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1. 如果$\sin 30° = \cos A$，那么锐角$∠ A$的度数是（
A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$20°$
A
）A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
1.A 解析:
∵ $\sin 30° = \frac{1}{2}$,$\cos 60° = \frac{1}{2}$, 又
∵ $∠ A$ 为锐角,
∴ $∠ A=60°$. 故选 A.
∵ $\sin 30° = \frac{1}{2}$,$\cos 60° = \frac{1}{2}$, 又
∵ $∠ A$ 为锐角,
∴ $∠ A=60°$. 故选 A.
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路一，先回忆特殊角的正弦值，算出$\sin30°$的具体数值，再匹配对应数值的锐角余弦值即可得到角A的度数；思路二，利用互余角的三角函数关系“一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”，直接推导角A的度数，两种方法均为基础解法，可按需选择。
【解析】
已知$\sin30°=\frac{1}{2}$，结合题意可得$\cos A=\frac{1}{2}$。
因为$∠ A$为锐角，且$\cos60°=\frac{1}{2}$，因此$∠ A=60°$。
也可利用互余角性质推导：对任意锐角$α$，都有$\sinα=\cos(90°-α)$，因此$\sin30°=\cos(90°-30°)=\cos60°=\cos A$，因A为锐角，故$∠ A=60°$。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；互余角的三角函数关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及对互余角三角函数性质的理解，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题可从两种思路入手：思路一，先回忆特殊角的正弦值，算出$\sin30°$的具体数值，再匹配对应数值的锐角余弦值即可得到角A的度数；思路二，利用互余角的三角函数关系“一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”，直接推导角A的度数，两种方法均为基础解法，可按需选择。
【解析】
已知$\sin30°=\frac{1}{2}$，结合题意可得$\cos A=\frac{1}{2}$。
因为$∠ A$为锐角，且$\cos60°=\frac{1}{2}$，因此$∠ A=60°$。
也可利用互余角性质推导：对任意锐角$α$，都有$\sinα=\cos(90°-α)$，因此$\sin30°=\cos(90°-30°)=\cos60°=\cos A$，因A为锐角，故$∠ A=60°$。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；互余角的三角函数关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及对互余角三角函数性质的理解，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，下列各式成立的是（
A.$b=a\sin B$
B.$a=b\cos B$
C.$a=b\tan B$
D.$b=a\tan B$
D
）A.$b=a\sin B$
B.$a=b\cos B$
C.$a=b\tan B$
D.$b=a\tan B$
答案
2.D 解析: 在 $△ ABC$ 中,∠C=90°,c 为斜边,a 为∠A 的对边,b 为∠B 的对边,对∠B,有 $\tan B = \frac{b}{a}$,则 $b=a\tan B$.故选 D.
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的辨析题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中∠B的对边、邻边、斜边分别对应哪条边：∠C=90°，所以斜边为c，∠B的对边是b，邻边是a；第二步回忆锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，将各选项中的三角函数转化为边的比例关系，再变形后和选项对比即可判断正误。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的对边为b，邻边为a，斜边为c，根据锐角三角函数的定义：
1. 对选项A：$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形得$b=c\sin B$，与A选项$b=a\sin B$不符，故A错误；
2. 对选项B：$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，变形得$a=c\cos B$，与B选项$a=b\cos B$不符，故B错误；
3. 对选项C、D：$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$，变形得$b=a\tan B$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数定义的理解，解题的关键是准确区分每个锐角对应的对边、邻边，避免混淆边的对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中锐角三角函数的辨析题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中∠B的对边、邻边、斜边分别对应哪条边：∠C=90°，所以斜边为c，∠B的对边是b，邻边是a；第二步回忆锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，将各选项中的三角函数转化为边的比例关系，再变形后和选项对比即可判断正误。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的对边为b，邻边为a，斜边为c，根据锐角三角函数的定义：
1. 对选项A：$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形得$b=c\sin B$，与A选项$b=a\sin B$不符，故A错误；
2. 对选项B：$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，变形得$a=c\cos B$，与B选项$a=b\cos B$不符，故B错误；
3. 对选项C、D：$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$，变形得$b=a\tan B$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数定义的理解，解题的关键是准确区分每个锐角对应的对边、邻边，避免混淆边的对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，则下列结论中正确的是（
A.$\sin A=\frac{1}{2}$
B.$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\tan B=2$
D
）A.$\sin A=\frac{1}{2}$
B.$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\tan B=2$
答案
3.D 解析: 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$,对∠B,对边为 AC,邻边为 BC,则 $\tan B = \frac{AC}{BC}=2$.故选 D.
解析
【分析】
这是一道直角三角形中锐角三角函数的判断题，解题思路如下：首先根据已知的两条直角边的比值，采用设参数的方法表示出两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度；接下来根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项中对应的三角函数值，逐一判断选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
设$BC=k$，由$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$可得$AC=2k$。
$\because ∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5}k$。
逐一判断选项：
A选项：$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}≠\frac{1}{2}$，故A错误；
B选项：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}}{5}$，故B错误；
C选项：$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}}{5}$，故C错误；
D选项：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2k}{k}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，通过设参数的方式可快速求出各边长度，解题时需注意区分不同锐角对应的对边和邻边，避免因混淆边的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
这是一道直角三角形中锐角三角函数的判断题，解题思路如下：首先根据已知的两条直角边的比值，采用设参数的方法表示出两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度；接下来根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项中对应的三角函数值，逐一判断选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
设$BC=k$，由$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$可得$AC=2k$。
$\because ∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5}k$。
逐一判断选项：
A选项：$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}≠\frac{1}{2}$，故A错误；
B选项：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}}{5}$，故B错误；
C选项：$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}}{5}$，故C错误；
D选项：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2k}{k}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，通过设参数的方式可快速求出各边长度，解题时需注意区分不同锐角对应的对边和邻边，避免因混淆边的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
4. 已知$\cos α=\dfrac{3}{4}$，则锐角$α$的取值范围是（
A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
B
）A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
答案
4.B 解析:
∵ $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}≈0.866$,$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≈0.707$,$\frac{3}{4}=0.75$,且锐角的余弦值随角度增大而减小,
∴ $30°＜α＜45°$. 故选 B.
∵ $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}≈0.866$,$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}≈0.707$,$\frac{3}{4}=0.75$,且锐角的余弦值随角度增大而减小,
∴ $30°＜α＜45°$. 故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确两个核心解题依据：一是30°、45°等特殊锐角的余弦值，二是锐角余弦值的变化规律。首先将已知的$\cosα=\frac{3}{4}$转化为小数，再和特殊角的余弦值比较大小，最后结合“锐角的余弦值随角度增大而减小”的规律，即可反推出$α$的取值范围。
【解析】
先计算各特殊角余弦值和已知值的近似值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\frac{3}{4}=0.75$，
可得大小关系：$\cos30°＞\cosα＞\cos45°$，
又因为锐角的余弦值随角度增大而减小，
因此角度的大小关系为：$30°＜α＜45°$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，同时准确区分锐角正弦、余弦函数的增减性，避免混淆规律导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确两个核心解题依据：一是30°、45°等特殊锐角的余弦值，二是锐角余弦值的变化规律。首先将已知的$\cosα=\frac{3}{4}$转化为小数，再和特殊角的余弦值比较大小，最后结合“锐角的余弦值随角度增大而减小”的规律，即可反推出$α$的取值范围。
【解析】
先计算各特殊角余弦值和已知值的近似值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\frac{3}{4}=0.75$，
可得大小关系：$\cos30°＞\cosα＞\cos45°$，
又因为锐角的余弦值随角度增大而减小，
因此角度的大小关系为：$30°＜α＜45°$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，同时准确区分锐角正弦、余弦函数的增减性，避免混淆规律导致判断错误。
【难度系数】
0.7
5. ★★ (2024·自贡中考)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°，则新钢架减少用钢 (
)
A.$(24-12\sqrt{3})$ m
B.$(24-8\sqrt{3})$ m
C.$(24-6\sqrt{3})$ m
D.$(24-4\sqrt{3})$ m
)A.$(24-12\sqrt{3})$ m
B.$(24-8\sqrt{3})$ m
C.$(24-6\sqrt{3})$ m
D.$(24-4\sqrt{3})$ m
答案
5.D 解析:
∵ 在等边 $△ABC$ 中,$CD ⊥ AB$ 于点 D,AB 长12 m,
∴ $AD = BD = \frac{1}{2} AB = 6$ m.
∵ $∠BED=60°$,
∴ $\tan 60°= \frac{BD}{DE}=\sqrt{3}$,
∴ $DE=2\sqrt{3}$ m,
∴ $BE= \sqrt{DE^2+BD^2}=4\sqrt{3}$ m=$AE$.
∵ $∠CBD=60°$,
∴ $CD=BD · \tan∠CBD=\sqrt{3} BD=6\sqrt{3}$ m,$BC=AC=AB=12$ m,
∴ 新钢架减少用钢 $AC+BC+CD-AE-BE-DE=24+6\sqrt{3}-8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(24-4\sqrt{3})$m,故选 D.
∵ 在等边 $△ABC$ 中,$CD ⊥ AB$ 于点 D,AB 长12 m,
∴ $AD = BD = \frac{1}{2} AB = 6$ m.
∵ $∠BED=60°$,
∴ $\tan 60°= \frac{BD}{DE}=\sqrt{3}$,
∴ $DE=2\sqrt{3}$ m,
∴ $BE= \sqrt{DE^2+BD^2}=4\sqrt{3}$ m=$AE$.
∵ $∠CBD=60°$,
∴ $CD=BD · \tan∠CBD=\sqrt{3} BD=6\sqrt{3}$ m,$BC=AC=AB=12$ m,
∴ 新钢架减少用钢 $AC+BC+CD-AE-BE-DE=24+6\sqrt{3}-8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(24-4\sqrt{3})$m,故选 D.
解析
【分析】
要求新钢架减少的用钢量，只需计算原钢架总长度与新钢架总长度的差值即可。首先利用等边三角形的性质求出原钢架各段AC、BC、CD的长度，再根据直角三角形的边角关系求出新钢架各段AE、BE、DE的长度，最后作差即可得到结果。
【解析】
∵ 等边△ABC中，CD⊥AB，AB=12 m，
∴ 根据等边三角形三线合一的性质，得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=6$ m，$AC=BC=AB=12$ m。
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，
∴ $CD=BD·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ m，原钢架总长为$AC+BC+CD=12+12+6\sqrt{3}=24+6\sqrt{3}$ m。
∵ ED⊥AB且AD=BD，
∴ ED垂直平分AB，即$AE=BE$。
在Rt△BED中，∠BED=60°，
∴ $\tan60°=\frac{BD}{DE}$，即$\sqrt{3}=\frac{6}{DE}$，解得$DE=2\sqrt{3}$ m，
由勾股定理得$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=4\sqrt{3}$ m，因此$AE=BE=4\sqrt{3}$ m。
新钢架总长为$AE+BE+DE=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$ m。
∴ 减少的用钢量为$(24+6\sqrt{3})-10\sqrt{3}=(24-4\sqrt{3})$ m。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，解直角三角形，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何实际应用类基础题，解题核心是明确减少的用钢量为新旧钢架的长度差，解题过程中要熟练运用等边三角形性质和直角三角形的边角关系计算线段长度，计算根式时注意运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要求新钢架减少的用钢量，只需计算原钢架总长度与新钢架总长度的差值即可。首先利用等边三角形的性质求出原钢架各段AC、BC、CD的长度，再根据直角三角形的边角关系求出新钢架各段AE、BE、DE的长度，最后作差即可得到结果。
【解析】
∵ 等边△ABC中，CD⊥AB，AB=12 m，
∴ 根据等边三角形三线合一的性质，得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=6$ m，$AC=BC=AB=12$ m。
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，
∴ $CD=BD·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ m，原钢架总长为$AC+BC+CD=12+12+6\sqrt{3}=24+6\sqrt{3}$ m。
∵ ED⊥AB且AD=BD，
∴ ED垂直平分AB，即$AE=BE$。
在Rt△BED中，∠BED=60°，
∴ $\tan60°=\frac{BD}{DE}$，即$\sqrt{3}=\frac{6}{DE}$，解得$DE=2\sqrt{3}$ m，
由勾股定理得$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=4\sqrt{3}$ m，因此$AE=BE=4\sqrt{3}$ m。
新钢架总长为$AE+BE+DE=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$ m。
∴ 减少的用钢量为$(24+6\sqrt{3})-10\sqrt{3}=(24-4\sqrt{3})$ m。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，解直角三角形，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何实际应用类基础题，解题核心是明确减少的用钢量为新旧钢架的长度差，解题过程中要熟练运用等边三角形性质和直角三角形的边角关系计算线段长度，计算根式时注意运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6. ★★★(2026·北京模拟)如图,在矩形ABCD中,AB＞AD,按以下步骤作图:①以点A为圆心,AB长为半径画弧,交CD于点E,连接AE;②分别以点B,E为圆心,大于$\frac{1}{2}BE$长为半径画弧,两弧交于点F;③作射线AF,交BC于点G,连接EG,若AB=10,AD=5,则∠AGE的度数为(
A.$70°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$65°$
(第6题) (第7题)
B
)A.$70°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$65°$
(第6题) (第7题)
答案
6.B 解析: 如图所示,连接 BE,EF,BF,由作图方法可得 $AE=AB=10$,$EF=BF$,
∴ AF 垂直平分 BE,
∴ $EG=BG$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $CD=AB=10$,$AD=BC=5$,$∠D=∠DAB=∠ABC=90°$,
∴ $DE= \sqrt{AE^2-AD^2}=5\sqrt{3}$,
∴ $\tan∠DAE= \frac{DE}{AD}= \frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$,
∴ $∠DAE=60°$,
∴ $∠BAE=∠DAB-∠DAE=30°$.
∵ $AE=AB$,$AG=AG$,$EG=BG$,
∴ $△AEG ≅ △ABG (SSS)$,
∴ $∠AEG=∠ABG=90°$,$∠EAG=∠BAG= \frac{1}{2} ∠BAE=15°$,
∴ $∠AGE=90°-∠EAG=75°$.
解析
【分析】
解题时首先从作图步骤入手，先明确作图得到的边、角关系：第一步作弧得AE=AB，第二步的作图方法可知AF垂直平分BE，可得EG=BG，同时AF是∠BAE的角平分线。接下来结合矩形的性质，先在Rt△ADE中利用勾股定理求出DE的长度，通过特殊角的三角函数值求出∠DAE的度数，进而得到∠BAE的度数；再利用全等三角形的判定证明△AEG和△ABG全等，得到∠EAG的度数，最后在Rt△AEG中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AGE的度数。
【解析】
连接BE、EF、BF，由作图方法可得：$AE=AB=10$，$EF=BF$，
∴AF垂直平分BE，
∴$EG=BG$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$CD=AB=10$，$AD=BC=5$，$∠D=∠DAB=∠ABC=90°$，
在$Rt△ADE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$，
∴$\tan∠DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$，
∴$∠DAE=60°$，
∴$∠BAE=∠DAB-∠DAE=90°-60°=30°$。
在$△AEG$和$△ABG$中：
$\{\begin{array}{l}AE=AB\\EG=BG\\AG=AG\end{array} $
∴$△AEG≅△ABG(SSS)$，
∴$∠AEG=∠ABG=90°$，$∠EAG=∠BAG=\frac{1}{2}∠BAE=\frac{1}{2}×30°=15°$，
在$Rt△AEG$中，$∠AGE=90°-∠EAG=90°-15°=75°$。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图的应用，矩形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、勾股定理、特殊角的三角函数、全等三角形的性质等知识点，解题的关键是准确理解作图步骤得到对应的边和角的关系，再结合几何图形的性质逐步推导角度，注重对基础几何知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先从作图步骤入手，先明确作图得到的边、角关系：第一步作弧得AE=AB，第二步的作图方法可知AF垂直平分BE，可得EG=BG，同时AF是∠BAE的角平分线。接下来结合矩形的性质，先在Rt△ADE中利用勾股定理求出DE的长度，通过特殊角的三角函数值求出∠DAE的度数，进而得到∠BAE的度数；再利用全等三角形的判定证明△AEG和△ABG全等，得到∠EAG的度数，最后在Rt△AEG中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AGE的度数。
【解析】
连接BE、EF、BF，由作图方法可得：$AE=AB=10$，$EF=BF$，
∴AF垂直平分BE，
∴$EG=BG$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$CD=AB=10$，$AD=BC=5$，$∠D=∠DAB=∠ABC=90°$，
在$Rt△ADE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$，
∴$\tan∠DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$，
∴$∠DAE=60°$，
∴$∠BAE=∠DAB-∠DAE=90°-60°=30°$。
在$△AEG$和$△ABG$中：
$\{\begin{array}{l}AE=AB\\EG=BG\\AG=AG\end{array} $
∴$△AEG≅△ABG(SSS)$，
∴$∠AEG=∠ABG=90°$，$∠EAG=∠BAG=\frac{1}{2}∠BAE=\frac{1}{2}×30°=15°$，
在$Rt△AEG$中，$∠AGE=90°-∠EAG=90°-15°=75°$。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图的应用，矩形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、勾股定理、特殊角的三角函数、全等三角形的性质等知识点，解题的关键是准确理解作图步骤得到对应的边和角的关系，再结合几何图形的性质逐步推导角度，注重对基础几何知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
7. ★★★ (2024·巴中中考)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若$OA=1$,则$OG=(\quad)$
A.$\dfrac{125\sqrt{5}}{64}$
B.$\dfrac{125}{64}$
C.$\dfrac{64}{27}$
D.$\dfrac{32\sqrt{3}}{27}$
A.$\dfrac{125\sqrt{5}}{64}$
B.$\dfrac{125}{64}$
C.$\dfrac{64}{27}$
D.$\dfrac{32\sqrt{3}}{27}$
答案
7.C 解析:
∵ 题图由 12 个相似的直角三角形组成,
∴ $∠BOA=∠BOC=…= \frac{360°}{12}=30°$,$\frac{OA}{OB}= \frac{OB}{OC}= \frac{OC}{OD}=…= \cos 30°= \frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ $OA=1$,
∴ $OB= \frac{2\sqrt{3}}{3}=1× \frac{2\sqrt{3}}{3}$,$OC= \frac{4}{3}=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2$,$OD=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^3= \frac{8\sqrt{3}}{9}$,
∴ $OG=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^6= \frac{64}{27}$,故选 C.
∵ 题图由 12 个相似的直角三角形组成,
∴ $∠BOA=∠BOC=…= \frac{360°}{12}=30°$,$\frac{OA}{OB}= \frac{OB}{OC}= \frac{OC}{OD}=…= \cos 30°= \frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ $OA=1$,
∴ $OB= \frac{2\sqrt{3}}{3}=1× \frac{2\sqrt{3}}{3}$,$OC= \frac{4}{3}=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2$,$OD=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^3= \frac{8\sqrt{3}}{9}$,
∴ $OG=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^6= \frac{64}{27}$,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察图案特征：12个相似直角三角形共用顶点O，可先求出每个三角形的中心角大小；再结合直角三角形锐角三角函数的定义，得到相邻两条从O出发的线段的比例关系；接着归纳规律，得到从OA到OG需要乘该比例的次数，最后代入计算即可得到OG的长度。
【解析】
∵ 图案由12个相似的直角三角形组成，
∴ 每个三角形对应的中心角相等，即$∠BOA=∠BOC=…= \frac{360°}{12}=30°$，
且在每个直角三角形中，邻边与斜边的比值为$\frac{OA}{OB}= \frac{OB}{OC}= \frac{OC}{OD}=…= \cos 30°= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
由此可得相邻线段的关系：后一条线段长度 = 前一条线段长度$×\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
已知$OA=1$，
从OA到OG共有6个相邻线段间隔，因此：
$OG=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^6 = [ ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 ]^3 = ( \frac{4}{3} )^3 = \frac{64}{27}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、锐角三角函数的定义、幂的运算
【点评】
本题是结合图形规律的综合题，解题的核心是先求出相邻线段的比例系数，再准确找到目标线段与已知线段的间隔次数，同时在计算乘方时可先对底数平方消去根号，简化运算，考查学生的规律归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图案特征：12个相似直角三角形共用顶点O，可先求出每个三角形的中心角大小；再结合直角三角形锐角三角函数的定义，得到相邻两条从O出发的线段的比例关系；接着归纳规律，得到从OA到OG需要乘该比例的次数，最后代入计算即可得到OG的长度。
【解析】
∵ 图案由12个相似的直角三角形组成，
∴ 每个三角形对应的中心角相等，即$∠BOA=∠BOC=…= \frac{360°}{12}=30°$，
且在每个直角三角形中，邻边与斜边的比值为$\frac{OA}{OB}= \frac{OB}{OC}= \frac{OC}{OD}=…= \cos 30°= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
由此可得相邻线段的关系：后一条线段长度 = 前一条线段长度$×\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
已知$OA=1$，
从OA到OG共有6个相邻线段间隔，因此：
$OG=1×( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^6 = [ ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )^2 ]^3 = ( \frac{4}{3} )^3 = \frac{64}{27}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、锐角三角函数的定义、幂的运算
【点评】
本题是结合图形规律的综合题，解题的核心是先求出相邻线段的比例系数，再准确找到目标线段与已知线段的间隔次数，同时在计算乘方时可先对底数平方消去根号，简化运算，考查学生的规律归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
8. ★★★（广元中考）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于点P，则$\cos∠ APC$的值为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B
）A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
8.B 解析: 把 AB 向上平移一个单位长度到 DE,连接 CE,如图.则 $DE//AB$,
∴ $∠APC=∠EDC$. 在 $△DCE$ 中,有 $EC= \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,$DC= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,$DE= \sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴ $EC^2+DC^2=5+20=25=DE^2$,
∴ $△DCE$ 是直角三角形,且$∠DCE=90°$,
∴ $\cos∠APC=\cos∠EDC= \frac{DC}{DE}= \frac{2\sqrt{5}}{5}$.故选 B.
解析
【分析】
要求$\cos∠APC$的值，首先观察到$∠ APC$是网格中两条直线的夹角，没有在现成的直角三角形内，无法直接计算三角函数值。因此考虑使用平移法，平移线段AB，利用平行线的性质将$∠ APC$转化为与其相等的角，构造出包含该等角的三角形；再通过勾股定理计算三角形的三边长，用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后根据锐角余弦的定义计算对应余弦值即可。
【解析】
把AB向上平移1个单位长度到DE，连接CE，如图，则$DE// AB$，
$\therefore ∠APC=∠EDC$。
在$△ DCE$中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$DC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$DE=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore EC^2+DC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=DE^2$，
$\therefore △ DCE$是直角三角形，且$∠DCE=90°$，
$\therefore \cos∠APC=\cos∠EDC=\frac{DC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；勾股定理及逆定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数值的常见题型，解题关键是通过平移转化所求角，将问题转化为直角三角形中三角函数值的计算，考查了转化思想的应用，综合性适中。
【难度系数】
0.6
要求$\cos∠APC$的值，首先观察到$∠ APC$是网格中两条直线的夹角，没有在现成的直角三角形内，无法直接计算三角函数值。因此考虑使用平移法，平移线段AB，利用平行线的性质将$∠ APC$转化为与其相等的角，构造出包含该等角的三角形；再通过勾股定理计算三角形的三边长，用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后根据锐角余弦的定义计算对应余弦值即可。
【解析】
把AB向上平移1个单位长度到DE，连接CE，如图，则$DE// AB$，
$\therefore ∠APC=∠EDC$。
在$△ DCE$中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$DC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$DE=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore EC^2+DC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=DE^2$，
$\therefore △ DCE$是直角三角形，且$∠DCE=90°$，
$\therefore \cos∠APC=\cos∠EDC=\frac{DC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；勾股定理及逆定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数值的常见题型，解题关键是通过平移转化所求角，将问题转化为直角三角形中三角函数值的计算，考查了转化思想的应用，综合性适中。
【难度系数】
0.6
9. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,点$E$为$AC$上一点,且$AE:EC=3:1$,$EF ⊥ AB$于点$F$,连接$FC$,则$\tan∠ CFB$等于 (
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C
)A.$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
答案
9.C 解析: 如图,作 $CD ⊥ AB$,垂足为点 D,则 $EF//CD$,
∴ 设 $EC=x$,则 $AE=3x$,$\sin A=\sin 30°= \frac{EF}{AE}= \frac{1}{2}$,
∴ $EF= \frac{3}{2} x$.
∵ $\cos A=\cos 30°= \frac{AF}{AE}= \frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $AF= \frac{3\sqrt{3}}{2} x$.
∵ $EF//CD$,
∴ $\frac{AE}{EC}= \frac{AF}{FD}=3$,$\frac{AE}{AC}= \frac{EF}{CD}= \frac{3}{4}$,
∴ $FD= \frac{AF}{3}= \frac{\sqrt{3}}{2} x$,$CD= \frac{4}{3} EF=2x$,
∴ $\tan∠CFB= \frac{CD}{FD}= \frac{4\sqrt{3}}{3}$.故选 C.
解析
【分析】
要求$\tan∠ CFB$的值，正切值是直角三角形中对边与邻边的比值，因此我们可以过点$C$作$CD⊥ AB$于$D$，构造$\mathrm{Rt}△ CFD$，将求$\tan∠ CFB$转化为求$CD$与$FD$的比值。已知$EF⊥ AB$，可得$EF// CD$，结合$AE:EC=3:1$，可利用平行线分线段成比例得到线段间的比例关系；再结合$∠ A=30°$，通过锐角三角函数用参数表示出相关线段的长度，最终代入计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，作 $ CD ⊥ AB $，垂足为点 D，则 $ EF // CD $，
设 $ EC=x $，由 $ AE:EC=3:1 $ 得 $ AE=3x $。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ A=30°$：
$\sin A=\sin 30°= \frac{EF}{AE}= \frac{1}{2}$，
∴ $ EF= \frac{3}{2} x $。
∵ $\cos A=\cos 30°= \frac{AF}{AE}= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $ AF= \frac{3\sqrt{3}}{2} x $。
∵ $ EF//CD $，根据平行线分线段成比例：
$\frac{AE}{EC}= \frac{AF}{FD}=3$，$\frac{AE}{AC}= \frac{EF}{CD}= \frac{3}{4}$，
∴ $ FD= \frac{AF}{3}= \frac{\sqrt{3}}{2} x $，$ CD= \frac{4}{3} EF=2x $，
∴ $\tan∠ CFB= \frac{CD}{FD}= \frac{2x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 锐角三角函数
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合小题，解题的关键是通过作垂线构造含待求角的直角三角形，结合平行线分线段成比例定理和锐角三角函数的性质，用参数法表示线段长度简化计算，有效考查了学生的辅助线构造能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠ CFB$的值，正切值是直角三角形中对边与邻边的比值，因此我们可以过点$C$作$CD⊥ AB$于$D$，构造$\mathrm{Rt}△ CFD$，将求$\tan∠ CFB$转化为求$CD$与$FD$的比值。已知$EF⊥ AB$，可得$EF// CD$，结合$AE:EC=3:1$，可利用平行线分线段成比例得到线段间的比例关系；再结合$∠ A=30°$，通过锐角三角函数用参数表示出相关线段的长度，最终代入计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，作 $ CD ⊥ AB $，垂足为点 D，则 $ EF // CD $，
设 $ EC=x $，由 $ AE:EC=3:1 $ 得 $ AE=3x $。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ A=30°$：
$\sin A=\sin 30°= \frac{EF}{AE}= \frac{1}{2}$，
∴ $ EF= \frac{3}{2} x $。
∵ $\cos A=\cos 30°= \frac{AF}{AE}= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $ AF= \frac{3\sqrt{3}}{2} x $。
∵ $ EF//CD $，根据平行线分线段成比例：
$\frac{AE}{EC}= \frac{AF}{FD}=3$，$\frac{AE}{AC}= \frac{EF}{CD}= \frac{3}{4}$，
∴ $ FD= \frac{AF}{3}= \frac{\sqrt{3}}{2} x $，$ CD= \frac{4}{3} EF=2x $，
∴ $\tan∠ CFB= \frac{CD}{FD}= \frac{2x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 锐角三角函数
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合小题，解题的关键是通过作垂线构造含待求角的直角三角形，结合平行线分线段成比例定理和锐角三角函数的性质，用参数法表示线段长度简化计算，有效考查了学生的辅助线构造能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
10. （金华中考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以其三边为边在$AB$的同侧作三个正方形，点$F$在$GH$上，$CG$与$EF$交于点$P$，$CM$与$BE$交于点$Q$。若$HF=FG$，则$\frac{S_{\mathrm{四边形}PCQE}}{S_{\mathrm{正方形}ABEF}}$的值是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{12}$
D.$\frac{6}{25}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{12}$
D.$\frac{6}{25}$
答案
10.B 解析:
∵ 四边形 ACGH 是正方形,且 $HF=FG$,设 $HF=FG=a$,
∴ $AC=CG=GH=AH=2a$.
∵ 四边形 ABEF 是正方形,
∴ $∠AFP=90°$,
∴ $∠HAF=90°-∠HFA=∠GFP$,
∴ $\tan∠HAF=\tan∠GFP$,即 $\frac{HF}{HA}= \frac{GP}{FG}= \frac{1}{2}$,
∴ $GP= \frac{1}{2} a$,
∴ $PC=2a- \frac{1}{2} a= \frac{3}{2} a$,同理 $\tan∠HAF=\tan∠CAB$,即 $\frac{HF}{HA}= \frac{BC}{AC}= \frac{1}{2}$,
∴ $BC=a$,同理 $CQ= \frac{1}{2} a$,
∴ $PB= \frac{5}{2} a$,$BQ^2=a^2+( \frac{1}{2} a )^2= \frac{5}{4} a^2$,$S_{△BCQ}= \frac{1}{2} ×a× \frac{1}{2} a= \frac{1}{4} a^2$.
∵ $\mathrm{Rt}△BQC∽\mathrm{Rt}△BPE$,
∴ $\frac{S_{△BCQ}}{S_{△BEP}}=( \frac{BQ}{BP} )^2= \frac{\frac{5}{4}a^2}{\frac{25}{4}a^2}= \frac{1}{5}$,
∴ $S_{△BEP}=5S_{△BCQ}= \frac{5}{4} a^2$,
∴ $S_{四边形CQEP}=S_{△BEP}-S_{△BCQ}=a^2$.
∵ $S_{正方形ABEF}=AB^2=AC^2+BC^2=(2a)^2+a^2=5a^2$,
∴ $\frac{S_{四边形PCQE}}{S_{正方形ABEF}}= \frac{a^2}{5a^2}= \frac{1}{5}$,故选 B.
∵ 四边形 ACGH 是正方形,且 $HF=FG$,设 $HF=FG=a$,
∴ $AC=CG=GH=AH=2a$.
∵ 四边形 ABEF 是正方形,
∴ $∠AFP=90°$,
∴ $∠HAF=90°-∠HFA=∠GFP$,
∴ $\tan∠HAF=\tan∠GFP$,即 $\frac{HF}{HA}= \frac{GP}{FG}= \frac{1}{2}$,
∴ $GP= \frac{1}{2} a$,
∴ $PC=2a- \frac{1}{2} a= \frac{3}{2} a$,同理 $\tan∠HAF=\tan∠CAB$,即 $\frac{HF}{HA}= \frac{BC}{AC}= \frac{1}{2}$,
∴ $BC=a$,同理 $CQ= \frac{1}{2} a$,
∴ $PB= \frac{5}{2} a$,$BQ^2=a^2+( \frac{1}{2} a )^2= \frac{5}{4} a^2$,$S_{△BCQ}= \frac{1}{2} ×a× \frac{1}{2} a= \frac{1}{4} a^2$.
∵ $\mathrm{Rt}△BQC∽\mathrm{Rt}△BPE$,
∴ $\frac{S_{△BCQ}}{S_{△BEP}}=( \frac{BQ}{BP} )^2= \frac{\frac{5}{4}a^2}{\frac{25}{4}a^2}= \frac{1}{5}$,
∴ $S_{△BEP}=5S_{△BCQ}= \frac{5}{4} a^2$,
∴ $S_{四边形CQEP}=S_{△BEP}-S_{△BCQ}=a^2$.
∵ $S_{正方形ABEF}=AB^2=AC^2+BC^2=(2a)^2+a^2=5a^2$,
∴ $\frac{S_{四边形PCQE}}{S_{正方形ABEF}}= \frac{a^2}{5a^2}= \frac{1}{5}$,故选 B.
解析
【分析】
本题是几何综合类求面积比值的问题，解题时可先通过已知$HF=FG$设参数量化各边长度：首先利用正方形的性质得到相等的边和直角，再根据同角的余角相等推导角相等，借助三角函数值求出未知边的长度；接着找到图形中的相似三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相关三角形的面积，进而得到四边形$PCQE$的面积；最后用勾股定理求出正方形$ABEF$的面积，计算二者比值即可。
【解析】
解：设$HF=FG=a$，
∵四边形$ACGH$是正方形，
∴$AC=CG=GH=AH=2a$，$∠H=90°$。
∵四边形$ABEF$是正方形，
∴$AF=EF=BE=AB$，$∠AFE=∠E=90°$，
∴$∠HAF+∠HFA=90°$，$∠GFP+∠HFA=90°$，
∴$∠HAF=∠GFP$，
∴$\tan∠HAF=\tan∠GFP$，即$\frac{HF}{HA}=\frac{GP}{FG}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，
解得$GP=\frac{1}{2}a$，
∴$PC=CG-GP=2a-\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a$。
同理可得$∠HAF=∠CAB$，
∴$\tan∠CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，解得$BC=\frac{1}{2}AC=a$。
同理可证$∠CBQ=∠PEB$，得$CQ=\frac{1}{2}a$。
∴$BP=BC+PC=a+\frac{3}{2}a=\frac{5}{2}a$，$BQ=\sqrt{BC^2+CQ^2}=\sqrt{a^2+(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
$S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}× BC× CQ=\frac{1}{2}× a× \frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a^2$。
∵$∠BCQ=∠E=90°$，$∠CBQ=∠EBP$，
∴$\mathrm{Rt}△BQC∽\mathrm{Rt}△BPE$，
∴$\frac{S_{△ BCQ}}{S_{△ BEP}}=(\frac{BQ}{BP})^2=(\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}a}{\frac{5}{2}a})^2=\frac{1}{5}$，
∴$S_{△ BEP}=5S_{△ BCQ}=5×\frac{1}{4}a^2=\frac{5}{4}a^2$，
∴$S_{\mathrm{四边形}PCQE}=S_{△ BEP}-S_{△ BCQ}=\frac{5}{4}a^2-\frac{1}{4}a^2=a^2$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=(2a)^2+a^2=5a^2$，即$S_{\mathrm{正方形}ABEF}=5a^2$，
∴$\frac{S_{\mathrm{四边形}PCQE}}{S_{\mathrm{正方形}ABEF}}=\frac{a^2}{5a^2}=\frac{1}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了正方形、相似三角形、勾股定理的相关知识，解题的核心是合理设参数将未知边长量化，通过角的等量关系找到相似三角形，利用相似的性质求解面积，是几何综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题是几何综合类求面积比值的问题，解题时可先通过已知$HF=FG$设参数量化各边长度：首先利用正方形的性质得到相等的边和直角，再根据同角的余角相等推导角相等，借助三角函数值求出未知边的长度；接着找到图形中的相似三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相关三角形的面积，进而得到四边形$PCQE$的面积；最后用勾股定理求出正方形$ABEF$的面积，计算二者比值即可。
【解析】
解：设$HF=FG=a$，
∵四边形$ACGH$是正方形，
∴$AC=CG=GH=AH=2a$，$∠H=90°$。
∵四边形$ABEF$是正方形，
∴$AF=EF=BE=AB$，$∠AFE=∠E=90°$，
∴$∠HAF+∠HFA=90°$，$∠GFP+∠HFA=90°$，
∴$∠HAF=∠GFP$，
∴$\tan∠HAF=\tan∠GFP$，即$\frac{HF}{HA}=\frac{GP}{FG}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，
解得$GP=\frac{1}{2}a$，
∴$PC=CG-GP=2a-\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a$。
同理可得$∠HAF=∠CAB$，
∴$\tan∠CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，解得$BC=\frac{1}{2}AC=a$。
同理可证$∠CBQ=∠PEB$，得$CQ=\frac{1}{2}a$。
∴$BP=BC+PC=a+\frac{3}{2}a=\frac{5}{2}a$，$BQ=\sqrt{BC^2+CQ^2}=\sqrt{a^2+(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
$S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}× BC× CQ=\frac{1}{2}× a× \frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a^2$。
∵$∠BCQ=∠E=90°$，$∠CBQ=∠EBP$，
∴$\mathrm{Rt}△BQC∽\mathrm{Rt}△BPE$，
∴$\frac{S_{△ BCQ}}{S_{△ BEP}}=(\frac{BQ}{BP})^2=(\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}a}{\frac{5}{2}a})^2=\frac{1}{5}$，
∴$S_{△ BEP}=5S_{△ BCQ}=5×\frac{1}{4}a^2=\frac{5}{4}a^2$，
∴$S_{\mathrm{四边形}PCQE}=S_{△ BEP}-S_{△ BCQ}=\frac{5}{4}a^2-\frac{1}{4}a^2=a^2$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=(2a)^2+a^2=5a^2$，即$S_{\mathrm{正方形}ABEF}=5a^2$，
∴$\frac{S_{\mathrm{四边形}PCQE}}{S_{\mathrm{正方形}ABEF}}=\frac{a^2}{5a^2}=\frac{1}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了正方形、相似三角形、勾股定理的相关知识，解题的核心是合理设参数将未知边长量化，通过角的等量关系找到相似三角形，利用相似的性质求解面积，是几何综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
