1. 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,…，顶点依次用$A_1,A_2,A_3,A_4,\dots$表示，则顶点$A_{2027}$的坐标是（）


A.$(507,507)$
B.$(507,-507)$
C.$(-507,507)$
D.$(-507,-507)$

1.A

【分析】
首先观察点的排列规律，发现每4个点为一个循环周期，对应一个正方形的4个顶点，分别在四个象限，且点的横纵坐标绝对值与下标存在固定对应关系。解题时先计算2027除以4的余数，确定$A_{2027}$所在象限，再计算对应坐标的绝对值，即可得到坐标。
【解析】
观察点的排列特征可总结规律：
1. 每4个顶点为一组，对应一个正方形的四个顶点，下标除以4的余数对应点的位置：
余数为1时，点在第三象限，坐标为$(-k,-k)$；
余数为2时，点在第二象限，坐标为$(-k,k)$；
余数为3时，点在第一象限，坐标为$(k,k)$；
余数为0（整除）时，点在第四象限，坐标为$(k,-k)$。
2. 计算$2027÷4=506······3$，余数为3，说明$A_{2027}$在第一象限，横纵坐标均为正。
3. 计算$k$值：$k=(2027+1)÷4=507$，即横纵坐标均为507，因此$A_{2027}$的坐标为$(507,507)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 点的坐标规律
2. 周期规律探究
【点评】
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，解题核心是找到点的下标与所在象限、坐标数值的对应关系，掌握周期分组的方法即可快速求解，是规律类的常考题型。
【难度系数】
0.65

2. 在平面直角坐标系中，对$ P(x,y) $作变换得到$ P'(-y+1,x+1) $，例如：$ A_1(3,2) $作上述变换得到$ A_2(-1,4) $，再将$ A_2 $作上述变换得到$ A_3(-3,0) $，这样依次得到$ A_1,A_2,A_3,\dots,A_n,\dots $，则$ A_{2027} $的坐标为（）

A.$(-1,4)$
B.$(3,2)$
C.$(-3,0)$
D.$(1,-2)$

2.C 【点拨】根据题意得 $A_1(3,2),A_2(-1,4),A_3(-3,0),A_4(1,-2),A_5(3,2),\dots$,则可知每4次一循环.因为 $2\ 027=506×4+3$,所以 $A_{2027}$ 的坐标为 $(-3,0)$.

【分析】
解决这类坐标变换求第n个点坐标的问题，首先要明确题目给出的坐标变换规则，先依次计算出前若干个点的坐标，观察是否存在周期循环规律；找到循环周期后，用n除以周期得到余数，根据余数即可判断第n个点的坐标和周期内第几个点的坐标一致。
【解析】
根据题意给出的变换规则：点$P(x,y)$变换后得到$P'(-y+1,x+1)$，已知$A_1(3,2)$，依次计算后续点的坐标：
$A_2(-2+1,3+1)=(-1,4)$，
$A_3(-4+1,-1+1)=(-3,0)$，
$A_4(-0+1,-3+1)=(1,-2)$，
$A_5(-(-2)+1,1+1)=(3,2)$，
可见$A_5$与$A_1$坐标相同，说明每4次变换为一个循环周期。
计算2027除以周期4的结果：$2027=506×4+3$，余数为3，即$A_{2027}$的坐标与周期内第3个点$A_3$的坐标相同，为$(-3,0)$。
【答案】
C
【知识点】
坐标变换规律，周期循环问题，规律探究
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的坐标变化规律探究题，解题核心是通过计算前几个点的坐标确定循环周期，再结合余数定位对应点的坐标，计算过程中要注意坐标变换的运算准确性，避免因计算错误搞错周期。
【难度系数】
0.7

3. 一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第1秒时，它从原点运动到(0,1)，然后接着按下图中箭头所示方向运动，即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…且每秒运动1个单位长度，那么第30秒时该点所在位置的坐标是（）


A.(0,5)
B.(5,5)
C.(0,11)
D.(11,11)

3.B 【点拨】由题意可知,该点运动的速度是1个单位长度/秒,到达(1,0)时用了3秒,到达(2,0)时用了4秒,从(2,0)到(0,2)有4个单位长度,则到达(0,2)时用了4+4=8(秒),到达(0,3)时用了9秒;从(0,3)到(3,0)有6个单位长度,则到达(3,0)时用了9+6=15(秒);以此类推,到达(4,0)时用了16秒,到达(0,4)时用了16+8=24(秒),到达(0,5)时用了25秒,到达(5,5)时用了25+5=30(秒),所以第30秒时该点所在位置的坐标为(5,5).

【分析】
解题时首先明确点的运动速度为每秒1个单位长度，我们可以先从点运动到坐标轴的特殊位置入手总结规律：观察发现时间为n²秒时，若n是奇数，点在(0,n)处，若n是偶数，点在(n,0)处。接下来找到接近30的平方数为25=5²，5是奇数，说明第25秒时点在(0,5)处，之后点沿水平方向向右运动，y坐标保持5不变，计算剩余时间对应的运动距离即可得到30秒时点的坐标。
【解析】
解：由题意可知点的运动速度为1个单位长度/秒：
1. 到达(2,0)时用时4=2²秒，n=2为偶数，符合偶数平方时在(n,0)的规律；到达(0,3)时用时9=3²秒，n=3为奇数，符合奇数平方时在(0,n)的规律；到达(4,0)时用时16=4²秒，到达(0,5)时用时25=5²秒，均符合上述规律。
2. 第25秒时点在(0,5)处，之后点向右运动，y坐标保持5不变，剩余时间为30-25=5秒，点向右运动5个单位长度，x坐标变为0+5=5。
因此第30秒时该点坐标为(5,5)。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标规律；图形变化探究
【点评】
本题是典型的坐标系规律探究题，解题核心是先归纳出点运动到坐标轴特殊位置的时间规律，再结合运动方向推导目标时间对应的点坐标，能有效锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图,动点 $ P $ 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点$(-1,1)$,第2次接着运动到点$(-2,0)$,第3次接着运动到点$(-3,2)$,第4次接着运动到点$(-4,0)$,…,按这样的运动规律,经过第2027次运动后,动点 $ P $ 的坐标是 $\boldsymbol{(\quad\quad)}$


A.$(-2026,1)$
B.$(-2027,1)$
C.$(-2027,2)$
D.$(-2027,0)$

4.C

【分析】
解题时先分别观察动点P运动后横、纵坐标的变化规律：①横坐标：每次运动后横坐标的绝对值等于运动次数，符号为负，可先确定第n次运动的横坐标，排除不符合的选项；②纵坐标：列出前几次运动的纵坐标，可发现每4次运动为一个循环周期，只需计算2027除以4的余数，即可对应得到第2027次运动后的纵坐标，最终确定点的坐标。
【解析】
1. 确定横坐标规律：
观察运动轨迹可知，第1次运动后横坐标为-1，第2次为-2，第3次为-3……以此类推，第n次运动后横坐标为$-n$，因此第2027次运动后横坐标为$-2027$，可排除A选项。
2. 确定纵坐标规律：
列出前几次运动的纵坐标：第1次为1，第2次为0，第3次为2，第4次为0，第5次为1，第6次为0，第7次为2，第8次为0……
可见纵坐标以“1、0、2、0”4个数值为一个周期循环出现。
计算2027除以4的余数：$2027÷4=506······3$，余数为3，对应周期中第3个数值，即纵坐标为2。
综上，第2027次运动后动点P的坐标为$(-2027,2)$。
【答案】
C
【知识点】
点的坐标规律，周期问题，平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标规律探究类基础题，解题核心是分开梳理横、纵坐标的变化特征，找到纵坐标的周期循环规律后结合余数判断即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图，动点P从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2027次碰到长方形OABC的边时，点P的坐标为。

5.(1,4)

【分析】
解决此类动点反弹问题，首先利用“反射角等于入射角”的规则，依次写出点P前几次碰到长方形边时的坐标，观察坐标的变化特征找到循环周期，再用总碰撞次数除以周期得到余数，最后根据余数对应周期内的坐标即可得到结果。
【解析】
根据反射角等于入射角的规则，依次列出点P每次碰到边时的坐标：
第1次碰到边：$\boldsymbol{(3,0)}$
第2次碰到边：$\boldsymbol{(7,4)}$
第3次碰到边：$\boldsymbol{(8,3)}$
第4次碰到边：$\boldsymbol{(5,0)}$
第5次碰到边：$\boldsymbol{(1,4)}$
第6次碰到边：$\boldsymbol{(0,3)}$，此时点P回到初始位置，说明点P的碰撞坐标每6次为一个循环周期。
计算$2027÷6=337······5$，即经过337个完整周期后，第2027次碰撞对应周期内第5次碰撞的坐标。
【答案】
$\boldsymbol{(1,4)}$
【知识点】
坐标规律探究，反射的性质，周期问题求解
【点评】
本题重点考查规律探究能力，需要结合反射规则列举前几次的碰撞坐标找到循环周期，再利用余数确定所求坐标，解题的关键是准确找到循环周期，避免列举坐标时出错。
【难度系数】
0.6

6. [江苏竞赛] 在平面直角坐标系$xOy$中，对于点$P(x,y)$和点$Q(-x,y')$，给出如下定义：$y' = \begin{cases} y(x≥0), \\ -y(x＜0), \end{cases}$ 称点$Q$为点$P$的“可控变点”。例如：点$(1,2)$的“可控变点”为点$(-1,2)$，点$(-1,2)$的“可控变点”为点$(1,-2)$。
根据定义，解答下列问题：
(1)点$(3,4)$的“可控变点”为点________；
(2)点$P_1$的“可控变点”为点$P_2$，点$P_2$的“可控变点”为点$P_3$，点$P_3$的“可控变点”为点$P_4$……以此类推。若点$P_{2022}$的坐标为$(3,a)$，则点$P_1$的坐标为________。

6.(1)$(-3,4)$ (2)$(-3,-a)$ 【点拨】(1)$\because x=3＞0$,$\therefore$根据“可控变点”的定义可得,点$(3,4)$的“可控变点”为点$(-3,4)$.
(2)当$x≥0$时,点$P_1(x,y)$的“可控变点”为点$P_2(-x,y)$,点$P_2(-x,y)$的“可控变点”为点$P_3(x,-y)$,点$P_3(x,-y)$的“可控变点”为点$P_4(-x,-y)$,点$P_4(-x,-y)$的“可控变点”为点$P_5(x,y)$……故每四次变化出现一次循环;当$x＜0$时,同理可得每四次变化出现一次循环.因为$2\ 022=4×505+2$,所以若点$P_{2022}$的坐标为$(3,a)$,则点$P_1$的坐标为$(-3,-a)$.

【分析】
(1) 第一问直接套用“可控变点”的定义求解即可：先判断已知点横坐标的正负，再对应确定$y'$的取值，结合可控变点的横坐标是原横坐标的相反数，即可得到结果。
(2) 第二问先探究变换的周期规律：分别假设点$P_1$的横坐标为非负、负两种情况，依次写出前几次变换后的坐标，可发现每4次变换就会回到初始点，即变换周期为4。再用2022除以周期得到余数，确定$P_{2022}$对应周期内的第几个变换结果，最后反向推导即可得到$P_1$的坐标。
【解析】
(1) 对于点$(3,4)$，横坐标$x=3≥0$，根据“可控变点”的定义，可控变点的横坐标为$-x=-3$，$y'=y=4$，因此点$(3,4)$的可控变点为$(-3,4)$。
(2) 先推导变换周期：
① 若$P_1(x,y)$的$x≥0$：
$P_1$的可控变点$P_2(-x,y)$；$P_2$横坐标$-x＜0$，可控变点$P_3(x,-y)$；$P_3$横坐标$x≥0$，可控变点$P_4(-x,-y)$；$P_4$横坐标$-x＜0$，可控变点$P_5(x,y)=P_1$，周期为4。
② 若$P_1(x,y)$的$x＜0$，同理可推得变换周期也为4。
计算$2022÷4=505······2$，余数为2，说明$P_{2022}$和$P_2$的变换规律对应。
已知$P_{2022}(3,a)$即$P_2(3,a)$，倒推$P_1$：
若$P_1$横坐标$x≥0$，则$P_2$横坐标为$-x=3$，得$x=-3$，和$x≥0$矛盾，舍去；
若$P_1$横坐标$x＜0$，则$P_2$横坐标为$-x=3$，得$x=-3$，此时根据定义$x＜0$时$y'=-y=a$，解得$y=-a$，符合要求。
因此$P_1$的坐标为$(-3,-a)$。
【答案】
(1) $\boxed{(-3,4)}$
(2) $\boxed{(-3,-a)}$
【知识点】
新定义理解，坐标变化规律，周期探究
【点评】
本题以新定义为载体考查平面直角坐标系中点的坐标规律，解题核心是准确理解“可控变点”的定义，通过列举找到变换周期，再结合余数逆推初始点坐标，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6