1 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$.
(1)当方程有两个相等的实数根时,求证:$b^2 =4c$;
(2)一个不透明的袋中装有除数字外完全相同的3个小球,分别标有数字1,2,4.现从袋中随机摸出一个小球,记录标有的数字为$b$,放回并摇匀,再随机摸出一个小球,记录标有的数字为$c$.请利用列表法或画树状图法求摸出的$b,c$值恰好使得方程$x^2 + bx + c =0$有两个相等的实数根的概率.

(1) $\because$方程$x^2 +bx +c=0$有两个相等的实数根，
$\therefore\Delta =b^2 -4×1× c =b^2 -4c=0$，$\therefore b^2=4c$。
(2) 画树状图如图：

共有9种等可能的结果，其中摸出的$b,c$值恰好使得方程$x^2 +bx +c=0$有两个相等的实数根（即$b^2=4c$）的结果有2种，$\therefore$摸出的$b,c$值恰好使得方程$x^2 +bx +c=0$有两个相等的实数根的概率为$\frac{2}{9}$。

2 某商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5。顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为$ω$，$ω$的值和享受的优惠如表所示。

(1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图(或列表法)求一次抽奖获得7折优惠的概率；
(2)若某顾客的购物金额为$a$元$(200＜a＜300)$，请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时$a$的取值范围。

(1) 根据题意，画树状图如图：

共有12种等可能的情况，其中一次抽奖获得7折优惠的有8种，则一次抽奖获得7折优惠的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
(2) 由题意得$a-66＞a×0.8×\frac{2}{12}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{2}{12}$，解得$a＞220$。$\because 200＜a＜300$，$\therefore 220＜a＜300$。

3(2025·常州二模)在学校开展的文化艺术节中，有一项活动通过游戏获奖.游戏规则如下:在两个不透明的布袋里共有完全相同的5张纸条，其中甲布袋里的2张纸条各写有一个函数表达式，分别为$y=3x-5$和$y=\frac{2}{x}$.乙布袋里的3张纸条上各写有一个点的坐标，分别为$A(2,1)$，$B(-1,-2)$，$C(1,-2)$.先从甲布袋里摸出一张纸条，再从乙布袋里摸出一张纸条，若摸出的点的坐标满足摸出的函数表达式，则获奖.
(1)在乙布袋里摸出纸条上是$B(-1,-2)$的概率是；
(2)求此游戏获奖的概率.

(1) $\frac{1}{3}$
(2) 列表如下：
| | $A$ | $B$ | $C$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=3x-5$ | $(y=3x-5,A)$ | $(y=3x-5,B)$ | $(y=3x-5,C)$ |
| $y=\frac{2}{x}$ | $(y=\frac{2}{x},A)$ | $(y=\frac{2}{x},B)$ | $(y=\frac{2}{x},C)$ |
共有6种等可能的结果，其中获奖的结果有：$(y=3x-5,A)$，$(y=3x-5,C)$，$(y=\frac{2}{x},A)$，$(y=\frac{2}{x},B)$，共4种，
$\therefore$此游戏获奖的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。