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1. (2026·济南月考)二次函数$y=kx^2$与一次函数$y=kx+k(k≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (
C
)答案
1. C 解析:观察A和B选项,由二次函数的图象开口向上可知k＞0,
∴一次函数$y=kx+k$的图象应经过第一、二、三象限,故A,B选项错误,不符合题意;观察C和D选项,
∵二次函数的图象开口向下,
∴k＜0,
∴一次函数$y=kx+k$的图象应经过第二、三、四象限,故D选项错误,不符合题意,C选项正确,符合题意.故选C.
∴一次函数$y=kx+k$的图象应经过第一、二、三象限,故A,B选项错误,不符合题意;观察C和D选项,
∵二次函数的图象开口向下,
∴k＜0,
∴一次函数$y=kx+k$的图象应经过第二、三、四象限,故D选项错误,不符合题意,C选项正确,符合题意.故选C.
2.（湖州中考）已知$a,b$是非零实数，$|a|＞|b|$，在同一平面直角坐标系中，二次函数$y_1=ax^2+bx$与一次函数$y_2=ax+b$的大致图象不可能是（
D
）答案
2. D 解析:由$\begin{cases} y=ax^2+bx, \\ y=ax+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-\dfrac{b}{a}, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1, \\ y=a+b, \end{cases}$
∴函数$y=ax^2+bx$与$y=ax+b$图象的交点为$(-\dfrac{b}{a},0),(1,a+b)$.
在A中,由一次函数图象可知,a＞0,b＞0,由二次函数图象可知,a＞0,b＞0,则$-\dfrac{b}{a}＜0,a+b＞0$,故A有可能;在B中,由一次函数图象可知,a＞0,b＜0,由二次函数图象可知,a＞0,b＜0,由$|a|＞|b|$,则$a+b＞0,-\dfrac{b}{a}＞0$,故B有可能;在C中,由一次函数图象可知,a＜0,b＜0,由二次函数图象可知,a＜0,b＜0,则$a+b＜0,-\dfrac{b}{a}＜0$,故C有可能;在D中,由一次函数图象可知,a＜0,b＞0,由二次函数图象可知,a＜0,b＞0,由$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$,故D不可能.
∴函数$y=ax^2+bx$与$y=ax+b$图象的交点为$(-\dfrac{b}{a},0),(1,a+b)$.
在A中,由一次函数图象可知,a＞0,b＞0,由二次函数图象可知,a＞0,b＞0,则$-\dfrac{b}{a}＜0,a+b＞0$,故A有可能;在B中,由一次函数图象可知,a＞0,b＜0,由二次函数图象可知,a＞0,b＜0,由$|a|＞|b|$,则$a+b＞0,-\dfrac{b}{a}＞0$,故B有可能;在C中,由一次函数图象可知,a＜0,b＜0,由二次函数图象可知,a＜0,b＜0,则$a+b＜0,-\dfrac{b}{a}＜0$,故C有可能;在D中,由一次函数图象可知,a＜0,b＞0,由二次函数图象可知,a＜0,b＞0,由$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$,故D不可能.
3. 如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $ 为常数，$ a≠0 $）的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-\dfrac{3}{2},0) $，对称轴是直线 $ x = -\dfrac{1}{2} $，有以下结论：① $ abc ＜ 0 $；②若点 $ (-1,y_1) $ 和点 $ (2,y_2) $ 都在抛物线上，则 $ y_1 ＜ y_2 $；③ $ am^2 + bm ≤ \dfrac{1}{4}a - \dfrac{1}{2}b $（$ m $ 为任意实数）；④ $ 3a + 4c = 0 $。其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. B 解析:由题图可知,二次函数图象开口向下,与y轴正半轴交于一点,
∴a＜0,c＞0,
∵$-\dfrac{b}{2a}＜0$,
∴b＜0,
∴abc＞0,故①错误;
∵对称轴是直线$x=-\dfrac{1}{2}$,点$(-1,y_1)$和点$(2,y_2)$都在抛物线上,而$-\dfrac{1}{2}-(-1)=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}＜2-(-\dfrac{1}{2})=2\dfrac{1}{2}$,
∴$y_1＞y_2$,故②错误;当x=m时,$y=am^2+bm+c$,当$x=-\dfrac{1}{2}$时,函数取最大值$\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}b+c$,
∴对于任意实数m,有$am^2+bm+c ≤ \dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}b+c$,
∴$am^2+bm ≤ \dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}b$,故③正确;
∵$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}$,
∴b=a,当$x=-\dfrac{3}{2}$时,y=0,
∴$\dfrac{9}{4}a-\dfrac{3}{2}b+c=0$,
∴9a-6b+4c=0,即3a+4c=0,故④正确.综上所述,正确的有③④.故选B.
∴a＜0,c＞0,
∵$-\dfrac{b}{2a}＜0$,
∴b＜0,
∴abc＞0,故①错误;
∵对称轴是直线$x=-\dfrac{1}{2}$,点$(-1,y_1)$和点$(2,y_2)$都在抛物线上,而$-\dfrac{1}{2}-(-1)=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}＜2-(-\dfrac{1}{2})=2\dfrac{1}{2}$,
∴$y_1＞y_2$,故②错误;当x=m时,$y=am^2+bm+c$,当$x=-\dfrac{1}{2}$时,函数取最大值$\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}b+c$,
∴对于任意实数m,有$am^2+bm+c ≤ \dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}b+c$,
∴$am^2+bm ≤ \dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}b$,故③正确;
∵$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}$,
∴b=a,当$x=-\dfrac{3}{2}$时,y=0,
∴$\dfrac{9}{4}a-\dfrac{3}{2}b+c=0$,
∴9a-6b+4c=0,即3a+4c=0,故④正确.综上所述,正确的有③④.故选B.
4. (2024·日照中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$。对于下列结论：①$abc＜0$；②$a+c=b$；③多项式$ax^2+bx+c$可因式分解为$(x+1)(x-5)$；④当$m＞-9a$时，关于$x$的方程$ax^2+bx+c=m$无实数根。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. C 解析:由题图可知$a＜0,c＞0,-\dfrac{b}{2a}＞0$,
∴b＞0,
∴abc＜0,故①正确;当x=-1时,a-b+c=0,即a+c=b,故②正确;
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1,对称轴为直线x=2,
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为5,
∴多项式$ax^2+bx+c=a(x+1)(x-5)$,故③错误;
∵$-\dfrac{b}{2a}=2$,
∴b=-4a.
∵a+c=b,
∴c=-5a.
∵当x=2时,y有最大值,即y=4a+2b+c=4a-8a-5a=-9a,
∴当m＞-9a时,抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线y=m无交点,即关于x的方程$ax^2+bx+c=m$无实数根,故④正确.综上,①②④正确,共3个.
∴b＞0,
∴abc＜0,故①正确;当x=-1时,a-b+c=0,即a+c=b,故②正确;
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1,对称轴为直线x=2,
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为5,
∴多项式$ax^2+bx+c=a(x+1)(x-5)$,故③错误;
∵$-\dfrac{b}{2a}=2$,
∴b=-4a.
∵a+c=b,
∴c=-5a.
∵当x=2时,y有最大值,即y=4a+2b+c=4a-8a-5a=-9a,
∴当m＞-9a时,抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线y=m无交点,即关于x的方程$ax^2+bx+c=m$无实数根,故④正确.综上,①②④正确,共3个.
5. (2024·泰安中考)如图所示是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象，该函数图象的对称轴是直线$x=1$，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①$2a+b=0$；②方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在-2和-1之间；③方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根；④$b-a＜2$。其中，正确的结论有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. B 解析:
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴$-\dfrac{b}{2a}=1$,
∴b=-2a,
∴2a+b=0,故①正确;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在2,3之间,
∴与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在-1和0之间,故②错误;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=\dfrac{3}{2}$有两个交点,
∴方程$ax^2+bx+c-\dfrac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴a-b+c＜0,
∵图象与y轴交点的纵坐标是2,
∴c=2,
∴a-b+2＜0,
∴b-a＞2,故④错误.综上,①③正确,共2个.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴$-\dfrac{b}{2a}=1$,
∴b=-2a,
∴2a+b=0,故①正确;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在2,3之间,
∴与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在-1和0之间,故②错误;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=\dfrac{3}{2}$有两个交点,
∴方程$ax^2+bx+c-\dfrac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线与x轴的另一个交点在-1,0之间,
∴a-b+c＜0,
∵图象与y轴交点的纵坐标是2,
∴c=2,
∴a-b+2＜0,
∴b-a＞2,故④错误.综上,①③正确,共2个.
6. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示.下列结论:①$2a+b=0$;②$a+b+c＞0$;③方程$ax^2+bx+c=a$有两个不相等的实数根;④不等式$a(x+1)^2+b(x+1)+c＜0$的解集是$-2＜x＜2$.其中所有正确结论的序号是
①③④
.答案
6. ①③④ 解析:
∵二次函数与x轴交于(-1,0),(3,0),
∴对称轴为直线$x=\dfrac{-1+3}{2}=1$,
∴$-\dfrac{b}{2a}=1$,
∴b=-2a,即2a+b=0,故①正确;
∵当x=1时,y＜0,
∴a+b+c＜0,故②错误;
∵二次函数图象开口向上,
∴a＞0,由函数图象可知,二次函数图象与直线y=a有两个不同的交点,
∴方程$ax^2+bx+c=a$有两个不相等的实数根,故③正确;由函数图象可知,当-1＜x＜3时,y＜0,
∴当$a(x+1)^2+b(x+1)+c＜0$时,有-1＜x+1＜3,
∴-2＜x＜2,故④正确.故答案为①③④.
∵二次函数与x轴交于(-1,0),(3,0),
∴对称轴为直线$x=\dfrac{-1+3}{2}=1$,
∴$-\dfrac{b}{2a}=1$,
∴b=-2a,即2a+b=0,故①正确;
∵当x=1时,y＜0,
∴a+b+c＜0,故②错误;
∵二次函数图象开口向上,
∴a＞0,由函数图象可知,二次函数图象与直线y=a有两个不同的交点,
∴方程$ax^2+bx+c=a$有两个不相等的实数根,故③正确;由函数图象可知,当-1＜x＜3时,y＜0,
∴当$a(x+1)^2+b(x+1)+c＜0$时,有-1＜x+1＜3,
∴-2＜x＜2,故④正确.故答案为①③④.
