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9. 生活如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若$AB // CD$，$∠ 1 = 130°$，$∠ 3 = 35°$，则$∠ 2 =$
$85°$
。答案
9.$85°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先∠1和∠BAC是邻补角，和为180°，可先求出∠BAC的度数；再根据AB平行CD的条件，利用平行线内错角相等的性质得到∠ABC=∠3；最后结合三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ ∠1与∠BAC互为邻补角，∠1=130°
∴ ∠BAC = 180° - ∠1 = 180° - 130° = 50°
∵ AB // CD
∴ ∠ABC = ∠3 = 35°（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠2是△ABC的外角
∴ ∠2 = ∠BAC + ∠ABC = 50° + 35° = 85°
【答案】
$85°$
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的综合应用，难度适中，解题的关键是准确识别图形中的邻补角、内错角以及三角形外角，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先∠1和∠BAC是邻补角，和为180°，可先求出∠BAC的度数；再根据AB平行CD的条件，利用平行线内错角相等的性质得到∠ABC=∠3；最后结合三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ ∠1与∠BAC互为邻补角，∠1=130°
∴ ∠BAC = 180° - ∠1 = 180° - 130° = 50°
∵ AB // CD
∴ ∠ABC = ∠3 = 35°（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠2是△ABC的外角
∴ ∠2 = ∠BAC + ∠ABC = 50° + 35° = 85°
【答案】
$85°$
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的综合应用，难度适中，解题的关键是准确识别图形中的邻补角、内错角以及三角形外角，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
10. 生产一台起重机的工作简图如图所示，吊杆$OA_1$与吊绳的夹角为$80°$，在同一平面内，将$OA_1$绕点$O$逆时针旋转$45°$后到$OA_2$的位置，则吊杆$OA_2$与所连吊绳的夹角$α =$
$35°$
。答案
10.$35°$
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质确定已知角的度数：OA₁绕点O逆时针旋转45°到OA₂，可得∠A₂OC=45°；再观察图形可知，80°的角是△A₂OC的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知这个80°的外角等于45°与α的和，因此只需用80°减去45°即可求出α的度数。
【解析】
由旋转的性质可得：∠A₂OA₁=45°，
观察图形，△A₂OC中，点C处的80°角是三角形的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
可得：$80° = 45° + α$，
解得$α = 80° - 45° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
旋转的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合起重机的实际工作场景，考查了基础几何性质的应用，解题的关键是准确识别三角形的外角，理清已知角和未知角的数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质确定已知角的度数：OA₁绕点O逆时针旋转45°到OA₂，可得∠A₂OC=45°；再观察图形可知，80°的角是△A₂OC的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知这个80°的外角等于45°与α的和，因此只需用80°减去45°即可求出α的度数。
【解析】
由旋转的性质可得：∠A₂OA₁=45°，
观察图形，△A₂OC中，点C处的80°角是三角形的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
可得：$80° = 45° + α$，
解得$α = 80° - 45° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
旋转的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合起重机的实际工作场景，考查了基础几何性质的应用，解题的关键是准确识别三角形的外角，理清已知角和未知角的数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
11. 中国传统文化 为增强学生体质，感受我国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图②的数学问题：已知 $ AB // CD $，$ ∠ BAE = 75° $，$ ∠ DCE = 120° $，则$ ∠ E = $
$45°$
。答案
11.$45°$
解析
【分析】
这是结合平行线与三角形外角性质的角度计算问题，已知AB//CD，给出∠BAE和∠DCE的度数求∠E。我们可以通过延长DC构造三角形，利用平行线的性质得到同位角相等，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，就能直接推导求出∠E的度数，符合本节三角形外角的知识点应用逻辑。
【解析】
解：延长DC交AE于点F，
∵ $AB// CD$（已知），
∴ $∠ BAE = ∠ EFC = 75°$（两直线平行，同位角相等），
∵ $∠ DCE$是$△ ECF$的外角（外角定义），
∴ $∠ DCE = ∠ E + ∠ EFC$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
代入已知角度得：$∠ E = ∠ DCE - ∠ EFC = 120° - 75° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合非遗“抖空竹”的传统文化场景出题，兼具趣味性和实用性，核心考查辅助线构造、平行线与三角形外角性质的结合应用，掌握拐角类问题的辅助线构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是结合平行线与三角形外角性质的角度计算问题，已知AB//CD，给出∠BAE和∠DCE的度数求∠E。我们可以通过延长DC构造三角形，利用平行线的性质得到同位角相等，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，就能直接推导求出∠E的度数，符合本节三角形外角的知识点应用逻辑。
【解析】
解：延长DC交AE于点F，
∵ $AB// CD$（已知），
∴ $∠ BAE = ∠ EFC = 75°$（两直线平行，同位角相等），
∵ $∠ DCE$是$△ ECF$的外角（外角定义），
∴ $∠ DCE = ∠ E + ∠ EFC$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
代入已知角度得：$∠ E = ∠ DCE - ∠ EFC = 120° - 75° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合非遗“抖空竹”的传统文化场景出题，兼具趣味性和实用性，核心考查辅助线构造、平行线与三角形外角性质的结合应用，掌握拐角类问题的辅助线构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.(2024·毕节一模)将一副三角板按照如图方式摆放，点C，B，E共线，$∠ FEB = 63°$，则$∠ EDB$的度数为
$12°$
。答案
12.$12°$
解析
【分析】
首先明确一副三角板的固定角度：等腰直角三角板的锐角均为45°，含30°角的直角三角板的较小锐角为30°。要求∠EDB的度数，第一步先结合已知的∠FEB和三角板的∠DEF的度数，算出∠DEB的大小；第二步利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，结合∠ABC的度数即可求出∠EDB的度数。
【解析】
解：由三角板的特征可得：∠ABC=45°，∠DEF=30°。
∵∠FEB=63°，
∴∠DEB=∠FEB - ∠DEF=63°-30°=33°。
∵∠ABC是△BDE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ABC=∠EDB + ∠DEB，
∴∠EDB=∠ABC - ∠DEB=45°-33°=12°。
【答案】
$12°$
【知识点】
三角板角度特征、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是牢记三角板的固定角度，熟练运用三角形外角的性质建立角度之间的数量关系，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确一副三角板的固定角度：等腰直角三角板的锐角均为45°，含30°角的直角三角板的较小锐角为30°。要求∠EDB的度数，第一步先结合已知的∠FEB和三角板的∠DEF的度数，算出∠DEB的大小；第二步利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，结合∠ABC的度数即可求出∠EDB的度数。
【解析】
解：由三角板的特征可得：∠ABC=45°，∠DEF=30°。
∵∠FEB=63°，
∴∠DEB=∠FEB - ∠DEF=63°-30°=33°。
∵∠ABC是△BDE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ABC=∠EDB + ∠DEB，
∴∠EDB=∠ABC - ∠DEB=45°-33°=12°。
【答案】
$12°$
【知识点】
三角板角度特征、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是牢记三角板的固定角度，熟练运用三角形外角的性质建立角度之间的数量关系，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
13. 情境题 生活(教材P15例4变式)小欣在一次游戏活动中,从三角形的一个顶点A出发,沿三角形的三条边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,则他在行程中所转的各个角的度数和为 (
A.$90°$
B.$180°$
C.$360°$
D.$270°$
C
)A.$90°$
B.$180°$
C.$360°$
D.$270°$
答案
13.C
解析
【分析】
解题时需先将实际行走的转向问题转化为数学问题：小欣沿三角形行走时每次转向的角度，对应三角形的三个外角，题目要求的转向角度总和本质是求三角形的外角和，结合多边形外角和的相关定理即可求解。
【解析】
小欣从A点出发，沿三角形三条边行走、回到A点并转回出发方向的过程中，每次转向的角度恰好对应三角形的3个外角。根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和均为360°，因此三角形的外角和为360°，即他行程中所转各个角的度数和为360°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角和；多边形外角和定理
【点评】
本题结合生活情境考查外角和的实际应用，解题核心是将实际转向的角度对应到三角形的外角，把生活问题转化为熟悉的数学定理应用问题，易理解。
【难度系数】
0.7
解题时需先将实际行走的转向问题转化为数学问题：小欣沿三角形行走时每次转向的角度，对应三角形的三个外角，题目要求的转向角度总和本质是求三角形的外角和，结合多边形外角和的相关定理即可求解。
【解析】
小欣从A点出发，沿三角形三条边行走、回到A点并转回出发方向的过程中，每次转向的角度恰好对应三角形的3个外角。根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和均为360°，因此三角形的外角和为360°，即他行程中所转各个角的度数和为360°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角和；多边形外角和定理
【点评】
本题结合生活情境考查外角和的实际应用，解题核心是将实际转向的角度对应到三角形的外角，把生活问题转化为熟悉的数学定理应用问题，易理解。
【难度系数】
0.7
14.(教材P17习题T11变式)(2024·南明月考)
如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若$∠ B=30°$，$∠ BAC=80°$，求$∠ E$的度数.
如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若$∠ B=30°$，$∠ BAC=80°$，求$∠ E$的度数.
答案
14.$∠ ACD=∠ B+∠ BAC=30°+80°=110°,\because CE$ 是$∠ ACD$ 的平分线, $\therefore ∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×110°=55°,\therefore ∠ E=∠ ECD-∠ B=55°-30°=25°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先利用三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠B和∠BAC的度数，可先求出△ABC的外角∠ACD的度数；②再根据角平分线的定义，CE平分∠ACD，可求出∠ECD的度数；③最后∠ECD是△BCE的外角，再次利用三角形外角的性质，即可推导得出∠E的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD=∠ B+∠ BAC=30°+80°=110°$，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×110°=55°$，
又
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴$∠ ECD=∠ B+∠ E$，
∴$∠ E=∠ ECD-∠ B=55°-30°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是找准三角形的外角，明确外角和不相邻内角的数量关系，结合角平分线的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：①首先利用三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠B和∠BAC的度数，可先求出△ABC的外角∠ACD的度数；②再根据角平分线的定义，CE平分∠ACD，可求出∠ECD的度数；③最后∠ECD是△BCE的外角，再次利用三角形外角的性质，即可推导得出∠E的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD=∠ B+∠ BAC=30°+80°=110°$，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×110°=55°$，
又
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴$∠ ECD=∠ B+∠ E$，
∴$∠ E=∠ ECD-∠ B=55°-30°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是找准三角形的外角，明确外角和不相邻内角的数量关系，结合角平分线的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
15.(教材 P22 习题 T6 变式)如图,在$△ ABC$中, D 是 BC 边上一点,$∠ 1 = ∠ 2$, $∠ 3 = ∠ 4$, $∠ BAC = 69°$,求$∠ DAC$的度数.
答案
15.$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 3=∠ 4=∠ 1+∠ 2=2∠ 1,\because ∠ 2+∠ 4+∠ BAC=180°,\therefore ∠ 1+2∠ 1+69°=180°,$解得$∠ 1=37°,\therefore ∠ DAC=∠ BAC -∠ 1=69°-37°=32°$
解析
【分析】
解题时首先观察角的位置，发现∠3是△ABD的外角，可利用三角形外角的性质得到∠3与∠1、∠2的数量关系；再结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可将∠2和∠4都用∠1表示；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°的定理，代入已知∠BAC的度数列式求出∠1的度数，再通过角的和差关系计算∠DAC的度数即可。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1+∠2=2∠1，
又
∵∠3=∠4，
∴∠4=2∠1，
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠2+∠4+∠BAC=180°，
将∠2=∠1，∠4=2∠1，∠BAC=69°代入得：
∠1+2∠1+69°=180°，
解得：∠1=37°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠1=69°-37°=32°。
【答案】
32°
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型几何题，解题核心是利用三角形外角性质沟通不同三角形内角的数量关系，再结合内角和定理列方程求解，有助于锻炼逻辑推导和数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察角的位置，发现∠3是△ABD的外角，可利用三角形外角的性质得到∠3与∠1、∠2的数量关系；再结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，可将∠2和∠4都用∠1表示；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°的定理，代入已知∠BAC的度数列式求出∠1的度数，再通过角的和差关系计算∠DAC的度数即可。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1+∠2=2∠1，
又
∵∠3=∠4，
∴∠4=2∠1，
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠2+∠4+∠BAC=180°，
将∠2=∠1，∠4=2∠1，∠BAC=69°代入得：
∠1+2∠1+69°=180°，
解得：∠1=37°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠1=69°-37°=32°。
【答案】
32°
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型几何题，解题核心是利用三角形外角性质沟通不同三角形内角的数量关系，再结合内角和定理列方程求解，有助于锻炼逻辑推导和数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
