登录
8 一艘船顺流航行$n$千米用了$m$小时，如果逆流航行的速度是顺流航行的速度的$\frac{p}{q}$，那么这艘船逆流航行$t$小时的行程是
$\frac{npt}{mq}$
千米。答案
8. $\frac{npt}{mq}$
解析
【分析】
本题属于行程类代数式求解问题，解题思路遵循“从已知到未知逐步推导”的原则：第一步先根据行程问题的基本公式“速度=路程÷时间”求出顺流航行的速度；第二步结合逆流速度与顺流速度的比例关系，求出逆流航行的速度；最后再根据“路程=速度×时间”计算出逆流航行t小时的行程即可。
【解析】
1. 求顺流航行的速度：
已知顺流航行n千米用时m小时，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得顺流速度$v_{顺}=\frac{n}{m}$千米/时。
2. 求逆流航行的速度：
由题可知逆流航行速度是顺流速度的$\frac{p}{q}$，因此$v_{逆}=v_{顺}×\frac{p}{q}=\frac{n}{m}×\frac{p}{q}=\frac{np}{mq}$千米/时。
3. 求逆流航行t小时的行程：
根据路程公式$s=vt$，可得逆流t小时的行程为$s=v_{逆}× t=\frac{np}{mq}× t=\frac{npt}{mq}$千米。
【答案】
$\frac{npt}{mq}$
【知识点】
行程问题公式、分式乘法运算、列代数式
【点评】
本题是行程问题与分式运算的结合应用，解题核心是明确路程、速度、时间三者的数量关系，按照先求顺流速度、再求逆流速度、最后算逆流路程的顺序推导即可，计算时注意遵守分式乘法的运算规则，避免分子分母位置颠倒出错。
【难度系数】
0.8
本题属于行程类代数式求解问题，解题思路遵循“从已知到未知逐步推导”的原则：第一步先根据行程问题的基本公式“速度=路程÷时间”求出顺流航行的速度；第二步结合逆流速度与顺流速度的比例关系，求出逆流航行的速度；最后再根据“路程=速度×时间”计算出逆流航行t小时的行程即可。
【解析】
1. 求顺流航行的速度：
已知顺流航行n千米用时m小时，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得顺流速度$v_{顺}=\frac{n}{m}$千米/时。
2. 求逆流航行的速度：
由题可知逆流航行速度是顺流速度的$\frac{p}{q}$，因此$v_{逆}=v_{顺}×\frac{p}{q}=\frac{n}{m}×\frac{p}{q}=\frac{np}{mq}$千米/时。
3. 求逆流航行t小时的行程：
根据路程公式$s=vt$，可得逆流t小时的行程为$s=v_{逆}× t=\frac{np}{mq}× t=\frac{npt}{mq}$千米。
【答案】
$\frac{npt}{mq}$
【知识点】
行程问题公式、分式乘法运算、列代数式
【点评】
本题是行程问题与分式运算的结合应用，解题核心是明确路程、速度、时间三者的数量关系，按照先求顺流速度、再求逆流速度、最后算逆流路程的顺序推导即可，计算时注意遵守分式乘法的运算规则，避免分子分母位置颠倒出错。
【难度系数】
0.8
9 若$m-n=2$，则式子$\dfrac{m^2 -n^2}{m} · \dfrac{2m}{m+n}$的值是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
D
）A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现分子含有平方差形式的多项式，首先考虑用平方差公式因式分解，再根据分式乘法的运算法则先约分再化简代数式，最后将已知条件$m-n=2$整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求出m、n的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对原式因式分解，再根据分式乘法法则计算：
$\begin{aligned}\frac{m^2 -n^2}{m} · \frac{2m}{m+n}&=\frac{(m+n)(m-n)}{m}·\frac{2m}{m+n}\\&=\frac{(m+n)(m-n)·2m}{m·(m+n)}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$m$和$m+n$，可得化简结果为$2(m-n)$。
已知$m-n=2$，将其代入化简后的式子得：$2×2=4$。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式 2. 分式的乘除运算 3. 整体代入求值
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，核心解题技巧是先对多项式因式分解再约分，避免复杂运算，运用整体代入的思想可以快速得到结果，解题时要注意公因式的识别和约分的正确性。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，发现分子含有平方差形式的多项式，首先考虑用平方差公式因式分解，再根据分式乘法的运算法则先约分再化简代数式，最后将已知条件$m-n=2$整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求出m、n的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对原式因式分解，再根据分式乘法法则计算：
$\begin{aligned}\frac{m^2 -n^2}{m} · \frac{2m}{m+n}&=\frac{(m+n)(m-n)}{m}·\frac{2m}{m+n}\\&=\frac{(m+n)(m-n)·2m}{m·(m+n)}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$m$和$m+n$，可得化简结果为$2(m-n)$。
已知$m-n=2$，将其代入化简后的式子得：$2×2=4$。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式 2. 分式的乘除运算 3. 整体代入求值
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，核心解题技巧是先对多项式因式分解再约分，避免复杂运算，运用整体代入的思想可以快速得到结果，解题时要注意公因式的识别和约分的正确性。
【难度系数】
0.8
10 计算：
（1）$\frac{2c^2}{ab^2} · \frac{4cd}{-3a^2b^2} =$
（2）$(a^2 -4) ÷ \frac{a+2}{a} =$
（1）$\frac{2c^2}{ab^2} · \frac{4cd}{-3a^2b^2} =$
$-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$
；（2）$(a^2 -4) ÷ \frac{a+2}{a} =$
$a^2−2a$
。答案
10. (1) $-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$ (2) $a^2−2a$
解析
【分析】
（1）本题是分式乘法运算，解题思路：先根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母，再分别计算系数的乘积、相同字母的幂次，最后整理符号即可得到结果。
（2）本题是分式除法与多项式因式分解的结合运算，解题思路：先根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数，再把多项式$a^2-4$用平方差公式因式分解，约掉分子分母的公因式后化简即可得到结果。
【解析】
（1）根据分式乘法法则计算：
$\frac{2c^2}{ab^2} · \frac{4cd}{-3a^2b^2} = \frac{2c^2·4cd}{ab^2·(-3a^2b^2)}$
分别计算系数和同底数幂：
分子部分：系数$2×4=8$，字母部分$c^2·c=c^3$，保留单独项$d$；
分母部分：系数$1×(-3)=-3$，字母部分$a·a^2=a^3$，$b^2·b^2=b^4$；
整理符号得：$\frac{8c^3d}{-3a^3b^4}=-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$。
（2）先将除法转为乘法，再因式分解约分：
$(a^2 -4) ÷ \frac{a+2}{a} = (a^2-4) · \frac{a}{a+2}$
用平方差公式因式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入得：
$=(a+2)(a-2)·\frac{a}{a+2}$
约掉公因式$a+2$后计算：
$=a(a-2)=a^2-2a$。
【答案】
(1) $-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$；(2) $a^2−2a$
【知识点】
1. 分式乘除法则；2. 平方差公式；3. 分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，运算时要注意先将除法转化为乘法，遇到多项式优先因式分解再约分，计算过程中要注意符号判断和同底数幂的运算规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
（1）本题是分式乘法运算，解题思路：先根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母，再分别计算系数的乘积、相同字母的幂次，最后整理符号即可得到结果。
（2）本题是分式除法与多项式因式分解的结合运算，解题思路：先根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数，再把多项式$a^2-4$用平方差公式因式分解，约掉分子分母的公因式后化简即可得到结果。
【解析】
（1）根据分式乘法法则计算：
$\frac{2c^2}{ab^2} · \frac{4cd}{-3a^2b^2} = \frac{2c^2·4cd}{ab^2·(-3a^2b^2)}$
分别计算系数和同底数幂：
分子部分：系数$2×4=8$，字母部分$c^2·c=c^3$，保留单独项$d$；
分母部分：系数$1×(-3)=-3$，字母部分$a·a^2=a^3$，$b^2·b^2=b^4$；
整理符号得：$\frac{8c^3d}{-3a^3b^4}=-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$。
（2）先将除法转为乘法，再因式分解约分：
$(a^2 -4) ÷ \frac{a+2}{a} = (a^2-4) · \frac{a}{a+2}$
用平方差公式因式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入得：
$=(a+2)(a-2)·\frac{a}{a+2}$
约掉公因式$a+2$后计算：
$=a(a-2)=a^2-2a$。
【答案】
(1) $-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$；(2) $a^2−2a$
【知识点】
1. 分式乘除法则；2. 平方差公式；3. 分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，运算时要注意先将除法转化为乘法，遇到多项式优先因式分解再约分，计算过程中要注意符号判断和同底数幂的运算规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
11 教材 P148 练习 T4 变式 甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)$米，乙工程队每天修$(a - 2)^2$米，其中$a＞2$，则甲工程队修 900 米所用的时间是乙工程队修 600 米所用时间的
$\frac{3a−6}{2a+4}$
倍。答案
11. $\frac{3a−6}{2a+4}$
解析
【分析】
解题时首先依据“工作时间=工作总量÷工作效率”的数量关系，分别表示出甲、乙两个工程队各自所需的工作时间，再用甲的工作时间除以乙的工作时间得到倍数关系。计算过程中先对多项式因式分解，再将分式除法转化为乘法运算，最后约分化简即可，已知a＞2可保证所有分式的分母不为0，运算有意义。
【解析】
根据工作时间=工作总量÷工作效率：
甲工程队修900米的时间为：$ t_甲 = \frac{900}{a^2 - 4} $天
乙工程队修600米的时间为：$ t_乙 = \frac{600}{(a - 2)^2} $天
则所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{t_甲}{t_乙} &= \frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^2} \\&= \frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3a−6}{2a+4}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、工程问题数量关系
【点评】
本题属于分式运算的实际应用型题目，核心考查分式乘除的计算方法，解题的关键是正确列出两个工程队的工作时间表达式，计算时要先对多项式因式分解再约分，能有效提升计算的准确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先依据“工作时间=工作总量÷工作效率”的数量关系，分别表示出甲、乙两个工程队各自所需的工作时间，再用甲的工作时间除以乙的工作时间得到倍数关系。计算过程中先对多项式因式分解，再将分式除法转化为乘法运算，最后约分化简即可，已知a＞2可保证所有分式的分母不为0，运算有意义。
【解析】
根据工作时间=工作总量÷工作效率：
甲工程队修900米的时间为：$ t_甲 = \frac{900}{a^2 - 4} $天
乙工程队修600米的时间为：$ t_乙 = \frac{600}{(a - 2)^2} $天
则所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{t_甲}{t_乙} &= \frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^2} \\&= \frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3a−6}{2a+4}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、工程问题数量关系
【点评】
本题属于分式运算的实际应用型题目，核心考查分式乘除的计算方法，解题的关键是正确列出两个工程队的工作时间表达式，计算时要先对多项式因式分解再约分，能有效提升计算的准确率。
【难度系数】
0.7
12 先化简，再求值：
(1) $\frac{x^2 -2x +1}{x^2 -1} ÷ \frac{x -1}{x^2 +x}$，其中 $x=\frac{1}{2026}$；
(2) $\frac{x^2 -9}{x^2 +6x +9} · \frac{3x^3 +9x^2}{x^2 -3x}$，其中 $x=-\frac{1}{6}$。
(1) $\frac{x^2 -2x +1}{x^2 -1} ÷ \frac{x -1}{x^2 +x}$，其中 $x=\frac{1}{2026}$；
(2) $\frac{x^2 -9}{x^2 +6x +9} · \frac{3x^3 +9x^2}{x^2 -3x}$，其中 $x=-\frac{1}{6}$。
答案
12. (1) 原式$=x$. 当$x=\frac{1}{2026}$时,原式$=\frac{1}{2026}$ (2) 原式$=3x$. 当$x=-\frac{1}{6}$时,原式$=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
对于分式的乘除化简求值类题目，核心思路是先化简再代值，可大幅降低计算量、提升准确率：①先将所有分式的分子、分母利用因式分解公式（平方差、完全平方公式）或提取公因式法分解；②将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；③约去分子分母的公因式得到最简结果；④最后将给定的x值代入最简式计算即可。
【解析】
(1) 先对原式各部分因式分解，将除法转换为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} ÷ \frac{x-1}{x(x+1)}\\&=\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} × \frac{x(x+1)}{x-1}\\\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$后得化简结果$x$，将$x=\frac{1}{2026}$代入得：原式$=\frac{1}{2026}$。
(2) 先对原式各部分因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} · \frac{3x^2(x+3)}{x(x-3)}\\\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$(x-3)$、$(x+3)$、$x$后得化简结果$3x$，将$x=-\frac{1}{6}$代入得：原式$=3×(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 原式$=x$，当$x=\frac{1}{2026}$时，原式$=\frac{1}{2026}$；(2) 原式$=3x$，当$x=-\frac{1}{6}$时，原式$=-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法，正确将除法转化为乘法后约分，先化简再求值的思路能有效减少复杂计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
对于分式的乘除化简求值类题目，核心思路是先化简再代值，可大幅降低计算量、提升准确率：①先将所有分式的分子、分母利用因式分解公式（平方差、完全平方公式）或提取公因式法分解；②将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；③约去分子分母的公因式得到最简结果；④最后将给定的x值代入最简式计算即可。
【解析】
(1) 先对原式各部分因式分解，将除法转换为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} ÷ \frac{x-1}{x(x+1)}\\&=\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} × \frac{x(x+1)}{x-1}\\\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$后得化简结果$x$，将$x=\frac{1}{2026}$代入得：原式$=\frac{1}{2026}$。
(2) 先对原式各部分因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} · \frac{3x^2(x+3)}{x(x-3)}\\\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$(x-3)$、$(x+3)$、$x$后得化简结果$3x$，将$x=-\frac{1}{6}$代入得：原式$=3×(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 原式$=x$，当$x=\frac{1}{2026}$时，原式$=\frac{1}{2026}$；(2) 原式$=3x$，当$x=-\frac{1}{6}$时，原式$=-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法，正确将除法转化为乘法后约分，先化简再求值的思路能有效减少复杂计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
13 教材P147例3变式 把同样多的花种撒播在甲、乙两块土地上(如图①②),求甲、乙两块土地的撒播密度的比.若$a=\frac{5}{3}b$,则哪一块土地的撒播密度大(说明:甲地花种撒播部分是指边长为a的正方形内去掉一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分,撒播密度$=\frac{花种数量}{撒播面积}$)?
答案
13. 设花种数量为$m$. 由题意,得甲地的撒播密度是$\frac{m}{a^2−b^2}$,乙地的撒播密度是$\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}$. $\therefore$ 甲、乙两块土地的撒播密度的比为$\frac{m}{a^2−b^2}:\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}=\frac{a+b}{4(a−b)}$. 当$a=\frac{5}{3}b$时,原式$=1$. $\therefore$ 若$a=\frac{5}{3}b$,则甲、乙两块土地的撒播密度一样大
解析
【分析】
解题时首先根据撒播密度的定义，明确需要先求出甲、乙两块地的撒播面积，再设花种数量为参数m，分别表示出两块地的撒播密度，进而求出密度比；最后将$a=\frac{5}{3}b$代入比值中，根据计算结果判断密度大小关系。
【解析】
设花种数量为$m$。
1. 计算两块地的撒播密度：
甲地撒播面积为边长为$a$的正方形面积减去边长为$b$的正方形面积，即$S_甲=a^2-b^2$，因此甲地撒播密度为$\frac{m}{a^2-b^2}$；
乙地撒播面积为边长是$\frac{1}{2}(a+b)$的正方形面积，即$S_乙=[\frac{1}{2}(a+b)]^2=\frac{1}{4}(a+b)^2$，因此乙地撒播密度为$\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}$。
2. 计算撒播密度的比：
$\frac{m}{a^2-b^2}:\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}=\frac{m}{(a+b)(a-b)} ÷ \frac{4m}{(a+b)^2}$，利用平方差公式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，同时将除法转化为乘法，约去公因式$m$和$(a+b)$，化简得$\frac{a+b}{4(a-b)}$。
3. 代入$a=\frac{5}{3}b$求值：
将$a=\frac{5}{3}b$代入$\frac{a+b}{4(a-b)}$，得：
$\frac{\frac{5}{3}b + b}{4×(\frac{5}{3}b - b)}=\frac{\frac{8}{3}b}{4×\frac{2}{3}b}=\frac{\frac{8}{3}b}{\frac{8}{3}b}=1$，比值为1说明两块地撒播密度相等。
【答案】
甲、乙两块土地的撒播密度的比为$\frac{a+b}{4(a-b)}$；当$a=\frac{5}{3}b$时，甲、乙两块土地的撒播密度一样大。
【知识点】
分式的乘除运算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考查分式的相关运算，解题核心是正确理解撒播密度的定义，准确表示出两块地的面积，在化简分式时合理运用因式分解可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据撒播密度的定义，明确需要先求出甲、乙两块地的撒播面积，再设花种数量为参数m，分别表示出两块地的撒播密度，进而求出密度比；最后将$a=\frac{5}{3}b$代入比值中，根据计算结果判断密度大小关系。
【解析】
设花种数量为$m$。
1. 计算两块地的撒播密度：
甲地撒播面积为边长为$a$的正方形面积减去边长为$b$的正方形面积，即$S_甲=a^2-b^2$，因此甲地撒播密度为$\frac{m}{a^2-b^2}$；
乙地撒播面积为边长是$\frac{1}{2}(a+b)$的正方形面积，即$S_乙=[\frac{1}{2}(a+b)]^2=\frac{1}{4}(a+b)^2$，因此乙地撒播密度为$\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}$。
2. 计算撒播密度的比：
$\frac{m}{a^2-b^2}:\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}=\frac{m}{(a+b)(a-b)} ÷ \frac{4m}{(a+b)^2}$，利用平方差公式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，同时将除法转化为乘法，约去公因式$m$和$(a+b)$，化简得$\frac{a+b}{4(a-b)}$。
3. 代入$a=\frac{5}{3}b$求值：
将$a=\frac{5}{3}b$代入$\frac{a+b}{4(a-b)}$，得：
$\frac{\frac{5}{3}b + b}{4×(\frac{5}{3}b - b)}=\frac{\frac{8}{3}b}{4×\frac{2}{3}b}=\frac{\frac{8}{3}b}{\frac{8}{3}b}=1$，比值为1说明两块地撒播密度相等。
【答案】
甲、乙两块土地的撒播密度的比为$\frac{a+b}{4(a-b)}$；当$a=\frac{5}{3}b$时，甲、乙两块土地的撒播密度一样大。
【知识点】
分式的乘除运算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考查分式的相关运算，解题核心是正确理解撒播密度的定义，准确表示出两块地的面积，在化简分式时合理运用因式分解可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
