1[中]某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习,同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中,变量之间的关系不是一次函数的是 ()

A.家庭用水的单价为 4.1 元/$m^3$,每月的水费$y$(元)与用水量$x$($m^3$)之间的关系
B.百米赛跑中,时间$t$(s)与速度$v$(m/s)之间的关系
C.相同规格的 A4 纸整齐放置,A4 纸的总厚度$y$与 A4 纸的张数$x$之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度$n$与所用时间$t$的关系

1.B 【解析】每月的水费$y$(元)与用水量$x$($m^3$)之间的关系式为$y=4.1x$,是一次函数,故选项A不符合题意; 百米赛跑中,时间$t$(s)与速度$v$(m/s)之间的关系式为$t=\frac{100}{v}$,不是一次函数,故选项B符合题意; 设每张A4纸的厚度为$a$,则A4纸的总厚度$y$与A4纸的张数$x$之间的关系式为$y=ax$,是一次函数,故选项C不符合题意; 普通钟表指针转动的角度$n$与所用时间$t$之间的关系是一次函数,故选项D不符合题意. 故选 B.

2[中]规定:$[a,b]$为一次函数$y=ax+b(a≠0,a,b$为实数)的“联盟数”.若“联盟数”为$[1,m-5]$的一次函数是正比例函数,则$m$的值为.

2.5 【解析】由题意知“联盟数”为$[1,m-5]$的一次函数为$y=x+m-5$,所以若“联盟数”为$[1,m-5]$的一次函数是正比例函数,则$m-5=0$,解得$m=5$. 故答案为 5.

3[中]已知y与x+2成正比例,z与y-1成正比例.
(1)z是x的一次函数吗?请说明理由.
(2)在什么条件下,z是x的正比例函数?

3.【解】(1)$z$是$x$的一次函数. 理由:根据题意,设$y=m(x+2)$($m$为常数且$m≠0$),$z=n(y-1)$($n$为常数且$n≠0$),所以$z=n[m(x+2)-1]=n(mx+2m-1)=mnx+n(2m-1)$. 因为$m≠0,n≠0$,所以$mn≠0$,所以$z$是$x$的一次函数.
(2)由(1)得,当$z$是$x$的正比例函数时,$n(2m-1)=0$. 因为$n≠0$,所以$2m-1=0$,解得$m=\frac{1}{2}$,所以当$m=\frac{1}{2}$时,$z$是$x$的正比例函数.

4[中](1)已知函数$y=(b+2)x^{b^2 -3}$，且$y$是$x$的正比例函数，$5a+4$的立方根是4，$c$是$\sqrt{11}$的整数部分，求$a,b,c$的值；
(2)函数$f(x)=\sqrt{2}x -x$是否为正比例函数？如果是，指出它的比例系数。

4.【解】(1)因为函数$y=(b+2)x^{b^2-3}$,且$y$是$x$的正比例函数,所以$\begin{cases} b+2≠0, \\ b^2-3=1, \end{cases}$所以$b=2$. 因为$5a+4$的立方根是4,所以$5a+4=4^3$,所以$a=12$. 因为$c$是$\sqrt{11}$的整数部分,所以$c=3$. 故$a,b,c$的值分别为12,2,3.
(2)因为$f(x)=\sqrt{2}x-x$,所以$f(x)=(\sqrt{2}-1)x$,所以函数$f(x)=\sqrt{2}x-x$是正比例函数,它的比例系数为$\sqrt{2}-1$.

5[2026浙江衢州期中,中]如图所示的是一个“函数求值机”的示意图,其中$y$是$x$的函数,当输入不同的$x$值时,将输出对应的$y$值,其中函数$y=(m-1)x^{|m|}+1$为一次函数.
(1)当$x＜1$时,求函数的表达式.
(2)当$x=0$时,$y$的值记为$y_1$,当$x=2$时,$y$的值记为$y_2$,则$y_1$$y_2$.(填“＞”“=”或“＜”)
(3)若输出的$y$值为2,求输入的$x$值.

5.【解】(1)因为$y=(m-1)x^{|m|}+1$为一次函数,所以$m-1≠0,|m|=1$,解得$m=-1$,所以当$x＜1$时,函数的表达式为$y=-2x+1$.
(2)当$x=0$时,$y=-2x+1$,所以$y_1=-2×0+1=1$.
当$x=2$时,$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$,所以$y_2=\frac{1}{2}×2-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$,所以$y_1＞y_2$. 故答案为$＞$.
(3)当$x＜1$时,$y=-2x+1=2$,解得$x=-\frac{1}{2}$; 当$x≥1$时,$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=2$,解得$x=7$,所以若输出的$y$值为2,则输入的$x$值是$-\frac{1}{2}$或7.

6 核心素养 模型观念[较难]某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费:月用水量不超过20 m³时,按2.5元/m³计费;月用水量超过20 m³时,超过部分按3.2元/m³计费.设每户家庭月用水量为x m³时,应交水费y元.
(1)分别写出0≤x≤20和x＞20时,y关于x的函数表达式.
(2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下:

小明家第二季度用水量是多少?

6.【解】(1)当$0≤ x≤20$时,$y$关于$x$的函数表达式是$y=2.5x$;
当$x＞20$时,$y$关于$x$的函数表达式是$y=2.5×20+3.2(x-20)=3.2x-14$.
(2)当$x=20$时,$y=2.5×20=50$.
因为小明家四、五月份的水费都不超过50元,所以四、五月份的水费$y$满足$y=2.5x(0≤ x≤20)$.
因为六月份的水费超过50元,所以六月份的水费$y$满足$y=3.2x-14(x＞20)$.
把$y=40$代入$y=2.5x$中,得$2.5x=40$,解得$x=16$;
把$y=45$代入$y=2.5x$中,得$2.5x=45$,解得$x=18$;
把$y=56.4$代入$y=3.2x-14$中,得$3.2x-14=56.4$,解得$x=22$.
综上,$16+18+22=56(\mathrm{m}^3)$.
答:小明家第二季度用水量是$56\ \mathrm{m}^3$.