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9.「2026安徽宿州三中期中，★☆」如图所示的几何体是由下列哪个图形绕着虚线旋转一周得到的 （
A
）答案
9.A 由几何体可知该平面图形由上、下两个长方形组成,且两个长方形都有一条边在旋转轴上.故选A.
解析
【分析】
解题时先运用“面动成体”的基本原理，回忆常见平面图形旋转后得到的立体图形：长方形绕自身的一条边旋转一周会形成圆柱。观察题目给出的几何体，是上下两个共轴的圆柱拼接而成的组合体，由此反推原平面图形：需要两个长方形，且两个长方形都有一条边在旋转轴（虚线）上，拼接后绕轴旋转就能得到对应的组合几何体，再对比各选项即可选出正确答案。
【解析】
根据面动成体的原理，长方形绕它的一条边旋转一周可得到圆柱。题中几何体是由上下两个共轴线的圆柱组合而成，说明对应的平面图形是两个长方形拼接而成，且两个长方形都有一条边在旋转轴（虚线）上，对比各选项，只有A符合该特征。
【答案】
A
【知识点】
1.面动成体 2.旋转体识别
【点评】
本题考查面动成体原理的实际应用，需熟练掌握常见平面图形旋转后对应的立体图形特征，结合组合几何体的结构反推原平面图形即可解题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先运用“面动成体”的基本原理，回忆常见平面图形旋转后得到的立体图形：长方形绕自身的一条边旋转一周会形成圆柱。观察题目给出的几何体，是上下两个共轴的圆柱拼接而成的组合体，由此反推原平面图形：需要两个长方形，且两个长方形都有一条边在旋转轴（虚线）上，拼接后绕轴旋转就能得到对应的组合几何体，再对比各选项即可选出正确答案。
【解析】
根据面动成体的原理，长方形绕它的一条边旋转一周可得到圆柱。题中几何体是由上下两个共轴线的圆柱组合而成，说明对应的平面图形是两个长方形拼接而成，且两个长方形都有一条边在旋转轴（虚线）上，对比各选项，只有A符合该特征。
【答案】
A
【知识点】
1.面动成体 2.旋转体识别
【点评】
本题考查面动成体原理的实际应用，需熟练掌握常见平面图形旋转后对应的立体图形特征，结合组合几何体的结构反推原平面图形即可解题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
10.「2026安徽宿州月考，★☆」如图所示的是一个正方体的表面展开图，已知$A=2x^3+x^2y-5$，$B=x^2y+2$，$C=2x^3+3$，$D=-(x^2y-4)$，且各组相对面上的字母代表的代数式的和都相等，则E代表的代数式是（
A.$-2x^3+x^2y+14$
B.$-4$
C.$-2x^3+14$
D.$-14$
B
）A.$-2x^3+x^2y+14$
B.$-4$
C.$-2x^3+14$
D.$-14$
答案
10.B 由题意得A+D=C+E,则E=A+D-C=2x³+x²y-5+[-(x²y-4)]-(2x³+3)=2x³+x²y-5-x²y+4-2x³-3=-4.故选B.
解析
【分析】
解题需分两步思考：第一步先识别正方体展开图的相对面，根据“正方体展开图中相对的面互不相邻”的特征，可判断出A与D相对、C与E相对；第二步结合“相对面代数式的和相等”的条件，列出等式$A+D=C+E$，变形得$E=A+D-C$，再代入各代数式，按整式加减的运算法则计算即可。
【解析】
首先判断正方体展开图的相对面：可得A的对面是D，C的对面是E。
由题意得：相对面的代数式和相等，因此$A+D=C+E$，变形得$E=A+D-C$。
将$A=2x^3+x^2y-5$，$D=-(x^2y-4)$，$C=2x^3+3$代入得：
$\begin{aligned}E&=(2x^3+x^2y-5)+[-(x^2y-4)]-(2x^3+3)\\&=2x^3+x^2y-5 -x^2y +4 -2x^3 -3\\&=(2x^3-2x^3)+(x^2y-x^2y)+(-5+4-3)\\&=0+0-4\\&=-4\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方体展开图相对面判断、整式的加减运算、去括号法则
【点评】
本题将立体图形展开图知识和整式运算结合考查，解题的核心是准确找到相对面，再根据等量关系列式计算，计算时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题需分两步思考：第一步先识别正方体展开图的相对面，根据“正方体展开图中相对的面互不相邻”的特征，可判断出A与D相对、C与E相对；第二步结合“相对面代数式的和相等”的条件，列出等式$A+D=C+E$，变形得$E=A+D-C$，再代入各代数式，按整式加减的运算法则计算即可。
【解析】
首先判断正方体展开图的相对面：可得A的对面是D，C的对面是E。
由题意得：相对面的代数式和相等，因此$A+D=C+E$，变形得$E=A+D-C$。
将$A=2x^3+x^2y-5$，$D=-(x^2y-4)$，$C=2x^3+3$代入得：
$\begin{aligned}E&=(2x^3+x^2y-5)+[-(x^2y-4)]-(2x^3+3)\\&=2x^3+x^2y-5 -x^2y +4 -2x^3 -3\\&=(2x^3-2x^3)+(x^2y-x^2y)+(-5+4-3)\\&=0+0-4\\&=-4\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方体展开图相对面判断、整式的加减运算、去括号法则
【点评】
本题将立体图形展开图知识和整式运算结合考查，解题的核心是准确找到相对面，再根据等量关系列式计算，计算时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
11. 学科特色规律探究题「2025安徽合肥包河期末，★☆」有一个正六面体的骰子放在桌面上，将骰子按如图所示的方式(顺时针方向)滚动，每滚动$90°$算一次，则滚动2025次后，骰子朝下一面的数字是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
11.A 由题意可知,“3”和“4”相对,“2”和“5”相对,所以滚动1次后,骰子朝下一面的数字是2,滚动2次后,骰子朝下一面的数字是3,滚动3次后,骰子朝下一面的数字是5,滚动4次后,骰子朝下一面的数字是4,滚动5次后,骰子朝下一面的数字是2,……,因为2025÷4=506……1,所以滚动2025次后,骰子朝下一面的数字是2.故选A.
解析
【分析】
解题时首先观察骰子滚动的特点：滚动过程中正面始终是数字1，说明滚动是绕正面和背面的轴旋转，第一步先判断正方体各面的相对关系：和1相邻的数字有2、3、4、5，因此1的对面是未出现的6；再结合相邻数字判断，3和1、2、5相邻，因此3的对面是4，剩余2和5相对。第二步依次列举前几次滚动后朝下的数字，找到循环周期。第三步用总滚动次数除以周期，根据余数对应周期内的结果，即可得到答案。
【解析】
解：首先观察骰子滚动特征，正面始终为数字1，可知1的对面是未出现的数字6；
观察相邻数字：与3相邻的数字有1、2、5，因此3的对面为剩余的数字4，剩下的2和5相对。
依次计算每次滚动后朝下的数字：
滚动1次后，顶面数字为5，朝下的数字是5的对面2；
滚动2次后，顶面数字为4，朝下的数字是4的对面3；
滚动3次后，顶面数字为2，朝下的数字是2的对面5；
滚动4次后，顶面数字为3，朝下的数字是3的对面4；
滚动5次后，顶面数字为5，朝下的数字为2……
可得每滚动4次为一个循环周期，朝下的数字按2、3、5、4的顺序循环出现。
计算得：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期内第一个数字，即滚动2025次后朝下的数字为2。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体相对面判断，周期规律，规律探究
【点评】
本题以正方体滚动为载体考查规律探究能力，解题关键是先准确判断正方体各面的相对关系，再找到滚动的循环周期，结合有余数的除法即可求解，对观察能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察骰子滚动的特点：滚动过程中正面始终是数字1，说明滚动是绕正面和背面的轴旋转，第一步先判断正方体各面的相对关系：和1相邻的数字有2、3、4、5，因此1的对面是未出现的6；再结合相邻数字判断，3和1、2、5相邻，因此3的对面是4，剩余2和5相对。第二步依次列举前几次滚动后朝下的数字，找到循环周期。第三步用总滚动次数除以周期，根据余数对应周期内的结果，即可得到答案。
【解析】
解：首先观察骰子滚动特征，正面始终为数字1，可知1的对面是未出现的数字6；
观察相邻数字：与3相邻的数字有1、2、5，因此3的对面为剩余的数字4，剩下的2和5相对。
依次计算每次滚动后朝下的数字：
滚动1次后，顶面数字为5，朝下的数字是5的对面2；
滚动2次后，顶面数字为4，朝下的数字是4的对面3；
滚动3次后，顶面数字为2，朝下的数字是2的对面5；
滚动4次后，顶面数字为3，朝下的数字是3的对面4；
滚动5次后，顶面数字为5，朝下的数字为2……
可得每滚动4次为一个循环周期，朝下的数字按2、3、5、4的顺序循环出现。
计算得：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期内第一个数字，即滚动2025次后朝下的数字为2。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体相对面判断，周期规律，规律探究
【点评】
本题以正方体滚动为载体考查规律探究能力，解题关键是先准确判断正方体各面的相对关系，再找到滚动的循环周期，结合有余数的除法即可求解，对观察能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
12.聚焦中考项目式学习「2026安徽合肥蜀山期中，★☆」【活动主题】将一张长为100 cm，宽为40 cm的长方形硬纸板(如图1)制作成一个有盖的长方体收纳盒.
【方案设计】如图2，把硬纸板的四个角各剪去相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分.
【问题解决】
(1)若收纳盒的高为x cm，则收纳盒的底边EF的长为
(2)当该收纳盒的高为10 cm时，收纳盒的底面积是多少？
【方案设计】如图2，把硬纸板的四个角各剪去相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分.
【问题解决】
(1)若收纳盒的高为x cm，则收纳盒的底边EF的长为
(40-2x)
cm，EH的长为(50-x)
cm (用含x的代数式表示).(2)当该收纳盒的高为10 cm时，收纳盒的底面积是多少？
答案
12.解析 (1)(40-2x);(50-x).
详解:因为长方体的宽+两条高的和=AB=40 cm,即EF+2x=40 cm,所以EF=(40-2x)cm,因为长方体的两条长的和+两条高的和=AD=100 cm,即2EH+2x=100 cm,所以EH=(100-2x)/2=(50-x)cm.
(2)当该收纳盒的高为10 cm时,x=10 cm,长方体底面长为50-x=40(cm),宽为40-2x=20(cm),所以收纳盒的底面积为40×20=800(cm²).
详解:因为长方体的宽+两条高的和=AB=40 cm,即EF+2x=40 cm,所以EF=(40-2x)cm,因为长方体的两条长的和+两条高的和=AD=100 cm,即2EH+2x=100 cm,所以EH=(100-2x)/2=(50-x)cm.
(2)当该收纳盒的高为10 cm时,x=10 cm,长方体底面长为50-x=40(cm),宽为40-2x=20(cm),所以收纳盒的底面积为40×20=800(cm²).
解析
【分析】
(1) 解决第一问需先明确折叠前后硬纸板各边和收纳盒边长的对应关系：已知收纳盒高为x cm，原硬纸板宽为40 cm，左右两侧各剪去长度为x的边对应收纳盒的高，因此底边EF的长等于原宽减去2个x；原硬纸板长为100 cm，上下两侧各剪去长度为x的边对应收纳盒的高，剩余长度是收纳盒底面两条EH的和（有盖设计，盒身和盒盖的长相等），因此剩余长度除以2即可得到EH的长。
(2) 第二问只需将x=10代入第一问得到的代数式，求出底面的长和宽，再根据长方形面积公式计算底面积即可。
【解析】
(1) 由折叠性质可知：EF + 2x = 原硬纸板的宽40 cm，因此EF = (40 - 2x) cm；
原硬纸板的长100 cm = 2EH + 2x，整理可得EH = (100 - 2x)÷2 = (50 - x) cm。
(2) 当收纳盒的高为10 cm时，即x=10，
代入得底面EH的长为：50 - 10 = 40（cm），
底边EF的长为：40 - 2×10 = 20（cm），
根据长方形面积公式，收纳盒底面积为：40×20 = 800（cm²）。
【答案】
(1) (40-2x)；(50-x)
(2) 800 cm²
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方体展开图
【点评】
本题结合实际制作收纳盒的场景出题，核心是理清折叠前后硬纸板各边与长方体收纳盒各边长的对应关系，侧重考查空间想象能力和代数式的基础应用，解题时注意不要混淆长、宽对应的原纸板边长。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问需先明确折叠前后硬纸板各边和收纳盒边长的对应关系：已知收纳盒高为x cm，原硬纸板宽为40 cm，左右两侧各剪去长度为x的边对应收纳盒的高，因此底边EF的长等于原宽减去2个x；原硬纸板长为100 cm，上下两侧各剪去长度为x的边对应收纳盒的高，剩余长度是收纳盒底面两条EH的和（有盖设计，盒身和盒盖的长相等），因此剩余长度除以2即可得到EH的长。
(2) 第二问只需将x=10代入第一问得到的代数式，求出底面的长和宽，再根据长方形面积公式计算底面积即可。
【解析】
(1) 由折叠性质可知：EF + 2x = 原硬纸板的宽40 cm，因此EF = (40 - 2x) cm；
原硬纸板的长100 cm = 2EH + 2x，整理可得EH = (100 - 2x)÷2 = (50 - x) cm。
(2) 当收纳盒的高为10 cm时，即x=10，
代入得底面EH的长为：50 - 10 = 40（cm），
底边EF的长为：40 - 2×10 = 20（cm），
根据长方形面积公式，收纳盒底面积为：40×20 = 800（cm²）。
【答案】
(1) (40-2x)；(50-x)
(2) 800 cm²
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方体展开图
【点评】
本题结合实际制作收纳盒的场景出题，核心是理清折叠前后硬纸板各边与长方体收纳盒各边长的对应关系，侧重考查空间想象能力和代数式的基础应用，解题时注意不要混淆长、宽对应的原纸板边长。
【难度系数】
0.8
13. 核心素养 几何直观 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答问题。
四面体 长方体 正八面体 正十二面体
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中m,n的值。
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数。
四面体 长方体 正八面体 正十二面体
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中m,n的值。
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是
V+F-E=2
。(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数。
答案
13.解析 (1)m=8;n=6.
(2)V+F-E=2.
(3)设这个多面体的面数是x,
根据题意得2x-30=2,解得x=16.
答:这个多面体的面数是16.
(2)V+F-E=2.
(3)设这个多面体的面数是x,
根据题意得2x-30=2,解得x=16.
答:这个多面体的面数是16.
解析
【分析】
(1) 求m、n的值可通过观察常见多面体的结构得出：长方体是四棱柱，上下底面各4个顶点，共8个顶点，即可得m的值；正八面体可看作两个四棱锥底面拼接而成，共6个顶点，即可得n的值，若记不清结构也可先推导欧拉公式后反推n的值。
(2) 探究V、F、E的关系式时，可对表格中四组已知的V、F、E数据做加减运算尝试，寻找固定不变的结果，即可总结出三者的等量关系。
(3) 已知面数等于顶点数、棱数为30，将三者代入第(2)问得到的关系式，列一元一次方程求解即可得到面数。
【解析】
(1) 长方体共有8个顶点，因此m=8；正八面体共有6个顶点，因此n=6。
(2) 分别计算四组多面体的V+F-E的值：
四面体：4+4-6=2；
长方体：8+6-12=2；
正八面体：6+8-12=2；
正十二面体：20+12-30=2；
因此顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系式为V+F-E=2。
(3) 设这个多面体的面数是x，由题意可知顶点数也为x，将V=x，F=x，E=30代入V+F-E=2得：
$x + x - 30 = 2$
解得$x=16$
【答案】
(1)$m=8$，$n=6$；(2)$V+F-E=2$；(3)$16$
【知识点】
欧拉公式，几何图形认识，一元一次方程应用
【点评】
本题结合数学史中的欧拉公式命题，既考查对常见多面体结构的认知，也考查规律探究能力和简单方程的应用，解题核心是准确推导并灵活运用欧拉公式。
【难度系数】
0.7
(1) 求m、n的值可通过观察常见多面体的结构得出：长方体是四棱柱，上下底面各4个顶点，共8个顶点，即可得m的值；正八面体可看作两个四棱锥底面拼接而成，共6个顶点，即可得n的值，若记不清结构也可先推导欧拉公式后反推n的值。
(2) 探究V、F、E的关系式时，可对表格中四组已知的V、F、E数据做加减运算尝试，寻找固定不变的结果，即可总结出三者的等量关系。
(3) 已知面数等于顶点数、棱数为30，将三者代入第(2)问得到的关系式，列一元一次方程求解即可得到面数。
【解析】
(1) 长方体共有8个顶点，因此m=8；正八面体共有6个顶点，因此n=6。
(2) 分别计算四组多面体的V+F-E的值：
四面体：4+4-6=2；
长方体：8+6-12=2；
正八面体：6+8-12=2；
正十二面体：20+12-30=2；
因此顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系式为V+F-E=2。
(3) 设这个多面体的面数是x，由题意可知顶点数也为x，将V=x，F=x，E=30代入V+F-E=2得：
$x + x - 30 = 2$
解得$x=16$
【答案】
(1)$m=8$，$n=6$；(2)$V+F-E=2$；(3)$16$
【知识点】
欧拉公式，几何图形认识，一元一次方程应用
【点评】
本题结合数学史中的欧拉公式命题，既考查对常见多面体结构的认知，也考查规律探究能力和简单方程的应用，解题核心是准确推导并灵活运用欧拉公式。
【难度系数】
0.7
