3. 如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ.
(1)求证:EA是∠QED的平分线;
(2)已知:BE=1,DF=2,求EF的长.

(1) 证明:
∵将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后,得到△ABQ,
∴QB=DF,AQ=AF,∠BAQ=∠DAF.
∵∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠BAE=45°.
∴∠QAE=45°.
∴∠QAE=∠FAE.
在△AQE 和△AFE 中,
$\begin{cases}AQ=AF,\\∠QAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△AQE≌△AFE(SAS).
∴∠AEQ=∠AEF.
∴EA 是∠QED 的平分线.
(2) 由(1)得,△AQE≌△AFE,
∴QE=EF,∠ADF=∠ABQ.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ADB=∠ABD=45°.
∴∠ABQ=45°.
∴∠QBE=∠ABQ+∠ABD=90°. 在Rt△QBE 中,$QB^2+BE^2=QE^2$, 又
∵QB=DF,
∴$EF^2=QE^2=BE^2+DF^2=1+4=5$.
∴EF=$\sqrt{5}$(负值已舍去).

【分析】
(1) 要证明EA是∠QED的平分线，即需证∠AEQ=∠AEF，可通过证明两角所在的△AQE和△AFE全等实现。首先根据旋转的性质可得对应边、对应角相等，结合已知∠EAF=45°，可推出∠QAE=∠FAE，再加上公共边AE，即可用SAS判定两三角形全等，得到对应角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要求EF的长，由(1)的全等结论可得QE=EF，因此只需计算QE的长度即可。结合正方形对角线的性质，可推出∠QBE为直角，再利用旋转性质得QB=DF，最后在Rt△QBE中用勾股定理计算QE，即可得到EF的长。
【解析】
(1) 证明:
∵将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后,得到△ABQ,
∴QB=DF,AQ=AF,∠BAQ=∠DAF.
∵∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠BAE=45°.
∴∠QAE=∠BAQ+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°.
∴∠QAE=∠FAE.
在△AQE 和△AFE 中,
$\begin{cases}AQ=AF,\\∠QAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△AQE≌△AFE(SAS).
∴∠AEQ=∠AEF.
∴EA 是∠QED 的平分线.
(2) 由(1)得,△AQE≌△AFE,
∴QE=EF,∠ABQ=∠ADF.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ADB=∠ABD=45°.
∴∠ABQ=∠ADB=45°.
∴∠QBE=∠ABQ+∠ABD=45°+45°=90°.
在Rt△QBE 中,由勾股定理得$QB^2+BE^2=QE^2$,
又
∵QB=DF=2,BE=1,
∴$EF^2=QE^2=BE^2+DF^2=1^2+2^2=5$.
∴EF=$\sqrt{5}$(负值已舍去).
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转类几何的典型题型，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，将分散的线段条件集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理求解，有效考查了逻辑推理能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

4. 如图1,在$△ ABC$中,$BA=BC$,$D$,$E$是$AC$边上的两点,且满足$∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABC$.以点$B$为旋转中心,将$△ CBE$按逆时针方向旋转得到$△ ABF$,连接$DF$.
(1)求证:$DF=DE$;
(2)如图2,若$AB⊥ BC$,其他条件不变,探究$AD$,$DE$,$EC$之间的数量关系,并证明.

(1) 证明:
∵∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC. 由旋转,得△CBE≌△ABF,
∴BF=BE,∠ABF=∠CBE.
∴∠ABD + ∠ABF = ∠DBE.
∴∠DBF=∠DBE.
∵ BD = BD,
∴ △DBE ≌ △DBF(SAS).
∴DF=DE.
(2) $AD^2+CE^2=DE^2$,理由:
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C=45°. 由旋转,得 AF=CE,∠BAF=∠C=45°,
∴∠DAF=∠BAC+∠BAF=90°.
∴$AD^2+AF^2=DF^2$. 同(1)得,DF=DE,
∴$AD^2+CE^2=DE^2$.

【分析】
(1) 欲证DF=DE，优先考虑证明两线段所在的三角形全等。首先由∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，可推出∠ABD+∠CBE=∠DBE；再结合旋转的性质，可得△CBE≌△ABF，对应边、对应角相等，进而推导得到∠DBF=∠DBE，最后利用SAS判定△DBF与△DBE全等，即可证得DF=DE。
(2) 探究AD、DE、EC的数量关系，已知AB⊥BC，可结合等腰直角三角形的内角性质，通过旋转将CE转化为AF，再证明∠DAF为直角，把三条线段转化到直角三角形中，结合第一问得到的DF=DE，利用勾股定理即可推出三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明:
∵∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
由旋转,得△CBE≌△ABF,
∴BF=BE,∠ABF=∠CBE.
∴∠ABD + ∠ABF = ∠DBE,即∠DBF=∠DBE.
∵ BD = BD,
∴ △DBE ≌ △DBF(SAS).
∴DF=DE.
(2) 解:数量关系为$AD^2+CE^2=DE^2$,理由如下:
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C=45°.
由旋转,得 AF=CE,∠BAF=∠C=45°,
∴∠DAF=∠BAC+∠BAF=90°.
在Rt△ADF中，由勾股定理得$AD^2+AF^2=DF^2$.
同(1)得,DF=DE,
∴$AD^2+CE^2=DE^2$.
【答案】
(1) DF=DE；
(2) $AD^2+CE^2=DE^2$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为旋转半角模型的典型习题，核心解题思路是利用旋转将分散的边角条件集中，通过全等三角形转化等线段，结合勾股定理推导线段数量关系，掌握这类模型的转化技巧能快速解决同类几何问题。
【难度系数】
0.6