基础知识·预习
问题1 什么是切线长？
问题2 从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度有什么关系？
问题3 连接圆外一点和圆心，所得的线段能否平分过圆外这一点所作的圆的两条切线的夹角？

解：
问题1：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
问题2：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，即切线长相等。
问题3：能，连接圆外一点和圆心所得的线段，平分过该点所作的圆的两条切线的夹角。

【分析】
本题考查切线长相关的基础概念与性质，解题思路如下：1. 回答切线长定义时，需区分切线（无限延伸的直线，不可度量）和切线长（可度量的线段长度），明确定义的核心要素是“圆外一点”“切点”“线段长度”；2. 分析两条切线的长度关系时，可连接圆心与两个切点、圆心与圆外一点，得到两个共斜边的直角三角形，结合半径相等，利用HL可证明两个直角三角形全等，即可推出两条切线长度相等；3. 分析连线是否平分夹角时，同样借助上述全等三角形对应角相等的性质，可得出连接圆外一点和圆心的线段平分两条切线的夹角。
【解析】
问题1：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
问题2：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，即切线长相等。
问题3：能，连接圆外一点和圆心所得的线段，平分过该点所作的圆的两条切线的夹角。
【答案】
问题1：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
问题2：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，即切线长相等。
问题3：能，连接圆外一点和圆心所得的线段，平分过该点所作的圆的两条切线的夹角。
【知识点】
切线长的定义、切线长定理
【点评】
本题是对切线长相关基础内容的直接考查，属于基础识记类题目，准确掌握相关概念和定理是后续解决圆的综合几何题的基础。
【难度系数】
0.9

【典型例题】如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB均与$\odot O$相切，切点分别是A，B，BC是$\odot O$的直径，连接AB，AC，OP，AB与OP相交于点D.求证：
(1)$∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$AC// OP$.

【证明】(1)$\because PA$，$PB$均与$\odot O$相切，切点分别为$A$，$B$，
$\therefore PA = PB$，$∠ APB = 2∠ APO = 2∠ BPO$.
易证$△ ADP≌△ BDP$.
$\therefore∠ ADP=∠ BDP=90°$.
$\therefore∠ BPO+∠ ABP=90°$.
$\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore OB⊥ PB$.
$\therefore∠ PBO=90°$.
$\therefore∠ ABC+∠ ABP=90°$.
$\therefore∠ ABC=∠ BPO$.
$\therefore∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ BAC=90°$.
由(1)知，$∠ ADP=90°$.
$\therefore∠ BAC=∠ ADP$.
$\therefore AC// OP$.
规律方法 如图，PA，PB都与$\odot O$相切.在此图形中，$△ PAB$，$△ OAB$都是等腰三角形；OP平分$∠ AOB$，PO平分$∠ APB$；$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OP⊥ AB$.

证明：
(1) ∵PA，PB均与$\odot O$相切，切点分别为A，B，
由切线长定理得：$PA = PB$，OP平分$∠ APB$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ BPO$，且$OP⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDP = 90°$，
$\therefore ∠ BPO + ∠ ABP = 90°$。
∵PB与$\odot O$相切于点B，
$\therefore OB⊥ PB$，即$∠ PBO = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPO$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ ABC$。
(2) ∵BC是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC = 90°$，即$AC⊥ AB$。
由(1)知$OP⊥ AB$，
$\therefore AC// OP$。

【分析】
(1) 证明∠APB=2∠ABC的思路：首先利用切线长定理得到OP平分∠APB，即∠APB=2∠BPO，只需再证∠BPO=∠ABC即可；结合切线的性质可知OB⊥PB、OP⊥AB，根据同角的余角相等可推出∠BPO=∠ABC，代入即可得证。
(2) 证明AC//OP的思路：根据直径所对的圆周角为直角，可得AC⊥AB；结合(1)的结论可知OP⊥AB，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”即可证得平行关系。
【解析】
(1)
∵PA，PB均与$\odot O$相切，切点分别为A，B，
由切线长定理得：$PA = PB$，OP平分$∠ APB$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ BPO$，且$OP⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDP = 90°$，
$\therefore ∠ BPO + ∠ ABP = 90°$。
∵PB与$\odot O$相切于点B，
$\therefore OB⊥ PB$，即$∠ PBO = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPO$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ ABC$。
(2)
∵BC是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC = 90°$，即$AC⊥ AB$。
由(1)知$OP⊥ AB$，
$\therefore AC// OP$。
【答案】
(1)
∵PA，PB均与$\odot O$相切，切点分别为A，B，
由切线长定理得：$PA = PB$，OP平分$∠ APB$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ BPO$，且$OP⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDP = 90°$，
$\therefore ∠ BPO + ∠ ABP = 90°$。
∵PB与$\odot O$相切于点B，
$\therefore OB⊥ PB$，即$∠ PBO = 90°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPO$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ ABC$。
(2)
∵BC是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC = 90°$，即$AC⊥ AB$。
由(1)知$OP⊥ AB$，
$\therefore AC// OP$。
【知识点】
切线长定理；直径所对圆周角为直角；平行线的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查切线相关性质与平行线判定的结合应用，解题时需熟练运用切线长定理、切线的性质以及直径的性质，通过垂直关系完成角的等量代换和平行关系的推导，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7