1.(2024－2025·亳州期末)如图，若$OB=OC$，添加下列一个条件后，仍无法判定$△ BOD ≌ △ COE$的是 ()

A.$∠ B=∠ C$
B.$OD=OE$
C.$BD=CE$
D.$∠ AEB=∠ ADC$

1.C

【分析】
要判断添加哪个条件无法判定△BOD≌△COE，首先先找出两个三角形中已经存在的相等条件：由对顶角相等可得∠BOD=∠COE，题目已知OB=OC，即已有一组边相等、一组对应角相等。全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，SSA不能判定全等，我们只需逐一验证每个选项添加后是否符合判定定理即可。
【解析】
已知在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COE（对顶角相等），且OB=OC。
选项A：添加∠B=∠C，此时满足$\{\begin{array}{l}∠B=∠C\\ OB=OC\\∠BOD=∠COE\end{array} $，根据ASA可判定△BOD≌△COE，不符合题意；
选项B：添加OD=OE，此时满足$\{\begin{array}{l}OB=OC\\∠BOD=∠COE\\ OD=OE\end{array} $，根据SAS可判定△BOD≌△COE，不符合题意；
选项C：添加BD=CE，此时条件为OB=OC，BD=CE，∠BOD=∠COE，属于SSA的情况，SSA无法判定三角形全等，符合题意；
选项D：添加∠AEB=∠ADC，因为∠AEB+∠CEO=180°，∠ADC+∠BDO=180°，根据等角的补角相等可得∠BDO=∠CEO，此时满足$\{\begin{array}{l}∠BDO=∠CEO\\∠BOD=∠COE\\ OB=OC\end{array} $，根据AAS可判定△BOD≌△COE，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；对顶角的性质；等角的补角相等
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，需结合已知条件逐个分析选项，避免混淆判定定理。
【难度系数】
0.7

2.如图,已知$△ ABD≌△ CDB$,则下列结论不正确的是（）

A.$∠ ABD=∠ CBD$
B.$△ ABD$和$△ CDB$的周长相等
C.$AD=BC$
D.$△ ABD$和$△ CDB$的面积相等
（第2题图）
（第3题图）

2.A

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，且全等三角形的周长、面积均相等。首先根据全等的书写顺序确定两个三角形的对应顶点：△ABD≌△CDB说明对应顶点为A对应C，B对应D，D对应B，再逐一分析各选项：全等三角形周长、面积必然相等，可判断B、D正确；对应边AD对应BC，可判断C正确；∠ABD的对应角是∠CDB而非∠CBD，因此A选项结论不成立，即可得到答案。
【解析】
已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质逐一分析选项：
1. 全等三角形的周长相等、面积相等，因此B、D选项结论正确，不符合题意；
2. 全等三角形对应边相等，AD和BC是对应边，因此AD=BC，C选项结论正确，不符合题意；
3. 全等三角形对应角相等，∠ABD的对应角为∠CDB，而非∠CBD，因此无法推出∠ABD=∠CBD，A选项结论错误，符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等；全等三角形周长与面积相等
【点评】
本题考查全等三角形性质的基础应用，解题的核心是根据全等三角形的书写顺序准确找到对应边、对应角，避免因混淆对应元素出错。
【难度系数】
0.8

3.如图,已知四边形ABDC.
(1)已知∠1=∠2,如果想用“SAS”证明△ABD≌△ACD,那么应补充的一个条件是;
(2)已知AB=AC,如果想用“SSS”证明△ABD≌△ACD,那么应补充的一个条件是;
(3)已知∠1=∠2,如果想用“ASA”证明△ABD≌△ACD,那么应补充的一个条件是;
(4)已知∠1=∠2,如果想用“AAS”证明△ABD≌△ACD,那么应补充的一个条件是.

3.(1)$BD=CD$ (2)$BD=CD$ (3)$∠BAD=∠CAD$ (4)$∠B=∠C$

【分析】
解答本题首先要明确△ABD和△ACD存在公共边AD，即AD=AD是隐含的相等条件，再结合各小问给出的已知条件和要求的全等判定定理，推导缺少的对应相等条件即可：
1. SAS判定要求两边及其夹角对应相等，已知夹角∠1=∠2、一组边AD=AD，只需补充夹角的另一组邻边相等；
2. SSS判定要求三组边对应相等，已知AB=AC、一组边AD=AD，只需补充第三组边相等；
3. ASA判定要求两角及其夹边对应相等，已知一组角∠1=∠2、夹边AD=AD，只需补充夹边的另一组邻角相等；
4. AAS判定要求两角及其中一角的对边对应相等，已知一组角∠1=∠2、一组边AD=AD，只需补充另一组对应角相等。
【解析】
△ABD和△ACD中，公共边AD=AD。
(1) 要使用“SAS”证明△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD为公共边，需补充∠1和∠2的另一组邻边相等，即BD=CD，此时满足BD=CD，∠1=∠2，AD=AD，符合SAS判定条件；
(2) 要使用“SSS”证明△ABD≌△ACD，已知AB=AC，AD为公共边，需补充第三组边相等，即BD=CD，此时满足AB=AC，AD=AD，BD=CD，符合SSS判定条件；
(3) 要使用“ASA”证明△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD为公共边，需补充AD的另一组邻角相等，即∠BAD=∠CAD，此时满足∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠1=∠2，符合ASA判定条件；
(4) 要使用“AAS”证明△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD为公共边，需补充另一组对应角相等，即∠B=∠C，此时满足∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，符合AAS判定条件。
【答案】
(1)$BD=CD$；(2)$BD=CD$；(3)$∠BAD=∠CAD$；(4)$∠B=∠C$
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形SSS判定；全等三角形ASA与AAS判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查全等三角形各类判定定理的应用，解题的关键是先挖掘出公共边相等的隐含条件，再结合已知条件对照对应判定定理的要求补充缺失条件，日常学习中要熟练掌握不同判定定理的条件差异，避免混淆。
【难度系数】
0.8

4.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中有对全等三角形。

（第4题图）
（第5题图）

4.3

【分析】
我们结合已知条件和全等三角形判定定理，按从易到难的顺序排查全等三角形：首先利用OP是角平分线、OA=OB和公共边OP，可判定第一组全等三角形；再利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合公共边OP可判定第二组直角三角形全等；最后利用第一组全等得到的对应边相等，结合角平分线的性质可判定第三组直角三角形全等，最终统计对数即可。
【解析】
我们逐对证明全等三角形：
1. $△ AOP ≌ △ BOP$
∵OP平分$∠ MON$，
∴$∠ AOP=∠ BOP$
在$△ AOP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases}OA=OB(\mathrm{已知})\\∠ AOP=∠ BOP(\mathrm{角平分线定义})\\OP=OP(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ AOP ≌ △ BOP(\mathrm{SAS})$
2. $△ EOP ≌ △ FOP$
∵OP平分$∠ MON$，$PE⊥ OM$，$PF⊥ ON$
∴$PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ PEO=∠ PFO=90°$
在$\mathrm{Rt}△ EOP$和$\mathrm{Rt}△ FOP$中：
$\begin{cases}OP=OP(\mathrm{公共边})\\PE=PF(\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ EOP ≌ \mathrm{Rt}△ FOP(\mathrm{HL})$
3. $△ AEP ≌ △ BFP$
由$△ AOP ≌ △ BOP$可得$AP=BP$
在$\mathrm{Rt}△ AEP$和$\mathrm{Rt}△ BFP$中：
$\begin{cases}AP=BP(\mathrm{已证})\\PE=PF(\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ AEP ≌ \mathrm{Rt}△ BFP(\mathrm{HL})$
综上共有3对全等三角形。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题解题的关键是结合已知条件有序排查全等三角形，计数时注意不要遗漏也不要重复，同时要熟练掌握全等三角形的各类判定定理。
【难度系数】
0.7

5.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB//DE,BF=EC.有下列条件:①AB=DE;②AC=DF;③∠A=∠D;④AC//DF.添加其中一个条件后,可以判定$△ ABC≌△ DEF$的是.(填序号)

5.①③④

【分析】
首先从已知条件入手：由AB//DE可推出一组内错角∠B=∠E；由BF=EC，两边同时加上公共线段FC，可推出BC=EF，此时我们已经得到△ABC和△DEF有一组对应角相等、一组对应边相等。接下来只需逐一判断每个添加的条件是否符合全等三角形的SAS、ASA、AAS、SSS判定定理，即可得出结果，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
解：先推导已知可得的相等量：
1.
∵AB//DE，
∴∠B=∠E（两直线平行，内错角相等）；
2.
∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF。
现在已有条件：∠B=∠E，BC=EF，逐一验证添加条件：
①添加AB=DE：
在△ABC和△DEF中，$\{\begin{array}{l}AB=DE\\ ∠ B=∠ E\\ BC=EF\end{array} $，满足SAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，故①符合；
②添加AC=DF：
此时条件为AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，属于SSA，不能判定三角形全等，故②不符合；
③添加∠A=∠D：
在△ABC和△DEF中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ ∠ B=∠ E\\ BC=EF\end{array} $，满足AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，故③符合；
④添加AC//DF：
∵AC//DF，
∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等），
在△ABC和△DEF中，$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ E\\ BC=EF\\ ∠ ACB=∠ DFE\end{array} $，满足ASA判定定理，可证△ABC≌△DEF，故④符合。
综上，可判定全等的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
全等三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定的灵活应用，解题的关键是先根据已知条件推导出已有的相等边和角，再结合添加的条件对照判定定理验证，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.7

6.如图,点E在△ABC的边AC上.有下列四个选项:①$AE=BC$;②$AD// BC$;③$∠ D=∠ BAC$;④$DE=AB$.请你从中选择三个作为条件,余下的一个作为结论,写出一个真命题,并加以证明.

6.解:答案不唯一,如:真命题:条件:①②③,结论:④.证明如下:
$\because AD// BC,\therefore ∠C=∠DAE$. 在$△ ABC$和$△ DEA$中, $\because \begin{cases}∠BAC=∠D,\\∠C=∠DAE,\\BC=EA,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DEA(\mathrm{AAS}).\therefore DE=AB.$

【分析】
本题为开放性几何题，核心是利用全等三角形的判定与性质构造真命题。解题思路可参考如下：首先观察条件，②$AD// BC$能推导角相等，是很好的入手点：由平行线的内错角相等可得$∠C=∠DAE$，此时再搭配角的条件③$∠D=∠BAC$，已经得到两组对应角相等，只需再补充一组对边相等的条件即可判定三角形全等，若选①$AE=BC$，即可通过AAS证明$△ ABC≌△ DEA$，最后根据全等三角形对应边相等，就能得到结论④$DE=AB$。也可尝试其他满足全等判定规则的条件组合。
【解析】
答案不唯一，示例如下：
真命题：条件为①$AE=BC$、②$AD// BC$、③$∠D=∠BAC$，结论为④$DE=AB$。
证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠C=∠DAE$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEA$中：
$\begin{cases}∠BAC=∠D \\∠C=∠DAE \\BC=AE\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEA(\mathrm{AAS})$
$\therefore DE=AB$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
答案不唯一，如：选择条件①②③，可推出结论④，证明见解析。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于开放性几何证明题，需要结合已知条件灵活选择全等的判定组合，既考查了对平行线性质、全等三角形判定及性质的掌握程度，也锻炼了逻辑推理能力和条件整合能力。
【难度系数】
0.6