1. 如图,在$△ ABC$中,$P$是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线的交点.若$∠ P=2∠ A$,则$∠ A$的度数为 （）

A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

(第1题图)
(第2题图)

B

【分析】
本题可结合角平分线性质与三角形内角和定理推导∠P与∠A的数量关系，再结合已知条件∠P=2∠A列方程求解。首先根据角平分线的定义，将∠PBC、∠PCB用∠ABC、∠ACB表示，再在△PBC中利用内角和定理表示出∠P，最后结合△ABC的内角和将∠ABC+∠ACB替换为含∠A的式子，建立∠P和∠A的等量关系后代入已知条件计算即可。
【解析】
∵ P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点
∴ $∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△PBC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入上式得：
$∠ P=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ P=2∠ A$，代入得：
$2∠ A=90°+\frac{1}{2}∠ A$
移项计算得：$\frac{3}{2}∠ A=90°$，解得$∠ A=60°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线相关的基础题型，解题关键是利用角平分线性质和三角形内角和建立两个角的等量关系，熟练掌握这类双内角平分线的夹角公式可提升解题效率。
【难度系数】
0.7

2.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$O$，$D$是外角与内角平分线的交点，$E$是两外角平分线的交点.若$∠ BOC=120°$，则$∠ D$的度数为________，$∠ E$的度数为________.

30° 60°

【分析】
解题思路可分为三步：①先利用三角形内角平分线的夹角与∠A的关系，结合已知∠BOC=120°求出∠A的度数；②再根据内角与外角平分线的夹角和∠A的关系求出∠D的度数；③最后根据两外角平分线的夹角和∠A的关系求出∠E的度数。推导时可结合三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质逐步推导，也可直接使用常用的角平分线夹角模型简化计算。
【解析】
首先求∠A的度数：
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
在△BOC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
又
∵ 在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$，代入上式得：
$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ BOC=120°$，代入得：$120° = 90° + \frac{1}{2}∠ A$，解得$∠ A=60°$。
接下来求∠D的度数：
∵ BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角$∠ ACD$，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCA = \frac{1}{2}∠ ACD$
∵ $∠ ACD$是△ABC的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$
又
∵ $∠ DCA$是△DBC的外角，
∴ $∠ DCA = ∠ D + ∠ DBC$
代入得：$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ D + \frac{1}{2}∠ ABC$
化简消去$\frac{1}{2}∠ ABC$，得$∠ D = \frac{1}{2}∠ A = \frac{1}{2}×60° = 30°$。
最后求∠E的度数：
∵ E是△ABC两个外角平分线的交点，
∴ EB平分∠ABC的外角，EC平分∠ACB的外角，
两个外角的和为：$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - (180° - ∠ A) = 180° + ∠ A$
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}×(180° + ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
在△EBC中，由三角形内角和定理得：
$∠ E = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 180° - (90° + \frac{1}{2}∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
$30°$；$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型夹角计算问题，既可以通过基础的内角和、外角性质一步步推导计算，也可以记住三个常用的角平分线夹角结论快速解题，熟练掌握相关推导逻辑能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=∠ C,∠ ABC$的平分线与外角$∠ CAE$的平分线交于点$D$.
(1)求证:$AD// BC$;
(2)若$∠ BAC=36°$,求$∠ D$的度数.

解:(1)证明:
∵AD平分∠CAE,
∴∠CAE=2∠CAD.
∵∠CAE是△ABC的外角,∠ABC=∠C,
∴∠CAE=∠ABC+∠C=2∠C.
∴∠C=∠CAD.
∴AD//BC.
(2)解:
∵∠BAC=36°,
∴∠ABC=1/2(180°−∠BAC)=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=1/2∠ABC=36°.
∵AD//BC,
∴∠D=∠CBD=36°.

【分析】
(1)要证$AD// BC$，可通过证明内错角相等实现。首先根据角平分线定义得到$∠ CAE=2∠ CAD$，再结合三角形外角性质，$∠ CAE$是$△ ABC$的外角，且$∠ ABC=∠ C$，可推得$∠ CAE=2∠ C$，等量代换得到$∠ CAD=∠ C$，即可判定两直线平行。
(2)先利用三角形内角和定理，结合已知的$∠ BAC=36°$和$∠ ABC=∠ C$，求出$∠ ABC$的度数；再根据$BD$是$∠ ABC$的平分线，求出$∠ CBD$的度数；最后利用(1)的平行结论，根据平行线内错角相等即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
(1)证明:
$\because AD$平分$∠ CAE$,
$\therefore ∠ CAE=2∠ CAD$.
$\because ∠ CAE$是$△ ABC$的外角,$∠ ABC=∠ C$,
$\therefore ∠ CAE=∠ ABC+∠ C=2∠ C$.
$\therefore ∠ CAD=∠ C$,
$\therefore AD// BC$(内错角相等,两直线平行).
(2)解:
$\because $在$△ ABC$中,$∠ BAC=36°$,$∠ ABC=∠ C$,
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$.
$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×72°=36°$.
由(1)知$AD// BC$,
$\therefore ∠ D=∠ CBD=36°$(两直线平行,内错角相等).
【答案】
(1) $AD// BC$，证明成立；
(2) $∠ D=36°$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将三角形角的相关性质和平行线的判定、性质相结合，解题的核心是灵活运用角平分线、三角形内外角的关系找到相等的角，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图①，$∠ MON=90°$，点$A$，$B$分别在$OM$，$ON$上运动（不与点$O$重合）。
(1) 若$BC$是$∠ ABN$的平分线，$BC$的反向延长线与$∠ BAO$的平分线交于点$D$。
① 若$∠ BAO=60°$，则$∠ D$ 的度数为；
② 猜想：$∠ D$ 的度数是否随点$A$，$B$的移动发生变化？并说明理由；
(2) 如图②，若将“$∠ MON=90°$”改为“$∠ MON=α(0°＜α＜180°)$”，$∠ ABC=\frac{1}{n}∠ ABN$，$∠ BAD=\frac{1}{n}∠ BAO$，其余条件不变，求$∠ D$的度数。（用含$α$，$n$的代数式表示）

解:(1)①45°
②∠D的度数始终不变.理由如下:
∵AD平分∠BAO,
∴∠BAO=2∠BAD.
∵∠AOB=90°,
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2∠BAD.
∵BC平分∠ABN,
∴∠ABC=1/2∠ABN=45°+∠BAD.
∴∠D=∠ABC−∠BAD=45°+∠BAD−∠BAD=45°.
(2)设∠BAD=β.
∵∠BAD=1/n∠BAO,
∴∠BAO=nβ.
∵∠AOB=α,
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ.
∴∠ABC=1/n∠ABN=α/n +β.
∴∠D=∠ABC−∠BAD=α/n +β−β=α/n.

【分析】
本题可结合三角形外角性质与角平分线的定义求解：
1. 解决(1)①时，先根据已知角度求出∠ABN的度数，再结合角平分线定义分别计算∠BAD、∠ABC的度数，最后利用∠D=∠ABC-∠BAD即可得出结果；
2. 解决(1)②时，将∠BAD设为中间量，用含该量的式子分别表示∠BAO、∠ABN、∠ABC，推导后消去中间量即可判断∠D是否为定值；
3. 解决(2)时，仿照(1)的推导思路，将角平分线对应的$\frac{1}{2}$替换为$\frac{1}{n}$，结合∠MON=α推导即可得到∠D的表达式。
【解析】
(1)①已知∠BAO=60°，∠MON=90°，根据三角形外角性质，∠ABN=∠MON+∠BAO=90°+60°=150°。
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°；
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°；
∴∠D=∠ABC-∠BAD=75°-30°=45°。
②∠D的度数不随点A、B的移动发生变化，理由如下：
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2∠BAD。
∵∠AOB=90°，根据三角形外角性质，∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2∠BAD。
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABN=45°+∠BAD。
∴∠D=∠ABC−∠BAD=45°+∠BAD−∠BAD=45°，为定值。
(2)设∠BAD=β，
∵∠BAD=$\frac{1}{n}$∠BAO，
∴∠BAO=nβ。
∵∠AOB=α，根据三角形外角性质，∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ。
∵∠ABC=$\frac{1}{n}$∠ABN，
∴∠ABC=$\frac{1}{n}$(α+nβ)=$\frac{α}{n}$+β。
∴∠D=∠ABC−∠BAD=$\frac{α}{n}$+β−β=$\frac{α}{n}$。
【答案】
(1)①$\boxed{45°}$；②$∠ D$的度数不变，始终为$45°$；(2)$\boxed{∠ D=\dfrac{α}{n}}$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角平分线与三角形外角结合的典型规律探究题，解题的核心是熟练运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一性质，通过引入中间量推导可消去变量得到定值，掌握该类推导方法可快速解决同类型角度探究问题。
【难度系数】
0.7