42°，则∠M=（
A.34°
B.38°
C.40°
D.42°
B
）A.34°
B.38°
C.40°
D.42°
答案
4. B
解析
【分析】
本题是角度计算类题型，解题思路如下：首先根据角平分线的定义，将被平分的角设为参数，简化角的表示；再利用“对顶角相等”和“三角形内角和为180°”，分别在两组对顶三角形中建立角度等量关系；最后将两个等量关系相加消去参数，即可推导出∠M和∠B、∠D的关系，代入数值计算即可。
【解析】
设$∠ BAM=∠ MAD=x$，$∠ BCM=∠ MCD=y$。
根据对顶角相等和三角形内角和定理：
在$AB$与$CM$相交形成的对顶三角形中，$∠ B + ∠ BAM = ∠ M + ∠ BCM$，即：
$34° + x = ∠ M + y$ ①
在$AD$与$CM$相交形成的对顶三角形中，$∠ D + ∠ DCM = ∠ M + ∠ DAM$，即：
$42° + y = ∠ M + x$ ②
将①+②得：$34° + x + 42° + y = ∠ M + y + ∠ M + x$
消去$x$、$y$后得：$34° + 42° = 2∠ M$
解得：$∠ M = \frac{34° + 42°}{2} = 38°$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的典型题型，解题核心是通过设参数表示相等的角，结合对顶角和三角形内角和建立等量关系，消元后直接推导所求角的大小，避免了复杂的角度拆分计算，熟练掌握该方法可快速解决同类型的交叉三角形角度计算问题。
【难度系数】
0.7
本题是角度计算类题型，解题思路如下：首先根据角平分线的定义，将被平分的角设为参数，简化角的表示；再利用“对顶角相等”和“三角形内角和为180°”，分别在两组对顶三角形中建立角度等量关系；最后将两个等量关系相加消去参数，即可推导出∠M和∠B、∠D的关系，代入数值计算即可。
【解析】
设$∠ BAM=∠ MAD=x$，$∠ BCM=∠ MCD=y$。
根据对顶角相等和三角形内角和定理：
在$AB$与$CM$相交形成的对顶三角形中，$∠ B + ∠ BAM = ∠ M + ∠ BCM$，即：
$34° + x = ∠ M + y$ ①
在$AD$与$CM$相交形成的对顶三角形中，$∠ D + ∠ DCM = ∠ M + ∠ DAM$，即：
$42° + y = ∠ M + x$ ②
将①+②得：$34° + x + 42° + y = ∠ M + y + ∠ M + x$
消去$x$、$y$后得：$34° + 42° = 2∠ M$
解得：$∠ M = \frac{34° + 42°}{2} = 38°$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的典型题型，解题核心是通过设参数表示相等的角，结合对顶角和三角形内角和建立等量关系，消元后直接推导所求角的大小，避免了复杂的角度拆分计算，熟练掌握该方法可快速解决同类型的交叉三角形角度计算问题。
【难度系数】
0.7
