【变式2】如图，BD与CE相交于点A，且AB=AC，AD=AE，△ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F，则AF与DE垂直吗？为什么？

解：AF⊥DE，理由如下：
∵ AB=AC，AG是△ABC的中线，
∴ 由等腰三角形“三线合一”的性质，可得AG平分∠BAC，即∠BAG=∠CAG。
∵ ∠BAG + ∠DAF = 180°，∠CAG + ∠EAF = 180°，
∴ ∠EAF = ∠DAF。
又∵ AD=AE，
∴ △ADE是等腰三角形，AF平分等腰△ADE的顶角∠EAD，
由等腰三角形“三线合一”的性质，可得AF⊥DE。

【分析】
要判断AF与DE是否垂直，可围绕等腰三角形的性质推导：首先已知△ABC是等腰三角形，AG是它的中线，首先想到等腰三角形“三线合一”，可得AG平分∠BAC；再结合F、A、G共线，利用平角的性质可推出AF平分等腰△ADE的顶角，最后再次利用等腰三角形“三线合一”即可得出AF与DE的位置关系。
【解析】
AF⊥DE，理由如下：
∵ AB=AC，AG是△ABC的中线，
∴ 由等腰三角形“三线合一”的性质，可得AG平分∠BAC，即∠BAG=∠CAG。
∵ ∠BAG + ∠DAF = 180°，∠CAG + ∠EAF = 180°，
∴ ∠EAF = ∠DAF。
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等腰三角形，AF平分等腰△ADE的顶角∠EAD，
由等腰三角形“三线合一”的性质，可得AF⊥DE。
【答案】
AF⊥DE
【知识点】
等腰三角形三线合一，等角的补角相等，平角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，核心考查对等腰三角形“三线合一”的掌握与灵活运用，解题时需要注意观察图形中隐含的共线、角的等量关系，结合等腰三角形的性质逐步推导即可解决问题。
【难度系数】
0.8

1. 如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是从电线杆DE上一点A往地面拉两根长度相等的固定绳AB和AC,当固定点B,C到电线杆底部E的距离相等,点B,E,C在同一条直线上时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是().


A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形的“三线合一”
D.DE是BC的垂直平分线

C

【分析】
首先从题目条件提取信息：固定绳AB=AC，可得△ABC是等腰三角形；固定点B、C到E距离相等，说明E是底边BC的中点，AE为底边上的中线。要证DE⊥BC，即证AE⊥BC，结合等腰三角形的性质，即可对应到“三线合一”的定理，同时逐一排除不符合的选项，就能得到正确答案。
【解析】
解：已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为等腰三角形的底边。
又因为BE=CE，且B、E、C在同一直线上，所以AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，因此AE⊥BC，即电线杆DE垂直于BC。
逐一分析其他选项：
A选项“等边对等角”是由边相等推导角相等的性质，与证明垂直无关；
B选项“垂线段最短”用于描述线段长度的大小关系，不符合题意；
D选项“DE是BC的垂直平分线”是推导得到的结论，不是操作的依据。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质在实际生活中的应用类题目，解题的核心是从实际操作场景中抽象出等腰三角形的几何模型，结合已知条件对应到对应的几何性质即可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图，已知$AB// CD$，$AC=BC$，若$∠ 1=70°$，则$∠ 2$的度数为（）。


A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

A

【分析】
解题时首先观察到AB与CD平行，可先利用平行线的同位角相等性质，得到和∠1相等的角∠ABC；再由AC=BC判断出△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质得到∠CAB=∠ABC；最后结合三角形内角和为180°，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，$∠ 1=70°$
∴$∠ ABC=∠ 1=70°$（两直线平行，同位角相等）
又
∵$AC=BC$
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ CAB=∠ ABC=70°$（等腰三角形两底角相等）
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ 2=180°-∠ CAB-∠ ABC=180°-70°-70°=40°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行线、等腰三角形和三角形内角和的核心知识点结合考察，推导逻辑清晰，只要熟练掌握相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

3. 已知等腰三角形有两边长为5,10,则这个三角形的周长为().

A.15
B.20
C.25
D.20或25

C

【分析】
遇到等腰三角形给出两边长求周长的问题，首先要明确题目未说明哪条边是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论；其次三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，所以每种情况都要先验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为5，底边长为10，则三角形三边长为5，5，10。
∵ $5+5=10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
∴ 该情况不能构成三角形，舍去。
② 若腰长为10，底边长为5，则三角形三边长为10，10，5。
∵ $5+10＞10$，$10+10＞5$，满足三角形三边关系，
∴ 该情况成立。
此时三角形的周长为 $10+10+5=25$。
综上，这个三角形的周长为25，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形边长类的易错题，解题时容易忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长错选D，牢记涉及三角形边长的问题，都要先判断三边能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6

4. 如图(1),马扎是中国传统手工工艺制品,可以合拢,方便携带,它是一种小型的折叠凳.图(2)为其侧面示意图,$AB// CD$,AD与BC交于点O,若$AO=BO$,$∠ABO=53°$,则$∠CDO$的度数为.

$\boldsymbol{53°}$

【分析】
解题时首先观察已知条件，由AO=BO可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，先求出∠OAB的度数；再结合AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可找到∠CDO与∠OAB的等量关系，进而求出∠CDO的度数。
【解析】
解：
∵ AO=BO，
∴ △AOB是等腰三角形，根据等边对等角可得：
$∠ OAB = ∠ ABO = 53°$，
又
∵ AB//CD，AD为截线，根据“两直线平行，内错角相等”可得：
$∠ CDO = ∠ OAB = 53°$。
【答案】
$\boldsymbol{53°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是结合等腰三角形和平行线的性质推导角的等量关系，解题时只要找准对应的角，熟练运用基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知$AB=AD$,BD平分$∠ABC$.求证:$AD// BC$.

证明：
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∴ ∠D = ∠DBC（等量代换）。
∴ AD // BC（内错角相等，两直线平行）。

【分析】
要证明AD//BC，根据平行线的判定规则，可通过证明AD、BC被BD截得的内错角∠D和∠DBC相等来推导。首先利用已知AB=AD，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABD=∠D；再结合BD平分∠ABC的条件，根据角平分线定义得到∠ABD=∠DBC；通过等量代换即可得到∠D=∠DBC，满足内错角相等的平行判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∴ ∠D = ∠DBC（等量代换）。
∴ AD // BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∴ ∠D = ∠DBC（等量代换）。
∴ AD // BC（内错角相等，两直线平行）。
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是找到∠ABD作为中间桥梁，将边的相等关系、角平分线的性质转化为平行线判定所需的角相等关系，逻辑链条清晰，是训练几何基础推导能力的典型习题。
【难度系数】
0.85