登录
1[中]在同一坐标系中,一次函数$y=ax+a$和二次函数$y=-ax^2+3x+2$($a$是常数,且$a≠0$)的图象可能是 (
D
)答案
1.D 【解析】A选项，由一次函数$y=ax+a$的图象可得$a＜0$，则$-a＞0$，此时二次函数$y=-ax^2+3x+2$的图象应该开口向上，故错误；B选项，由一次函数$y=ax+a$的图象可得$a＜0$，则$-a＞0$，此时二次函数$y=-ax^2+3x+2$的图象应该开口向上，对称轴在$y$轴的左侧，故错误；C选项，由一次函数$y=ax+a$的图象可得$a＞0$，则$-a＜0$，此时二次函数$y=-ax^2+3x+2$的图象应该开口向下，故错误；D选项，由一次函数$y=ax+a$的图象可得$a＜0$，则$-a＞0$，此时二次函数$y=-ax^2+3x+2$的图象应该开口向上，对称轴在$y$轴的左侧，故正确. 故选 D.
解析
【分析】
本题属于同一坐标系下一次函数与二次函数图象的判断类问题，解题核心思路是通过参数$a$的符号串联两个函数的图象性质：首先根据一次函数的斜率（倾斜方向）和y轴截距判断$a$的正负，再结合$a$的符号验证二次函数的开口方向、对称轴位置是否符合，用排除法逐一判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析A选项：由一次函数$y=ax+a$的图象下降、与y轴交于负半轴，可得$a＜0$，因此二次函数$y=-ax^2+3x+2$的二次项系数$-a＞0$，图象应开口向上，但A中二次函数开口向下，故A错误。
2. 分析B选项：由一次函数图象可得$a＜0$，二次函数开口向上符合要求；二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a'}$（其中$a'$为二次项系数，本题$a'=-a$，$b=3$），代入得对称轴$x=\frac{3}{2a}$，因$a＜0$，故对称轴$x＜0$，应在y轴左侧，但B中二次函数对称轴在y轴右侧，故B错误。
3. 分析C选项：由一次函数图象上升、与y轴交于正半轴，可得$a＞0$，因此二次函数二次项系数$-a＜0$，图象应开口向下，但C中二次函数开口向上，故C错误。
4. 分析D选项：由一次函数图象可得$a＜0$，二次函数开口向上，且对称轴$x=\frac{3}{2a}＜0$，在y轴左侧，与图象特征完全吻合，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，解题时需抓住参数是联系两个函数的核心，通过分类讨论参数的符号，结合函数图象性质逐一验证排除即可，能有效考查对函数图象性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题属于同一坐标系下一次函数与二次函数图象的判断类问题，解题核心思路是通过参数$a$的符号串联两个函数的图象性质：首先根据一次函数的斜率（倾斜方向）和y轴截距判断$a$的正负，再结合$a$的符号验证二次函数的开口方向、对称轴位置是否符合，用排除法逐一判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析A选项：由一次函数$y=ax+a$的图象下降、与y轴交于负半轴，可得$a＜0$，因此二次函数$y=-ax^2+3x+2$的二次项系数$-a＞0$，图象应开口向上，但A中二次函数开口向下，故A错误。
2. 分析B选项：由一次函数图象可得$a＜0$，二次函数开口向上符合要求；二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a'}$（其中$a'$为二次项系数，本题$a'=-a$，$b=3$），代入得对称轴$x=\frac{3}{2a}$，因$a＜0$，故对称轴$x＜0$，应在y轴左侧，但B中二次函数对称轴在y轴右侧，故B错误。
3. 分析C选项：由一次函数图象上升、与y轴交于正半轴，可得$a＞0$，因此二次函数二次项系数$-a＜0$，图象应开口向下，但C中二次函数开口向上，故C错误。
4. 分析D选项：由一次函数图象可得$a＜0$，二次函数开口向上，且对称轴$x=\frac{3}{2a}＜0$，在y轴左侧，与图象特征完全吻合，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，解题时需抓住参数是联系两个函数的核心，通过分类讨论参数的符号，结合函数图象性质逐一验证排除即可，能有效考查对函数图象性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
2 新考法[2026江西赣州质检,中]弹力球是一种具有高弹性的球形玩具,老师把弹力球的运动轨迹抽象成一条抛物线,并给出如图所示的平面直角坐标系,其中$P(0,2)$,$Q(1,0)$,$M(3,1)$,$N(2,3)$.若弹力球的运动轨迹经过其中三点,且反弹后更易接住(抛物线表达式的二次项系数尽可能大),则抛物线不经过点 (
A.$P$
B.$Q$
C.$M$
D.$N$
(第2题图)
(第4题图)
C
)A.$P$
B.$Q$
C.$M$
D.$N$
(第2题图)
(第4题图)
答案
2.C 【解析】当抛物线经过$P,N,M$时，抛物线开口向下，二次项系数小于0；当抛物线经过$P,N,Q$时，抛物线开口向上，二次项系数大于0；当抛物线经过$P,Q,M$时，抛物线开口向上，二次项系数大于0；当抛物线经过$Q,N,M$时，抛物线开口向下，二次项系数小于0. $\because$ 抛物线表达式的二次项系数尽可能大，$\therefore$ 抛物线经过$P,N,Q$或经过$P,Q,M$. 又$\because$ 二次项系数越大，抛物线开口越小，且抛物线经过$P,N,Q$时的开口比经过$P,Q,M$时的开口小，$\therefore$ 抛物线经过$P,N,Q$时的二次项系数大于经过$P,Q,M$时的二次项系数，$\therefore$ 抛物线不经过点$M$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：抛物线经过P、Q、M、N中的三点，且二次项系数尽可能大。首先回忆二次函数性质：二次项系数$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下，正数一定大于负数，因此可先排除$a$为负的三点组合；再对剩余$a$为正的组合，用待定系数法分别计算二次项系数$a$的值，选择$a$更大的组合，该组合外的点即为抛物线不经过的点。
【解析】
四个点选三个共有4种组合，分别分析如下：
1. 若抛物线过$P(0,2)$、$N(2,3)$、$M(3,1)$，或过$Q(1,0)$、$N(2,3)$、$M(3,1)$，代入一般式计算可得二次项系数$a＜0$，不符合$a$尽可能大的要求，排除；
2. 若抛物线过$P(0,2)$、$N(2,3)$、$Q(1,0)$：设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三点代入：
把$P(0,2)$代入得$c=2$；
把$Q(1,0)$代入得$a+b+2=0$，即$a+b=-2$①；
把$N(2,3)$代入得$4a+2b+2=3$，即$4a+2b=1$②；
②-①×2得$2a=5$，解得$a=\frac{5}{2}$。
3. 若抛物线过$P(0,2)$、$Q(1,0)$、$M(3,1)$：设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三点代入：
把$P(0,2)$代入得$c=2$；
把$Q(1,0)$代入得$a+b=-2$③；
把$M(3,1)$代入得$9a+3b+2=1$，即$9a+3b=-1$④；
④-③×3得$6a=5$，解得$a=\frac{5}{6}$。
对比得$\frac{5}{2}＞\frac{5}{6}＞0$，因此二次项系数最大的抛物线经过$P$、$Q$、$N$三点，不经过点$M$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次项系数的意义
【点评】
本题结合生活情境考查二次函数相关知识，解题需要用到分类讨论思想，先通过二次项系数的正负筛选不符合的组合，再通过计算对比二次项系数的大小得到最终结论，能有效考查对二次函数性质的掌握程度和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两个核心条件：抛物线经过P、Q、M、N中的三点，且二次项系数尽可能大。首先回忆二次函数性质：二次项系数$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下，正数一定大于负数，因此可先排除$a$为负的三点组合；再对剩余$a$为正的组合，用待定系数法分别计算二次项系数$a$的值，选择$a$更大的组合，该组合外的点即为抛物线不经过的点。
【解析】
四个点选三个共有4种组合，分别分析如下：
1. 若抛物线过$P(0,2)$、$N(2,3)$、$M(3,1)$，或过$Q(1,0)$、$N(2,3)$、$M(3,1)$，代入一般式计算可得二次项系数$a＜0$，不符合$a$尽可能大的要求，排除；
2. 若抛物线过$P(0,2)$、$N(2,3)$、$Q(1,0)$：设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三点代入：
把$P(0,2)$代入得$c=2$；
把$Q(1,0)$代入得$a+b+2=0$，即$a+b=-2$①；
把$N(2,3)$代入得$4a+2b+2=3$，即$4a+2b=1$②；
②-①×2得$2a=5$，解得$a=\frac{5}{2}$。
3. 若抛物线过$P(0,2)$、$Q(1,0)$、$M(3,1)$：设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三点代入：
把$P(0,2)$代入得$c=2$；
把$Q(1,0)$代入得$a+b=-2$③；
把$M(3,1)$代入得$9a+3b+2=1$，即$9a+3b=-1$④；
④-③×3得$6a=5$，解得$a=\frac{5}{6}$。
对比得$\frac{5}{2}＞\frac{5}{6}＞0$，因此二次项系数最大的抛物线经过$P$、$Q$、$N$三点，不经过点$M$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次项系数的意义
【点评】
本题结合生活情境考查二次函数相关知识，解题需要用到分类讨论思想，先通过二次项系数的正负筛选不符合的组合，再通过计算对比二次项系数的大小得到最终结论，能有效考查对二次函数性质的掌握程度和运算能力。
【难度系数】
0.6
3[2025福建龙岩模拟,中]已知二次函数$y=-x^2-4x+3$，将其图象向右平移$k(k＞0)$个单位，得到新的二次函数$y_1$的图象，使得当$-1＜x＜3$时，$y_1$随$x$的增大而增大；当$4＜x＜5$时，$y_1$随$x$的增大而减小，则实数$k$的取值可以是（
A.4.5
B.5.5
C.6.5
D.7.5
B
）A.4.5
B.5.5
C.6.5
D.7.5
答案
3.B 【解析】由题知，$y=-x^2-4x+3=-(x+2)^2+7$，则将其图象向右平移$k(k＞0)$个单位后，所得的函数表达式为$y_1=-(x-k+2)^2+7$，所以新抛物线的对称轴为直线$x=k-2$. 因为当$-1＜x＜3$时，$y_1$随$x$的增大而增大；当$4＜x＜5$时，$y_1$随$x$的增大而减小，所以$3≤ k-2≤4$，解得$5≤ k≤6$，显然只有B选项符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
解题思路基于二次函数的核心性质：开口向下的二次函数，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。解题步骤如下：①先将原二次函数配方为顶点式，方便计算平移后的解析式；②根据“左加右减”的平移规律，写出向右平移k个单位后的新函数解析式，确定新函数的对称轴；③结合题目给出的增减区间可知，对称轴需要同时满足≥第一个增区间的右端点3、≤第二个减区间的左端点4，据此列不等式求解k的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 将原二次函数配方为顶点式：
$y=-x^2-4x+3=-(x^2+4x)+3=-(x+2)^2+7$
2. 根据“左加右减”的平移规律，向右平移$k(k＞0)$个单位后，新函数解析式为：
$y_1=-(x+2-k)^2+7=-(x-(k-2))^2+7$
可得新抛物线的对称轴为直线$x=k-2$。
3. 结合增减性列不等式：
该函数开口向下，对称轴左侧为增区间，右侧为减区间。
要满足$-1＜x＜3$时$y_1$随x增大而增大，说明区间$(-1,3)$全部在对称轴左侧，即$k-2≥3$；
要满足$4＜x＜5$时$y_1$随x增大而减小，说明区间$(4,5)$全部在对称轴右侧，即$k-2≤4$。
联立不等式得$\begin{cases}k-2≥3 \\ k-2≤4\end{cases}$，解得$5≤ k≤6$。
4. 匹配选项：只有B选项5.5在$[5,6]$范围内，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数增减性；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用类题型，解题核心是抓住二次函数增减性与对称轴的对应关系，结合给定增减区间准确定位对称轴的取值范围，是二次函数章节的典型中档题。
【难度系数】
0.6
解题思路基于二次函数的核心性质：开口向下的二次函数，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。解题步骤如下：①先将原二次函数配方为顶点式，方便计算平移后的解析式；②根据“左加右减”的平移规律，写出向右平移k个单位后的新函数解析式，确定新函数的对称轴；③结合题目给出的增减区间可知，对称轴需要同时满足≥第一个增区间的右端点3、≤第二个减区间的左端点4，据此列不等式求解k的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 将原二次函数配方为顶点式：
$y=-x^2-4x+3=-(x^2+4x)+3=-(x+2)^2+7$
2. 根据“左加右减”的平移规律，向右平移$k(k＞0)$个单位后，新函数解析式为：
$y_1=-(x+2-k)^2+7=-(x-(k-2))^2+7$
可得新抛物线的对称轴为直线$x=k-2$。
3. 结合增减性列不等式：
该函数开口向下，对称轴左侧为增区间，右侧为减区间。
要满足$-1＜x＜3$时$y_1$随x增大而增大，说明区间$(-1,3)$全部在对称轴左侧，即$k-2≥3$；
要满足$4＜x＜5$时$y_1$随x增大而减小，说明区间$(4,5)$全部在对称轴右侧，即$k-2≤4$。
联立不等式得$\begin{cases}k-2≥3 \\ k-2≤4\end{cases}$，解得$5≤ k≤6$。
4. 匹配选项：只有B选项5.5在$[5,6]$范围内，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数增减性；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用类题型，解题核心是抓住二次函数增减性与对称轴的对应关系，结合给定增减区间准确定位对称轴的取值范围，是二次函数章节的典型中档题。
【难度系数】
0.6
4[2025安徽池州期末,中]如图是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,a,b,c$为常数$)$图象的一部分,与$x$轴的交点$A$在点$(2,0)$和$(3,0)$之间,对称轴是直线$x=1$.对于下列说法:①$abc＜0$;②$2a+b=0$;③$3a+c＞0$;④$a+b≥m(am+b)(m$为实数$)$;⑤当$-1＜x＜3$时,$y＞0$,其中正确的有 (
A.①②③
B.①②④
C.①②③⑤
D.①④⑤
B
)A.①②③
B.①②④
C.①②③⑤
D.①④⑤
答案
4.B 【解析】由图象可知，抛物线开口向下，交$y$轴于正半轴，对称轴在$y$轴的右侧，$\therefore a＜0$，$c＞0$，$-\frac{b}{2a}＞0$，$\therefore b＞0$，则$abc＜0$，故①正确. $\because -\frac{b}{2a}=1$，$\therefore b=-2a$，$\therefore 2a+b=0$，故②正确. ③$\because$ 当$x=3$时，$y＜0$，$\therefore$ 当$x=-1$时，$y=a-b+c＜0$，$\therefore a+2a+c＜0$，$\therefore 3a+c＜0$，故③错误. 根据图象知，当$x=1$时，$y$有最大值，为$a+b+c$，$\therefore$ 当$m$为实数时，有$am^2+bm+c≤ a+b+c$，$\therefore am^2+bm≤ a+b$（$m$为实数），即$a+b≥ m(am+b)$（$m$为实数），故④正确. 函数图象与$x$轴的交点分别在$2＜x＜3$和$-1＜x＜0$之间，$\therefore$ 当$-1＜x＜3$时，$y＞0$不一定成立，故⑤错误. 正确的有①②④，故选 B.
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数的图象特征，运用数形结合思想逐一判断结论：首先根据开口方向、与y轴交点、对称轴位置确定a、b、c的符号，判断①；再根据对称轴公式推导2a与b的关系，判断②；利用二次函数的对称性，结合x=3处的函数值推导x=-1处的函数值，代入b=-2a判断③；根据二次函数顶点处取最大值的性质，推导不等式判断④；最后结合两个交点的取值范围，判断y＞0对应的x区间，验证⑤即可。
【解析】
1. 判断①：由图象可知，抛物线开口向下，故$a＜0$；抛物线与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$；对称轴为直线$x=1＞0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$，因此$abc＜0$，①正确。
2. 判断②：由对称轴为$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，因此$2a+b=0$，②正确。
3. 判断③：二次函数图象关于对称轴$x=1$对称，因此$x=-1$和$x=3$处的函数值相等。已知$x=3$时$y＜0$，故$x=-1$时$y=a-b+c＜0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c＜0$，③错误。
4. 判断④：由图象可知$x=1$时二次函数取得最大值，因此对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a+b+c$，两边同时减去$c$得$am^2+bm ≤ a+b$，即$a+b ≥ m(am+b)$（$m$为实数），④正确。
5. 判断⑤：已知抛物线与$x$轴的一个交点$A$在$(2,0)$和$(3,0)$之间，结合对称轴为$x=1$，可得另一个交点在$(-1,0)$和$(0,0)$之间，因此仅当$x$在两个交点之间时$y＞0$，故$-1＜x＜3$时$y＞0$不成立，⑤错误。
综上，正确的结论为①②④，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题时需要结合图象特征灵活运用对称轴公式、函数对称性、最值性质等知识点，数形结合是快速判断各结论正误的核心方法。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合二次函数的图象特征，运用数形结合思想逐一判断结论：首先根据开口方向、与y轴交点、对称轴位置确定a、b、c的符号，判断①；再根据对称轴公式推导2a与b的关系，判断②；利用二次函数的对称性，结合x=3处的函数值推导x=-1处的函数值，代入b=-2a判断③；根据二次函数顶点处取最大值的性质，推导不等式判断④；最后结合两个交点的取值范围，判断y＞0对应的x区间，验证⑤即可。
【解析】
1. 判断①：由图象可知，抛物线开口向下，故$a＜0$；抛物线与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$；对称轴为直线$x=1＞0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$，因此$abc＜0$，①正确。
2. 判断②：由对称轴为$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，因此$2a+b=0$，②正确。
3. 判断③：二次函数图象关于对称轴$x=1$对称，因此$x=-1$和$x=3$处的函数值相等。已知$x=3$时$y＜0$，故$x=-1$时$y=a-b+c＜0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c＜0$，③错误。
4. 判断④：由图象可知$x=1$时二次函数取得最大值，因此对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a+b+c$，两边同时减去$c$得$am^2+bm ≤ a+b$，即$a+b ≥ m(am+b)$（$m$为实数），④正确。
5. 判断⑤：已知抛物线与$x$轴的一个交点$A$在$(2,0)$和$(3,0)$之间，结合对称轴为$x=1$，可得另一个交点在$(-1,0)$和$(0,0)$之间，因此仅当$x$在两个交点之间时$y＞0$，故$-1＜x＜3$时$y＞0$不成立，⑤错误。
综上，正确的结论为①②④，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题时需要结合图象特征灵活运用对称轴公式、函数对称性、最值性质等知识点，数形结合是快速判断各结论正误的核心方法。
【难度系数】
0.6
5[2026 吉林长春质检,中]在平面直角坐标系中,抛物线$y=a(x-h)^2 -2$($a,h$为常数,且$a≠0$)与直线$y=m$($m$为常数)相交于$A,B$两点($A$在$B$的左边).若抛物线上有且只有一点$C$到$x$轴的距离与$A,B$两点到$x$轴的距离相等,且$△ ABC$的面积为4,则$a$的值为
4
.答案
5.$\boldsymbol{4}$ 【解析】由题意得抛物线的顶点为$(h,-2)$，$m=2$. $\because △ ABC$的面积为4，$\therefore A,B$两点到直线$x=h$的距离都为1，$\therefore A(h-1,2)$，$B(h+1,2)$，$\therefore 2=a(h+1-h)^2-2$，解得$a=4$，故答案为4.
解析
【分析】
解题时首先结合二次函数顶点式的性质确定抛物线的顶点坐标，再根据“抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等”判断点C为抛物线顶点，进而求出m的值；再利用三角形面积公式求出线段AB的长度，结合抛物线的对称性得到A、B的坐标，最后代入抛物线解析式即可求出a的值。
1. 抛物线$y=a(x-h)^2-2$的顶点为$(h,-2)$，对称轴为直线$x=h$，A、B是抛物线与$y=m$的交点，因此两点纵坐标均为$m$，到x轴距离为$|m|$。
2. 若抛物线上仅1个点C到x轴距离为$|m|$，该点只能是顶点（其他纵坐标对应的点都有2个对称点），因此$|m|=2$，又因为抛物线与$y=m$有2个交点，因此$m=2$。
3. 结合三角形面积求出AB的长度，再根据对称性得到B点坐标，代入解析式即可求a。
【解析】
解：由抛物线解析式$y=a(x-h)^2 -2$可知，抛物线顶点坐标为$(h,-2)$，对称轴为直线$x=h$。
∵A、B是抛物线与直线$y=m$的交点，
∴A、B纵坐标均为$m$，两点到x轴的距离为$|m|$。
∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B相等，
∴点C为抛物线顶点（若为其他点，根据抛物线对称性必然存在2个对称点，不符合题意），
∴$|m|=|-2|=2$，又
∵抛物线与$y=m$有2个交点，
∴$m≠-2$，即$m=2$。
此时点C坐标为$(h,-2)$，△ABC的高为$2-(-2)=4$，
已知$S_{△ABC}=4$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×AB×4=4$，解得$AB=2$。
∵抛物线对称轴为$x=h$，A在B左侧，
∴B点坐标为$(h+1,2)$。
将$B(h+1,2)$代入抛物线解析式得：
$2=a(h+1-h)^2-2$，
解得$a=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的对称性
3.三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用题，解题的突破口是根据“仅存在一个点C满足距离条件”判断点C为抛物线顶点，进而确定m的值，再结合面积和对称性求解参数，是二次函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合二次函数顶点式的性质确定抛物线的顶点坐标，再根据“抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等”判断点C为抛物线顶点，进而求出m的值；再利用三角形面积公式求出线段AB的长度，结合抛物线的对称性得到A、B的坐标，最后代入抛物线解析式即可求出a的值。
1. 抛物线$y=a(x-h)^2-2$的顶点为$(h,-2)$，对称轴为直线$x=h$，A、B是抛物线与$y=m$的交点，因此两点纵坐标均为$m$，到x轴距离为$|m|$。
2. 若抛物线上仅1个点C到x轴距离为$|m|$，该点只能是顶点（其他纵坐标对应的点都有2个对称点），因此$|m|=2$，又因为抛物线与$y=m$有2个交点，因此$m=2$。
3. 结合三角形面积求出AB的长度，再根据对称性得到B点坐标，代入解析式即可求a。
【解析】
解：由抛物线解析式$y=a(x-h)^2 -2$可知，抛物线顶点坐标为$(h,-2)$，对称轴为直线$x=h$。
∵A、B是抛物线与直线$y=m$的交点，
∴A、B纵坐标均为$m$，两点到x轴的距离为$|m|$。
∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B相等，
∴点C为抛物线顶点（若为其他点，根据抛物线对称性必然存在2个对称点，不符合题意），
∴$|m|=|-2|=2$，又
∵抛物线与$y=m$有2个交点，
∴$m≠-2$，即$m=2$。
此时点C坐标为$(h,-2)$，△ABC的高为$2-(-2)=4$，
已知$S_{△ABC}=4$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×AB×4=4$，解得$AB=2$。
∵抛物线对称轴为$x=h$，A在B左侧，
∴B点坐标为$(h+1,2)$。
将$B(h+1,2)$代入抛物线解析式得：
$2=a(h+1-h)^2-2$，
解得$a=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的对称性
3.三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用题，解题的突破口是根据“仅存在一个点C满足距离条件”判断点C为抛物线顶点，进而确定m的值，再结合面积和对称性求解参数，是二次函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
6[2026广西南宁质检,中]已知二次函数$y=(x-m)^2 -1$（$m$为常数），当自变量$x$的值满足$2≤x≤5$时，函数值$y$的最小值为3，则$m$的值为
刷素养 走向重高
0或7
。刷素养 走向重高
答案
6.$\boldsymbol{0或7}$ 【解析】$\because y=(x-m)^2-1$（$m$为常数），$\therefore$ 该函数图象的对称轴为直线$x=m$，图象开口向上. $\because$ 当$2≤ x≤5$时，$y$的最小值为3，$\therefore$ 当$m≤2$时，$y=(2-m)^2-1=3$，解得$m=0$或$m=4$（舍去）；当$2＜m＜5$时，$y$的最小值为$-1$，与题意不符；当$m≥5$时，$y=(5-m)^2-1=3$，解得$m=3$（舍去）或$m=7$. 综上，$m$的值为0或7，故答案为0或7.
解析
【分析】
这是二次函数限定区间求最值的问题，解题思路如下：首先明确给定二次函数为顶点式，开口向上，对称轴为直线$x=m$，函数本身的最小值为顶点纵坐标$-1$，但题目中$2≤x≤5$范围内的最小值为3，说明顶点不在该区间内，因此需分三类讨论对称轴和区间的位置关系：①对称轴在区间左侧（$m≤2$），此时区间内$x=2$处取最小值；②对称轴在区间内部（$2＜m＜5$），此时最小值为$-1$，与题意矛盾，直接排除；③对称轴在区间右侧（$m≥5$），此时区间内$x=5$处取最小值。最后分别列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到$m$的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=(x-m)^2 -1$（$m$为常数）的图象开口向上，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,-1)$，
∴ 当$x=m$时，函数有最小值$-1$。
∵ 当$2≤x≤5$时，$y$的最小值为3，说明顶点不在区间$[2,5]$内，分情况讨论：
1. 当$m≤2$时，在$2≤x≤5$范围内$y$随$x$的增大而增大，$x=2$时$y$取最小值3，
列方程：$(2-m)^2 -1=3$，解得$m=0$或$m=4$，
∵ $m≤2$，
∴ $m=4$舍去，得$m=0$；
2. 当$2＜m＜5$时，区间内函数最小值为$-1$，与题意矛盾，该情况不成立；
3. 当$m≥5$时，在$2≤x≤5$范围内$y$随$x$的增大而减小，$x=5$时$y$取最小值3，
列方程：$(5-m)^2 -1=3$，解得$m=3$或$m=7$，
∵ $m≥5$，
∴ $m=3$舍去，得$m=7$。
综上，$m$的值为0或7。
【答案】
$\boldsymbol{0或7}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数限定区间的最值求解，需结合开口方向、对称轴与区间的位置关系分类讨论，解题时要注意对求出的参数值进行范围验证，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
这是二次函数限定区间求最值的问题，解题思路如下：首先明确给定二次函数为顶点式，开口向上，对称轴为直线$x=m$，函数本身的最小值为顶点纵坐标$-1$，但题目中$2≤x≤5$范围内的最小值为3，说明顶点不在该区间内，因此需分三类讨论对称轴和区间的位置关系：①对称轴在区间左侧（$m≤2$），此时区间内$x=2$处取最小值；②对称轴在区间内部（$2＜m＜5$），此时最小值为$-1$，与题意矛盾，直接排除；③对称轴在区间右侧（$m≥5$），此时区间内$x=5$处取最小值。最后分别列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到$m$的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=(x-m)^2 -1$（$m$为常数）的图象开口向上，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,-1)$，
∴ 当$x=m$时，函数有最小值$-1$。
∵ 当$2≤x≤5$时，$y$的最小值为3，说明顶点不在区间$[2,5]$内，分情况讨论：
1. 当$m≤2$时，在$2≤x≤5$范围内$y$随$x$的增大而增大，$x=2$时$y$取最小值3，
列方程：$(2-m)^2 -1=3$，解得$m=0$或$m=4$，
∵ $m≤2$，
∴ $m=4$舍去，得$m=0$；
2. 当$2＜m＜5$时，区间内函数最小值为$-1$，与题意矛盾，该情况不成立；
3. 当$m≥5$时，在$2≤x≤5$范围内$y$随$x$的增大而减小，$x=5$时$y$取最小值3，
列方程：$(5-m)^2 -1=3$，解得$m=3$或$m=7$，
∵ $m≥5$，
∴ $m=3$舍去，得$m=7$。
综上，$m$的值为0或7。
【答案】
$\boldsymbol{0或7}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数限定区间的最值求解，需结合开口方向、对称轴与区间的位置关系分类讨论，解题时要注意对求出的参数值进行范围验证，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
7 思想方法 数形结合 [2025 江苏苏州质检,难]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$L_1:y=x^2-2x-3$的顶点为$P$.直线$l$过点$M(0,m)$$(m≥-3)$,且平行于$x$轴,与抛物线$L_1$交于$A$,$B$两点($B$在$A$的右侧).将抛物线$L_1$沿直线$l$翻折得到抛物线$L_2$,抛物线$L_2$交$y$轴于点$C$,顶点为$D$.
(1)当$m=1$时,求点$D$的坐标;
(2)连接$BC$,$CD$,$DB$,若$△ BCD$为直角三角形,求此时$L_2$所对应的函数表达式.
(1)当$m=1$时,求点$D$的坐标;
(2)连接$BC$,$CD$,$DB$,若$△ BCD$为直角三角形,求此时$L_2$所对应的函数表达式.
答案
7.【解】(1)$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，$\therefore P(1,-4)$. $\because m=1$，$\therefore$ 点$P$和点$D$关于直线$y=1$对称，$\therefore$ 点$D$的坐标为$(1,6)$.
(2)$\because$ 点$P(1,-4)$与点$D$关于直线$y=m$对称，$\therefore D(1,2m+4)$，$\therefore$ 抛物线$L_2:y=-(x-1)^2+2m+4=-x^2+2x+2m+3$. 当$x=0$时，$y=2m+3$，$\therefore C(0,2m+3)$.
①当$∠ BCD=90°$时，如图(1)，过$D$作$DN⊥ y$轴于$N$. $\because D(1,2m+4)$，$\therefore N(0,2m+4)$. $\because C(0,2m+3)$，$\therefore NC=2m+4-(2m+3)=1$，$\therefore DN=NC=1$，$\therefore ∠ DCN=45°$. $\because ∠ BCD=90°$，$\therefore ∠ BCM=45°$. $\because$ 直线$l// x$轴，$\therefore ∠ BMC=90°$，$\therefore ∠ CBM=∠ BCM=45°$，$\therefore BM=CM$. $\because m≥-3$，$\therefore BM=CM=(2m+3)-m=m+3$，$\therefore B(m+3,m)$. $\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上，$\therefore m=(m+3)^2-2(m+3)-3$，$\therefore m=0$或$m=-3$. $\because$ 当$m=-3$时，$m+3=0$，$2m+3=-3$，$\therefore B(0,-3)$，$C(0,-3)$，此时，点$B$和点$C$重合，舍去；当$m=0$时，$m+3=3$，$2m+3=3$，$\therefore B(3,0)$，$C(0,3)$，符合题意. 将$m=0$代入$y=-x^2+2x+2m+3$得$y=-x^2+2x+3$，$\therefore$ 此时$L_2$所对应的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$.
②当$∠ BDC=90°$时，如图(2)，过$D$作$DN⊥ y$轴于$N$，过$B$作$BT⊥ ND$交$ND$的延长线于$T$. 同理，$BT=DT$，$D(1,2m+4)$，$\therefore DT=BT=(2m+4)-m=m+4$. $\because DN=1$，$\therefore NT=DN+DT=1+(m+4)=m+5$，$\therefore B(m+5,m)$. $\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上，$\therefore m=(m+5)^2-2(m+5)-3$，解得$m=-3$或$m=-4$. $\because m≥-3$，$\therefore m=-3$，此时$B(2,-3)$，$C(0,-3)$，符合题意. 将$m=-3$代入$y=-x^2+2x+2m+3$得$y=-x^2+2x-3$，$\therefore$ 此时$L_2$所对应的函数表达式为$y=-x^2+2x-3$. 易知$∠ DBC=90°$的情况不存在. 综上所述，$L_2$所对应的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$或$y=-x^2+2x-3$.
解析
【分析】
(1) 先将抛物线$L_1$的一般式配方为顶点式，得到顶点$P$的坐标；再根据翻折的性质，翻折前后对应顶点关于翻折线$y=m$对称，当$m=1$时，利用关于直线$y=k$对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标和为$2k$）即可求出点$D$的坐标。
(2) 首先根据对称性质用含$m$的代数式表示出$D$点坐标，进而写出抛物线$L_2$的解析式，求出$L_2$与$y$轴交点$C$的坐标；再对$△ BCD$的直角顶点分情况讨论：①$∠ BCD=90°$，②$∠ BDC=90°$，③先判断$∠ DBC=90°$的情况不存在。前两种情况通过作垂线构造等腰直角三角形，用含$m$的代数式表示出$B$点坐标，代入$L_1$的解析式求解$m$，再结合$m≥-3$以及点不重合的限制条件舍去不符合的解，最终得到$L_2$的函数表达式。
【解析】
(1) $\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，$\therefore$ 抛物线$L_1$的顶点$P$的坐标为$(1,-4)$。
$\because m=1$，翻折后点$P$和点$D$关于直线$y=1$对称，$\therefore$ 点$D$的横坐标为1，纵坐标为$1×2 - (-4)=6$，即$D(1,6)$。
(2) $\because$ 点$P(1,-4)$与点$D$关于直线$y=m$对称，$\therefore D(1,2m+4)$，
$\therefore$ 抛物线$L_2$的解析式为$y=-(x-1)^2+2m+4=-x^2+2x+2m+3$。
当$x=0$时，$y=2m+3$，$\therefore C(0,2m+3)$。
①当$∠ BCD=90°$时，如图(1)，过$D$作$DN⊥ y$轴于$N$。
$\because D(1,2m+4)$，$\therefore N(0,2m+4)$，
$\because C(0,2m+3)$，$\therefore NC=2m+4-(2m+3)=1$，$DN=1$，
$\therefore DN=NC=1$，$\therefore ∠ DCN=45°$。
$\because ∠ BCD=90°$，$\therefore ∠ BCM=45°$。
$\because$ 直线$l// x$轴，$\therefore ∠ BMC=90°$，
$\therefore ∠ CBM=∠ BCM=45°$，$\therefore BM=CM$。
$\because m≥-3$，$\therefore BM=CM=(2m+3)-m=m+3$，$\therefore B(m+3,m)$。
$\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上，
$\therefore m=(m+3)^2-2(m+3)-3$，解得$m=0$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$m+3=0$，$2m+3=-3$，此时$B(0,-3)$，$C(0,-3)$，点$B$和点$C$重合，舍去；
当$m=0$时，$B(3,0)$，$C(0,3)$，符合题意，将$m=0$代入$L_2$的解析式得$y=-x^2+2x+3$。
②当$∠ BDC=90°$时，如图(2)，过$D$作$DN⊥ y$轴于$N$，过$B$作$BT⊥ ND$交$ND$的延长线于$T$。
同理可得$BT=DT$，$\because D(1,2m+4)$，$\therefore DT=BT=(2m+4)-m=m+4$。
$\because DN=1$，$\therefore NT=DN+DT=1+(m+4)=m+5$，$\therefore B(m+5,m)$。
$\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上，
$\therefore m=(m+5)^2-2(m+5)-3$，解得$m=-3$或$m=-4$。
$\because m≥-3$，$\therefore m=-3$，此时$B(2,-3)$，$C(0,-3)$，符合题意，将$m=-3$代入$L_2$的解析式得$y=-x^2+2x-3$。
易知$∠ DBC=90°$的情况不存在。
【答案】
(1) 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(1,6)}$；
(2) $L_2$所对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$或$\boldsymbol{y=-x^2+2x-3}$。
【知识点】
二次函数的翻折变换；直角三角形的性质；二次函数解析式的确定
【点评】
本题综合考查二次函数的图象变换与直角三角形的存在性问题，解题时需运用分类讨论思想对直角顶点的位置逐一分析，同时要结合题目的限制条件对解进行检验，避免出现多解或漏解的问题，数形结合的思想能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.2
(1) 先将抛物线$L_1$的一般式配方为顶点式，得到顶点$P$的坐标；再根据翻折的性质，翻折前后对应顶点关于翻折线$y=m$对称，当$m=1$时，利用关于直线$y=k$对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标和为$2k$）即可求出点$D$的坐标。
(2) 首先根据对称性质用含$m$的代数式表示出$D$点坐标，进而写出抛物线$L_2$的解析式，求出$L_2$与$y$轴交点$C$的坐标；再对$△ BCD$的直角顶点分情况讨论：①$∠ BCD=90°$，②$∠ BDC=90°$，③先判断$∠ DBC=90°$的情况不存在。前两种情况通过作垂线构造等腰直角三角形，用含$m$的代数式表示出$B$点坐标，代入$L_1$的解析式求解$m$，再结合$m≥-3$以及点不重合的限制条件舍去不符合的解，最终得到$L_2$的函数表达式。
【解析】
(1) $\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，$\therefore$ 抛物线$L_1$的顶点$P$的坐标为$(1,-4)$。
$\because m=1$，翻折后点$P$和点$D$关于直线$y=1$对称，$\therefore$ 点$D$的横坐标为1，纵坐标为$1×2 - (-4)=6$，即$D(1,6)$。
(2) $\because$ 点$P(1,-4)$与点$D$关于直线$y=m$对称，$\therefore D(1,2m+4)$，
$\therefore$ 抛物线$L_2$的解析式为$y=-(x-1)^2+2m+4=-x^2+2x+2m+3$。
当$x=0$时，$y=2m+3$，$\therefore C(0,2m+3)$。
①当$∠ BCD=90°$时，如图(1)，过$D$作$DN⊥ y$轴于$N$。
$\because D(1,2m+4)$，$\therefore N(0,2m+4)$，
$\because C(0,2m+3)$，$\therefore NC=2m+4-(2m+3)=1$，$DN=1$，
$\therefore DN=NC=1$，$\therefore ∠ DCN=45°$。
$\because ∠ BCD=90°$，$\therefore ∠ BCM=45°$。
$\because$ 直线$l// x$轴，$\therefore ∠ BMC=90°$，
$\therefore ∠ CBM=∠ BCM=45°$，$\therefore BM=CM$。
$\because m≥-3$，$\therefore BM=CM=(2m+3)-m=m+3$，$\therefore B(m+3,m)$。
$\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上，
$\therefore m=(m+3)^2-2(m+3)-3$，解得$m=0$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$m+3=0$，$2m+3=-3$，此时$B(0,-3)$，$C(0,-3)$，点$B$和点$C$重合，舍去；
当$m=0$时，$B(3,0)$，$C(0,3)$，符合题意，将$m=0$代入$L_2$的解析式得$y=-x^2+2x+3$。
②当$∠ BDC=90°$时，如图(2)，过$D$作$DN⊥ y$轴于$N$，过$B$作$BT⊥ ND$交$ND$的延长线于$T$。
同理可得$BT=DT$，$\because D(1,2m+4)$，$\therefore DT=BT=(2m+4)-m=m+4$。
$\because DN=1$，$\therefore NT=DN+DT=1+(m+4)=m+5$，$\therefore B(m+5,m)$。
$\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上，
$\therefore m=(m+5)^2-2(m+5)-3$，解得$m=-3$或$m=-4$。
$\because m≥-3$，$\therefore m=-3$，此时$B(2,-3)$，$C(0,-3)$，符合题意，将$m=-3$代入$L_2$的解析式得$y=-x^2+2x-3$。
易知$∠ DBC=90°$的情况不存在。
【答案】
(1) 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(1,6)}$；
(2) $L_2$所对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$或$\boldsymbol{y=-x^2+2x-3}$。
【知识点】
二次函数的翻折变换；直角三角形的性质；二次函数解析式的确定
【点评】
本题综合考查二次函数的图象变换与直角三角形的存在性问题，解题时需运用分类讨论思想对直角顶点的位置逐一分析，同时要结合题目的限制条件对解进行检验，避免出现多解或漏解的问题，数形结合的思想能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.2
