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8. 原创题 教材变式 下列函数中，y一定是x的反比例函数的有（
①$x(y - 1) = 6$；②$y = \frac{\sqrt{2}}{2x}$；③$y = \frac{a}{x}$；④$y = \frac{x}{3}$；
⑤$y = \frac{1}{|x|}$；⑥$3y = -x^{-1}$；⑦$y = \frac{1}{x - 1}$；⑧$y = \frac{2 - x}{x}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$x(y - 1) = 6$；②$y = \frac{\sqrt{2}}{2x}$；③$y = \frac{a}{x}$；④$y = \frac{x}{3}$；
⑤$y = \frac{1}{|x|}$；⑥$3y = -x^{-1}$；⑦$y = \frac{1}{x - 1}$；⑧$y = \frac{2 - x}{x}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B 解析:②⑥是反比例函数.
归纳总结 反比例函数的三种形式($k$ 为常数,且 $k≠0$):$y=\frac{k}{x}$,$xy=k$,$y=kx^{-1}$.
归纳总结 反比例函数的三种形式($k$ 为常数,且 $k≠0$):$y=\frac{k}{x}$,$xy=k$,$y=kx^{-1}$.
9. (枣庄中考)从-1,2,3,-6这四个数中任取两数,分别记为m,n,那么点$(m,n)$在函数$y=\frac{6}{x}$图象上的概率是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
B
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
B 解析:
∵ 点$(m,n)$在函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上,$\therefore mn=6$,$mn$的值为 6 的概率是 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
∵ 点$(m,n)$在函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上,$\therefore mn=6$,$mn$的值为 6 的概率是 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
10.（教材变式）若y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，比例系数都为3，则y关于z的函数解析式为
$y=\dfrac{1}{z}$
。答案
$y=\frac{1}{z}$ 解析:
∵ $y$ 是 $x$ 的反比例函数,$x$ 是 $z$ 的正比例函数,比例系数都为 3,$\therefore y=\frac{3}{x}$,$x=3z$,$\therefore y=\frac{3}{3z}=\frac{1}{z}$.
∵ $y$ 是 $x$ 的反比例函数,$x$ 是 $z$ 的正比例函数,比例系数都为 3,$\therefore y=\frac{3}{x}$,$x=3z$,$\therefore y=\frac{3}{3z}=\frac{1}{z}$.
11. 改编题 若反比例函数$y=(m-1) · x^{|m|-2}$的函数值为$\frac{1}{3}$，则自变量$x$的值是
$-6$
。答案
$-6$ 解析:
∵ $y=(m-1)·x^{|m|-2}$是反比例函数,$\therefore |m|-2=-1$,$m-1≠0$,$\therefore m=-1$,$\therefore y=-\frac{2}{x}$.当 $y=\frac{1}{3}$ 时,解得 $x=-6$.
∵ $y=(m-1)·x^{|m|-2}$是反比例函数,$\therefore |m|-2=-1$,$m-1≠0$,$\therefore m=-1$,$\therefore y=-\frac{2}{x}$.当 $y=\frac{1}{3}$ 时,解得 $x=-6$.
12. 已知函数$y=(m^2 - m)x^{m^2 - 3m + 1}$。
(1)当$m$为何值时,此函数是正比例函数?
(2)当$m$为何值时,此函数是反比例函数?
(3)当$m$为何值时,此函数是二次函数?
(1)当$m$为何值时,此函数是正比例函数?
(2)当$m$为何值时,此函数是反比例函数?
(3)当$m$为何值时,此函数是二次函数?
答案
(1)由 $y=(m^2 - m)x^{m^2 - 3m + 1}$ 是正比例函数,得 $m^2-3m+1=1$且 $m^2-m≠0$,解得 $m=3$,所以当 $m=3$ 时,此函数是正比例函数.
(2)由 $y=(m^2 - m)x^{m^2 - 3m + 1}$ 是反比例函数,得 $m^2-3m+1=-1$且 $m^2-m≠0$,解得 $m=2$,所以当 $m=2$ 时,此函数是反比例函数.
(3)由 $y=(m^2 - m)x^{m^2 - 3m + 1}$ 是二次函数,得 $m^2-3m+1=2$ 且$m^2-m≠0$,解得 $m=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$,所以当 $m=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$ 时,此函数是二次函数.
(2)由 $y=(m^2 - m)x^{m^2 - 3m + 1}$ 是反比例函数,得 $m^2-3m+1=-1$且 $m^2-m≠0$,解得 $m=2$,所以当 $m=2$ 时,此函数是反比例函数.
(3)由 $y=(m^2 - m)x^{m^2 - 3m + 1}$ 是二次函数,得 $m^2-3m+1=2$ 且$m^2-m≠0$,解得 $m=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$,所以当 $m=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$ 时,此函数是二次函数.
13. 定义:$[a,b]$为反比例函数$y=\frac{a}{bx}(ab≠0,a,b为实数)$的“关联数”.反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的“关联数”为$[m,m+2]$,反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的“关联数”为$[m+1,m+3]$.若$m＞0$,则$k_1$与$k_2$的大小关系为 (
A.$k_1=k_2$
B.$k_1＞k_2$
C.$k_1＜k_2$
D.无法比较
C
)A.$k_1=k_2$
B.$k_1＞k_2$
C.$k_1＜k_2$
D.无法比较
答案
C 解析:根据题意,得$\begin{cases} k_1=\frac{m}{m+2}, \\ k_2=\frac{m+1}{m+3}, \end{cases}$$\because m＞0$,$\therefore k_1-k_2=\frac{m}{m+2}-\frac{m+1}{m+3}=\frac{m^2+3m-m^2-3m-2}{(m+2)(m+3)}=-\frac{2}{(m+2)(m+3)}＜0$,$\therefore k_1＜k_2$.
14. 将$x=\frac{2}{3}$代入函数$y=-\frac{1}{x}$中,所得的函数值记为$y_1$,又将$x=y_1+1$代入函数$y=-\frac{1}{x}$中,所得的函数值记为$y_2$,再将$x=y_2+1$代入函数$y=-\frac{1}{x}$中,所得的函数值记为$y_3$,如此继续下去,$y_{199}=$
$-\dfrac{3}{2}$
.答案
$-\frac{3}{2}$ 解析:
∵ $y_1=-\frac{3}{2}$,$y_2=2$,$y_3=-\frac{1}{3}$,$y_4=-\frac{3}{2}$,$···$,$\therefore$ 每3 次计算结果为一个循环组依次循环.$\because 199÷3=66······1$,$\therefore y_{199}=-\frac{3}{2}$.
∵ $y_1=-\frac{3}{2}$,$y_2=2$,$y_3=-\frac{1}{3}$,$y_4=-\frac{3}{2}$,$···$,$\therefore$ 每3 次计算结果为一个循环组依次循环.$\because 199÷3=66······1$,$\therefore y_{199}=-\frac{3}{2}$.
15. 教材变式 已知函数$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$x^2+2$成正比例关系，$y_2$与$x-2$成反比例关系，且当$x=1$时，$y=6$；当$x=-1$时，$y=8$。
(1)求$y$与$x$的函数解析式；
(2)当$x=5$时，求$y$的值。
(1)求$y$与$x$的函数解析式；
(2)当$x=5$时，求$y$的值。
答案
(1)
∵ $y_1$ 与 $x^2+2$ 成正比例关系,$\therefore$ 设 $y_1=k_1(x^2+2)(k_1≠0)$.
∵ $y_2$ 与 $x-2$ 成反比例关系,$\therefore$ 设 $y_2=\frac{k_2}{x-2}(k_2≠0)$,$\therefore y=y_1+y_2=k_1(x^2+2)+\frac{k_2}{x-2}$.
∵ 当 $x=1$ 时,$y=6$; 当 $x=-1$ 时,$y=8$,
$\therefore \begin{cases} 6=3k_1-k_2, \\ 8=3k_1-\frac{1}{3}k_2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=3, \\ k_2=3, \end{cases}$ $\therefore y=3(x^2+2)+\frac{3}{x-2}$.
(2)当 $x=5$ 时,$y=3×(25+2)+\frac{3}{5-2}=82$.
∵ $y_1$ 与 $x^2+2$ 成正比例关系,$\therefore$ 设 $y_1=k_1(x^2+2)(k_1≠0)$.
∵ $y_2$ 与 $x-2$ 成反比例关系,$\therefore$ 设 $y_2=\frac{k_2}{x-2}(k_2≠0)$,$\therefore y=y_1+y_2=k_1(x^2+2)+\frac{k_2}{x-2}$.
∵ 当 $x=1$ 时,$y=6$; 当 $x=-1$ 时,$y=8$,
$\therefore \begin{cases} 6=3k_1-k_2, \\ 8=3k_1-\frac{1}{3}k_2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=3, \\ k_2=3, \end{cases}$ $\therefore y=3(x^2+2)+\frac{3}{x-2}$.
(2)当 $x=5$ 时,$y=3×(25+2)+\frac{3}{5-2}=82$.
