1.如图1,在正方形ABCD中,点E为AD边上一点,连接BE,点M在CD边上运动.
(1)如图2,当点M和点C重合时,过点M作BE的垂线,垂足为点P,交直线AB于点N.请直接写出MN与BE的数量关系:.
(2)如图3,当点M在CD边上运动时,过点M作BE的垂线,垂足为点P,交直线AB于点N,(1)中的结论成立吗?请说明理由.
(3)如图4,当点M在CD边上运动时,N为直线AB上一点,若MN=BE,请问MN是否始终垂直于BE?请说明理由.

(1)MN=BE.
(2)成立.理由如下:
如图,过N作NH⊥CD于H,交BE于K,则∠NHD=90°,

∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=DA,
∴ 四边形ADHN是矩形,
∴ HN=DA=AB,∠ANH=∠BNH=90°,
∵ MN⊥BE,
∴ ∠NPB=90°,
∴ ∠PNK+∠PKN=∠ABK+∠PKN=90°,
∴ ∠PNK=∠ABK,
在△ABE和△HNM中,
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠HNM,\\ AB=HN,\\ ∠BAE=∠NHM,\end{array} $
∴ △ABE≌△HNM(ASA),
∴ MN=BE.
(3)MN不能始终垂直于BE.
理由:如图,当N点在M点左侧时,过N作NH⊥CD于H,交BE于K,设MN与BE交于P,
∴ ∠NHD=90°,

∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=DA,
∴ 四边形ADHN是矩形,
∴ HN=DA=AB,∠ANH=∠BNH=90°,
∴ ∠EBA+∠BKN=90°,
在Rt△ABE和Rt△HNM中,
$\{\begin{array}{l}BE=NM,\\ AB=HN,\end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△HNM(HL),
∴ ∠MNH=∠EBA,
∴ ∠MNH+∠BKN=90°,
∴ ∠NPK=90°,
∴ MN⊥BE.
如图,当点N'在点M右侧,MN=MN'时,
∵ MN⊥BE,
∴ MN'一定不垂直于BE.
故MN不能始终垂直于BE.

【分析】
(1) 当点M与C重合时，结合正方形边、角的性质，可直接判断MN与BE的数量关系；
(2) 要证明一般情况下MN=BE，优先考虑全等三角形：过N作NH⊥CD构造辅助线，先证明四边形ADHN是矩形，得到HN=AB，再结合MN⊥BE的条件推导角相等，利用ASA证明△ABE和△HNM全等，即可得到对应边相等；
(3) 探究“MN=BE时是否一定垂直”需分类讨论：当N在M左侧时可通过HL证全等得到垂直，但过M作长度等于BE的线段与直线AB有两个交点，另一个交点对应的线段不与BE垂直，因此结论不始终成立。
【解析】
(1) 根据正方形性质可直接得MN=BE；
(2) 成立.理由如下:
如图,过N作NH⊥CD于H,交BE于K,则∠NHD=90°,

∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=DA,
∴ 四边形ADHN是矩形,
∴ HN=DA=AB,∠ANH=∠BNH=90°,
∵ MN⊥BE,
∴ ∠NPB=90°,
∴ ∠PNK+∠PKN=∠ABK+∠PKN=90°,
∴ ∠PNK=∠ABK,
在△ABE和△HNM中,
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠HNM,\\ AB=HN,\\ ∠BAE=∠NHM,\end{array} $
∴ △ABE≌△HNM(ASA),
∴ MN=BE.
(3) MN不能始终垂直于BE.
理由:当N点在M点左侧时,过N作NH⊥CD于H,交BE于K,设MN与BE交于P,
∴ ∠NHD=90°,

∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=DA,
∴ 四边形ADHN是矩形,
∴ HN=DA=AB,∠ANH=∠BNH=90°,
∴ ∠EBA+∠BKN=90°,
在Rt△ABE和Rt△HNM中,
$\{\begin{array}{l}BE=NM,\\ AB=HN,\end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△HNM(HL),
∴ ∠MNH=∠EBA,
∴ ∠MNH+∠BKN=90°,
∴ ∠NPK=90°,
∴ MN⊥BE.
当点N'在点M右侧,MN=MN'时,
∵ MN⊥BE,
∴ MN'一定不垂直于BE.
故MN不能始终垂直于BE.

【答案】
(1) $\boldsymbol{MN=BE}$
(2) 成立，理由见解析；
(3) MN不能始终垂直于BE，理由见解析。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是正方形背景下的线段关系探究题，从特殊情形延伸到一般情形，既考查了几何辅助线的构造、全等三角形的证明，又在第三问渗透了分类讨论思想，能有效锻炼逻辑推理能力和思维的缜密性。
【难度系数】
0.6

2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,正方形A'B'C'D'的顶点A'与点O重合,边A'B'交BC于点E,边A'D'交CD于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若正方形ABCD的边长为1,则两个正方形重叠部分的面积为.
(3)在(2)的条件下,若正方形A'B'C'D'绕着点O旋转,则EF的长度何时最小?最小值是多少?请说明理由.

(1)证明:
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,OB=OC.
∵ 四边形A'B'C'D'为正方形,
∴ ∠EOF=90°,
∴ ∠BOE=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC=∠COF,
在△OBE和△OCF中,
$\{\begin{array}{l}∠BOE=∠COF,\\ OB=OC,\\ ∠OBC=∠OCF,\end{array} $
∴ △OBE≌△OCF(ASA),
∴ OE=OF.
(2)
∵ △BOE≌△COF,
∴ $S_{△BOE}=S_{△COF}$,
∴ $S_{△EOC}+S_{△COF}=S_{△EOC}+S_{△BOE}$,即 $S_{四边形OECF}=S_{△BOC}$,
∵ 正方形ABCD的边长为1,
∴ 正方形ABCD的面积为1,
∴ $S_{△BOC}=\frac{1}{4}$,
∴ 两个正方形重叠部分的面积为$\frac{1}{4}$.
(3)当OE⊥BC时,EF的长度最小,最小为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
理由如下:连接EF,

∵ ∠EOF=90°,
∴ $EF^2=OE^2+OF^2$,
∵ OE=OF,
∴ $EF=\sqrt{2}OE$,
∵ 当OE⊥BC时,OE的长度最小,
∴ 此时EF的长度最小.
当OE⊥BC时,$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$,
∴ $EF=\sqrt{2}OE=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
综上,当OE⊥BC时,EF的长度最小,最小为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

【分析】
(1) 要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。结合正方形的性质可得OB=OC，∠OBC=∠OCF=45°，∠BOC=∠EOF=90°，通过角的和差关系推出∠BOE=∠COF，即可利用ASA证明△OBE≌△OCF，从而得到OE=OF。
(2) 求重叠部分的面积时，可利用(1)中全等三角形的面积相等的性质，将重叠部分的面积转化为△BOC的面积，而△BOC的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{4}$，代入边长即可计算出结果。
(3) 求EF的最小值，先结合∠EOF=90°且OE=OF，利用勾股定理可得$EF=\sqrt{2}OE$，因此要使EF最小，只需OE最小；根据垂线段最短可知，当OE⊥BC时OE长度最小，代入计算即可得到EF的最小值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC。
∵ 四边形A'B'C'D'为正方形，
∴ ∠EOF=90°，
∴ ∠BOE=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC=∠COF，
在△OBE和△OCF中，
$\begin{cases}∠BOE=∠COF, \\OB=OC, \\∠OBC=∠OCF,\end{cases}$
∴ △OBE≌△OCF(ASA)，
∴ OE=OF。
(2) 解：
∵ △BOE≌△COF，
∴ $S_{△BOE}=S_{△COF}$，
∴ $S_{△EOC}+S_{△COF}=S_{△EOC}+S_{△BOE}$，即 $S_{四边形OECF}=S_{△BOC}$，
∵ 正方形ABCD的边长为1，
∴ 正方形ABCD的面积为$1×1=1$，
∴ $S_{△BOC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}$，
即两个正方形重叠部分的面积为$\frac{1}{4}$。
(3) 解：当OE⊥BC时，EF的长度最小，最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，理由如下：
连接EF，

∵ ∠EOF=90°，
∴ 由勾股定理得$EF^2=OE^2+OF^2$，
∵ OE=OF，
∴ $EF=\sqrt{OE^2+OE^2}=\sqrt{2}OE$，
根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE的长度最小，
此时$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，
∴ $EF=\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，当OE⊥BC时，EF的长度最小，最小为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立，OE=OF；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；
(3) 当OE⊥BC时EF长度最小，最小值为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短
【点评】
本题是正方形旋转类的典型题目，将全等证明、面积转化、最值求解结合考查，解题时需要灵活运用转化思想，将未知问题转化为已学的全等、垂线段最短等知识解决，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7