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10.学科特色教材变式「2026陕西西安西工大附中月考，★☆」如图，四边形ABCD是菱形，AB=5，BD=8，AE⊥CD于点E，交BD于点F，则AF的长是（
A.$\frac{24}{5}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{9}{4}$
D.3
B
）A.$\frac{24}{5}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{9}{4}$
D.3
答案
设 AC,BD 相交于点 O,如图所示:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,AB=5,对角线 BD=8,
∴ OB=OD=1/2 BD=4,AC ⊥ BD,AB // CD,
∴ △AOF 和△AOB 都是直角三角形,
在 Rt△AOB 中,由勾股定理得 AO = √(AB²-OB²) = √(5²-4²) = 3,
设 OF=a,
∴ BF=OB+OF=4+a,
在 Rt△AOF 中,由勾股定理得 AF² = OA² + OF² = 3²+a²,
∵ AE ⊥ CD,AB // CD,
∴ AE ⊥ AB,
∴ △ABF 是直角三角形,
在 Rt△ABF 中,由勾股定理得 AF² = BF² - AB² = (4+a)²-5²,
∴ 3²+a² = (4+a)²-5²,解得 a=9/4,
∴ AF = √(3²+a²) = √(3²+(9/4)²) = 15/4.
故选 B.
解析
【分析】
要计算AF的长度，首先结合菱形的性质分析：菱形对角线互相垂直平分、对边平行，先连接AC与BD交于点O，构造直角三角形AOB，利用勾股定理求出AO的长度；再由AE⊥CD、AB//CD推出AE⊥AB，得到直角三角形ABF；最后设OF为未知数，分别在Rt△AOF和Rt△ABF中用勾股定理表示AF²，列方程求解未知数后代入计算AF的长度即可。
【解析】
设AC,BD相交于点O,如图所示:
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，对角线BD=8，
∴ OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，AB//CD，
∴ △AOF和△AOB都是直角三角形，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO = $\sqrt{AB^2-OB^2}$ = $\sqrt{5^2-4^2}$ = 3，
设OF=a，
∴ BF=OB+OF=4+a，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF² = OA² + OF² = $3^2+a^2$，
∵ AE⊥CD，AB//CD，
∴ AE⊥AB，即∠BAF=90°，
∴ △ABF是直角三角形，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF² = BF² - AB² = $(4+a)^2-5^2$，
∴ $3^2+a^2 = (4+a)^2-5^2$，
化简解得$a=\frac{9}{4}$，
∴ AF = $\sqrt{3^2+(\frac{9}{4})^2}$ = $\sqrt{\frac{225}{16}}$ = $\frac{15}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是菱形性质应用的典型基础题，通过菱形的性质构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解线段长度，考查学生对几何性质的掌握和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算AF的长度，首先结合菱形的性质分析：菱形对角线互相垂直平分、对边平行，先连接AC与BD交于点O，构造直角三角形AOB，利用勾股定理求出AO的长度；再由AE⊥CD、AB//CD推出AE⊥AB，得到直角三角形ABF；最后设OF为未知数，分别在Rt△AOF和Rt△ABF中用勾股定理表示AF²，列方程求解未知数后代入计算AF的长度即可。
【解析】
设AC,BD相交于点O,如图所示:
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，对角线BD=8，
∴ OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，AB//CD，
∴ △AOF和△AOB都是直角三角形，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO = $\sqrt{AB^2-OB^2}$ = $\sqrt{5^2-4^2}$ = 3，
设OF=a，
∴ BF=OB+OF=4+a，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF² = OA² + OF² = $3^2+a^2$，
∵ AE⊥CD，AB//CD，
∴ AE⊥AB，即∠BAF=90°，
∴ △ABF是直角三角形，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF² = BF² - AB² = $(4+a)^2-5^2$，
∴ $3^2+a^2 = (4+a)^2-5^2$，
化简解得$a=\frac{9}{4}$，
∴ AF = $\sqrt{3^2+(\frac{9}{4})^2}$ = $\sqrt{\frac{225}{16}}$ = $\frac{15}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是菱形性质应用的典型基础题，通过菱形的性质构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解线段长度，考查学生对几何性质的掌握和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 学科特色多解法「2025辽宁中考，★☆」如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为
√13
。答案
【解法一】在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC=8,BD=12,
∴ OA=1/2 AC=4,OB=1/2 BD=6,AC ⊥ BD,
∵ AE=2,
∴ OE=OA-AE=4-2=2,
如图,取 OE 的中点 H,连接 GH,
∵ 点 G 为 BE 的中点,点 H 为 OE 的中点,
∴ GH 是三角形 EBO 的中位线,
∴ GH=1/2 OB=3,GH // OB,
∴ ∠GHE=∠BOA=90°,
∵ OF=1,
∴ HF=OH+OF=1/2 OE+OF=1/2×2+1=2,
在直角三角形 GFH 中,由勾股定理得 FG = √(GH²+HF²) = √(3²+2²) = √13.
【解法二】在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,BD=12,AC=8,
∴ OB=6,OC=4,AC ⊥ BD,
∵ AE=2,OF=1,
∴ OE=OA-AE=4-2=2,CE=8-2=6,CF=OC-OF=4-1=3,
∴ EF=OE+OF=2+1=3=CF,
∴ F 为 CE 的中点,
又
∵ 点 G 为 BE 的中点,
∴ GF 为△BCE 的中位线,
∵ BC=√(6²+4²)=2√13,
∴ FG=1/2 BC=√13.
解析
【分析】
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，先求出OA、OB、OC的长度以及OE的长度。观察所求线段FG的端点，已知G是BE的中点，可从中位线的角度切入：思路一，取OE中点构造△EBO的中位线GH，得到GH的长度和位置关系，再求出HF的长度，最后在直角三角形GFH中用勾股定理计算FG；思路二，先推导出F是CE的中点，可得FG是△BCE的中位线，先求出BC的长度，再根据中位线性质得FG为BC的一半即可求解。
【解析】
解法一：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=12，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6，且AC⊥BD，
∵ AE=2，
∴ OE=OA - AE=4 - 2=2，
如图，取OE的中点H，连接GH，
∵ G是BE的中点，H是OE的中点，
∴ GH是△EBO的中位线，
∴ GH=$\frac{1}{2}$OB=3，GH//OB，
∴ ∠GHF=∠BOA=90°，
∵ OF=1，OH=$\frac{1}{2}$OE=1，
∴ HF=OH + OF=1 + 1=2，
在Rt△GFH中，由勾股定理得：
FG=$\sqrt{GH^2 + HF^2}$=$\sqrt{3^2 + 2^2}$=$\sqrt{13}$。
解法二：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=12，对角线AC、BD交于点O，
∴ OB=$\frac{1}{2}$BD=6，OC=OA=$\frac{1}{2}$AC=4，AC⊥BD，
∵ AE=2，
∴ OE=OA - AE=4 - 2=2，
∴ CE=OC + OE=4 + 2=6，
∵ OF=1，
∴ CF=OC - OF=4 - 1=3，
∴ F是CE的中点，
又
∵ G是BE的中点，
∴ GF是△BCE的中位线，
∴ FG=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=$\sqrt{OB^2 + OC^2}$=$\sqrt{6^2 + 4^2}$=2$\sqrt{13}$，
∴ FG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{13}$=$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用菱形的性质和三角形中位线定理，借助中点特征构造中位线实现线段、角度的转化，结合勾股定理即可求出目标线段长度，解题思路灵活，可通过多种方法求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，先求出OA、OB、OC的长度以及OE的长度。观察所求线段FG的端点，已知G是BE的中点，可从中位线的角度切入：思路一，取OE中点构造△EBO的中位线GH，得到GH的长度和位置关系，再求出HF的长度，最后在直角三角形GFH中用勾股定理计算FG；思路二，先推导出F是CE的中点，可得FG是△BCE的中位线，先求出BC的长度，再根据中位线性质得FG为BC的一半即可求解。
【解析】
解法一：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=12，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6，且AC⊥BD，
∵ AE=2，
∴ OE=OA - AE=4 - 2=2，
如图，取OE的中点H，连接GH，
∵ G是BE的中点，H是OE的中点，
∴ GH是△EBO的中位线，
∴ GH=$\frac{1}{2}$OB=3，GH//OB，
∴ ∠GHF=∠BOA=90°，
∵ OF=1，OH=$\frac{1}{2}$OE=1，
∴ HF=OH + OF=1 + 1=2，
在Rt△GFH中，由勾股定理得：
FG=$\sqrt{GH^2 + HF^2}$=$\sqrt{3^2 + 2^2}$=$\sqrt{13}$。
解法二：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=12，对角线AC、BD交于点O，
∴ OB=$\frac{1}{2}$BD=6，OC=OA=$\frac{1}{2}$AC=4，AC⊥BD，
∵ AE=2，
∴ OE=OA - AE=4 - 2=2，
∴ CE=OC + OE=4 + 2=6，
∵ OF=1，
∴ CF=OC - OF=4 - 1=3，
∴ F是CE的中点，
又
∵ G是BE的中点，
∴ GF是△BCE的中位线，
∴ FG=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=$\sqrt{OB^2 + OC^2}$=$\sqrt{6^2 + 4^2}$=2$\sqrt{13}$，
∴ FG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{13}$=$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用菱形的性质和三角形中位线定理，借助中点特征构造中位线实现线段、角度的转化，结合勾股定理即可求出目标线段长度，解题思路灵活，可通过多种方法求解。
【难度系数】
0.7
12. 学科 特色 将军饮马模型「★☆」如图，菱形ABCD中，点A,B,C,D均在坐标轴上，∠ABC=120°,点A(-3,0),点E是CD的中点,点P是OC上一动点,则PD+PE的最小值是
3
.答案
如图,作点 E 关于直线 AC 的对称点 E',易知 E'是 BC 的中点,连接 DE'交 AC 于点 P,此时 PD+PE 有最小值,为 DE'的长,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=120°,点 A(-3,0),
∴ OA=OC=3,∠DBC=60°,
∴ △BCD 是等边三角形,
∴ DE'=OC=3,即 PD+PE 的最小值是 3,故答案为 3.
技巧归纳 将军饮马模型
当两定点 A,B 在直线 l 同侧时,在直线 l 上找一点 P,使得 PA+PB 最小.
作点 B 关于直线 l 的对称点 B',连接 AB'交直线 l 于点 P.
PA+PB 的最小值为 AB'的长.
解析
【分析】
本题是将军饮马模型在菱形几何中的应用，解题思路如下：1. 先明确动点P的运动轨迹是直线AC，要计算PD+PE的最小值，符合“直线同侧两定点，求直线上动点到两定点距离和最小”的将军饮马模型特征，核心解法是作对称点将折线转化为直线段；2. 利用菱形关于对角线AC轴对称的性质，作E关于AC的对称点E'，易知E'为BC中点，此时PD+PE=PD+PE'，当D、P、E'三点共线时，和取最小值，即为DE'的长度；3. 结合菱形的已知角度和坐标条件，推导特殊三角形的性质，计算DE'的长度即可。
【解析】
作点E关于直线AC的对称点E'，由菱形关于对角线AC轴对称的性质可知，E'是BC的中点，连接DE'交AC于点P，此时PD+PE取得最小值，最小值为DE'的长。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，点A(-3,0)，
∴ OA=OC=3，∠BCD=60°，BC=CD，
∴ △BCD是等边三角形，
DE'为等边△BCD中BC边上的高，长度等于OC=3，
即PD+PE的最小值是3。
技巧归纳 将军饮马模型：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最小，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，PA+PB的最小值为AB'的长。
【答案】
3
【知识点】
将军饮马模型，菱形的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将最短路径模型与特殊四边形、三角形的性质结合考查，解题核心是利用轴对称性将折线长度和转化为线段长度，能有效检验学生对几何模型的应用能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
本题是将军饮马模型在菱形几何中的应用，解题思路如下：1. 先明确动点P的运动轨迹是直线AC，要计算PD+PE的最小值，符合“直线同侧两定点，求直线上动点到两定点距离和最小”的将军饮马模型特征，核心解法是作对称点将折线转化为直线段；2. 利用菱形关于对角线AC轴对称的性质，作E关于AC的对称点E'，易知E'为BC中点，此时PD+PE=PD+PE'，当D、P、E'三点共线时，和取最小值，即为DE'的长度；3. 结合菱形的已知角度和坐标条件，推导特殊三角形的性质，计算DE'的长度即可。
【解析】
作点E关于直线AC的对称点E'，由菱形关于对角线AC轴对称的性质可知，E'是BC的中点，连接DE'交AC于点P，此时PD+PE取得最小值，最小值为DE'的长。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，点A(-3,0)，
∴ OA=OC=3，∠BCD=60°，BC=CD，
∴ △BCD是等边三角形，
DE'为等边△BCD中BC边上的高，长度等于OC=3，
即PD+PE的最小值是3。
技巧归纳 将军饮马模型：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最小，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，PA+PB的最小值为AB'的长。
【答案】
3
【知识点】
将军饮马模型，菱形的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将最短路径模型与特殊四边形、三角形的性质结合考查，解题核心是利用轴对称性将折线长度和转化为线段长度，能有效检验学生对几何模型的应用能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
13.「2026 陕西咸阳沣西实验学校月考，★☆」如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:$AE=AF$.
(2)若$∠B=60°$,求$∠AEF$的度数.
(1)求证:$AE=AF$.
(2)若$∠B=60°$,求$∠AEF$的度数.
答案
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB=AD,∠B=∠D.
又
∵ AE ⊥ BC,AF ⊥ CD,
∴ ∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE 与△ADF 中,
{∠B=∠D,
∠AEB=∠AFD,
AB=AD,
∴ △ABE≌△ADF(AAS),
∴ AE=AF.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ ∠B+∠BAD=180°.
∵ ∠B=60°,
∴ ∠BAD=120°.
∵ ∠AEB=90°,∠B=60°,
∴ ∠BAE=30°.
由(1)知△ABE≌△ADF,
∴ ∠BAE=∠DAF=30°.
∴ ∠EAF=120°-30°-30°=60°,
又
∵ AE=AF,
∴ △AEF 是等边三角形,
∴ ∠AEF=60°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB=AD,∠B=∠D.
又
∵ AE ⊥ BC,AF ⊥ CD,
∴ ∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE 与△ADF 中,
{∠B=∠D,
∠AEB=∠AFD,
AB=AD,
∴ △ABE≌△ADF(AAS),
∴ AE=AF.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ ∠B+∠BAD=180°.
∵ ∠B=60°,
∴ ∠BAD=120°.
∵ ∠AEB=90°,∠B=60°,
∴ ∠BAE=30°.
由(1)知△ABE≌△ADF,
∴ ∠BAE=∠DAF=30°.
∴ ∠EAF=120°-30°-30°=60°,
又
∵ AE=AF,
∴ △AEF 是等边三角形,
∴ ∠AEF=60°.
解析
【分析】
(1)要证明线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等求解。首先利用菱形的性质得到相等的边和角，结合垂直条件得到直角相等，即可用AAS判定△ABE和△ADF全等，进而得到AE=AF。
(2)先根据菱形邻角互补求出∠BAD的度数，再结合直角三角形的性质求出∠BAE的度数，利用全等三角形的性质得到∠DAF的度数，即可求出∠EAF的度数，结合(1)中AE=AF的结论，可判定△AEF为等边三角形，从而得到∠AEF的度数。
【解析】
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB=AD,∠B=∠D.
又
∵ AE ⊥ BC,AF ⊥ CD,
∴ ∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE与△ADF中,
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ D\\ ∠ AEB=∠ AFD\\ AB=AD\end{array} $
∴ △ABE≌△ADF(AAS),
∴ AE=AF.
(2)解:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ ∠B+∠BAD=180°.
∵ ∠B=60°,
∴ ∠BAD=120°.
∵ ∠AEB=90°,∠B=60°,
∴ ∠BAE=30°.
由(1)知△ABE≌△ADF,
∴ ∠BAE=∠DAF=30°.
∴ ∠EAF=120°-30°-30°=60°,
又
∵ AE=AF,
∴ △AEF是等边三角形,
∴ ∠AEF=60°.
【答案】
(1)AE=AF得证；(2)$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是将菱形的边角性质与三角形全等、等边三角形的判定结合考查，解题时需梳理清楚角与角、边与边的等量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1)要证明线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等求解。首先利用菱形的性质得到相等的边和角，结合垂直条件得到直角相等，即可用AAS判定△ABE和△ADF全等，进而得到AE=AF。
(2)先根据菱形邻角互补求出∠BAD的度数，再结合直角三角形的性质求出∠BAE的度数，利用全等三角形的性质得到∠DAF的度数，即可求出∠EAF的度数，结合(1)中AE=AF的结论，可判定△AEF为等边三角形，从而得到∠AEF的度数。
【解析】
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB=AD,∠B=∠D.
又
∵ AE ⊥ BC,AF ⊥ CD,
∴ ∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE与△ADF中,
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ D\\ ∠ AEB=∠ AFD\\ AB=AD\end{array} $
∴ △ABE≌△ADF(AAS),
∴ AE=AF.
(2)解:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ ∠B+∠BAD=180°.
∵ ∠B=60°,
∴ ∠BAD=120°.
∵ ∠AEB=90°,∠B=60°,
∴ ∠BAE=30°.
由(1)知△ABE≌△ADF,
∴ ∠BAE=∠DAF=30°.
∴ ∠EAF=120°-30°-30°=60°,
又
∵ AE=AF,
∴ △AEF是等边三角形,
∴ ∠AEF=60°.
【答案】
(1)AE=AF得证；(2)$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是将菱形的边角性质与三角形全等、等边三角形的判定结合考查，解题时需梳理清楚角与角、边与边的等量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
14.核心素养 推理能力「2026河南漯河三中月考」综合实践课上，创新小组的同学对含$60°$角的菱形进行了探究.
【问题情境】
如图,在菱形$ABCD$中,$∠ A=60°$,$E,F$分别是边$AB,BC$上的点,且$∠ EDF=60°$.
【初步感知】
(1)若点$E$是$AB$的中点,则$DE$与$DF$的数量关系为
【深入探究】
(2)若点$E,F$分别为$AB,BC$上任意一点(点$E$不与$A,B$重合,点$F$不与$B,C$重合),则$DE$与$DF$的数量关系是什么?请说明理由.
【问题解决】
(3)若$AB=4$,求$△ DEF$周长的最小值.
【问题情境】
如图,在菱形$ABCD$中,$∠ A=60°$,$E,F$分别是边$AB,BC$上的点,且$∠ EDF=60°$.
【初步感知】
(1)若点$E$是$AB$的中点,则$DE$与$DF$的数量关系为
DE=DF
.【深入探究】
(2)若点$E,F$分别为$AB,BC$上任意一点(点$E$不与$A,B$重合,点$F$不与$B,C$重合),则$DE$与$DF$的数量关系是什么?请说明理由.
【问题解决】
(3)若$AB=4$,求$△ DEF$周长的最小值.
答案
(1)连接 BD,如图所示:
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠CBD,
∵ ∠A=60°,
∴ △ABD 为等边三角形,
∴ ∠ADB=60°,
∵ 点 E 是 AB 的中点,
∴ ∠ADE=∠BDE=1/2 ∠ADB=30°,
∵ ∠EDF=60°,
∴ ∠BDF=60°-30°=30°,
∴ ∠BDE=∠BDF,
∵ BD=BD,
∴ △BDE≌△BDF(ASA),
∴ DE=DF.
故答案为 DE=DF.
(2)DE=DF.理由如下:
如图,连接 DB,
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB=BC=CD=AD,
∵ ∠A=60°,
∴ △ABD 和△CBD 为等边三角形,
∴ ∠ADB=60°,∠DBF=60°=∠A,AD=BD,
又
∵ ∠EDF=60°,
∴ ∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB=60°,
∴ ∠ADE=∠BDF,
在△ADE 和△BDF 中,
{∠A=∠DBF,
AD=BD,
∠ADE=∠BDF,
∴ △ADE≌△BDF(ASA),
∴ DE=DF.
(3)由(2)可知 DE=DF,
∵ ∠EDF=60°,
∴ △DEF 为等边三角形,
求出等边三角形边长的最小值即可求出等边三角形周长的最小值,
∵ 点 E 为边 AB 上一点,
∴ 当 DE ⊥ AB 时,DE 取得最小值,
在 Rt△DEA 中,∠DEA=90°,∠A=60°,
∴ ∠ADE=30°,
∴ AE=1/2 AD=1/2 AB=2,
∴ DE=√(AD²-AE²)=√(4²-2²)=2√3,
此时,△DEF 的周长=3×2√3=6√3,
∴ △DEF 周长的最小值为 6√3.
解析
【分析】
(1) 遇到含60°角的菱形，首先考虑连接BD构造等边三角形：菱形ABCD中∠A=60°，可得△ABD是等边三角形，结合E是AB中点，利用等边三角形三线合一得到∠BDE=30°，再结合∠EDF=60°推出∠BDF=30°，通过证明△BDE和△BDF全等，即可得到DE与DF的数量关系。
(2) 对于任意位置的E、F，依然连接BD，先证△ABD和△CBD均为等边三角形，得到AD=BD、∠A=∠DBF=60°，再通过角的和差推出∠ADE=∠BDF，证明△ADE≌△BDF，即可得到DE=DF的结论。
(3) 由(2)的结论和∠EDF=60°可判断△DEF是等边三角形，因此周长最小等价于边长DE最小，根据垂线段最短的性质，当DE⊥AB时DE最短，计算此时DE的长度后乘3，即可得到周长最小值。
【解析】
(1) 连接 BD,如图所示:
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠CBD,
∵ ∠A=60°,
∴ △ABD 为等边三角形,
∴ ∠ADB=60°,
∵ 点 E 是 AB 的中点,
∴ ∠ADE=∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=30°,
∵ ∠EDF=60°,
∴ ∠BDF=60°-30°=30°,
∴ ∠BDE=∠BDF,
∵ BD=BD,
∴ △BDE≌△BDF(ASA),
∴ DE=DF。
(2) DE=DF，理由如下:
如图,连接 DB,
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB=BC=CD=AD,
∵ ∠A=60°,
∴ △ABD 和△CBD 为等边三角形,
∴ ∠ADB=60°,∠DBF=60°=∠A,AD=BD,
又
∵ ∠EDF=60°,
∴ ∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB=60°,
∴ ∠ADE=∠BDF,
在△ADE 和△BDF 中,
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DBF,\\AD=BD,\\∠ADE=∠BDF,\end{array} $
∴ △ADE≌△BDF(ASA),
∴ DE=DF。
(3) 由(2)可知 DE=DF,
∵ ∠EDF=60°,
∴ △DEF 为等边三角形,
求出等边三角形边长的最小值即可求出等边三角形周长的最小值,
∵ 点 E 为边 AB 上一点,
∴ 当 DE ⊥ AB 时,DE 取得最小值,
在 Rt△DEA 中,∠DEA=90°,∠A=60°,
∴ ∠ADE=30°,
∴ AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴ DE=$\sqrt{AD^2-AE^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=$2\sqrt{3}$,
此时,△DEF 的周长=$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=DF}$
(2) $\boldsymbol{DE=DF}$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形相关的综合题，将菱形性质、特殊三角形判定与性质、全等证明、最值求解结合考查，解题关键是合理构造辅助线找到全等关系，最值问题利用垂线段最短的性质即可求解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 遇到含60°角的菱形，首先考虑连接BD构造等边三角形：菱形ABCD中∠A=60°，可得△ABD是等边三角形，结合E是AB中点，利用等边三角形三线合一得到∠BDE=30°，再结合∠EDF=60°推出∠BDF=30°，通过证明△BDE和△BDF全等，即可得到DE与DF的数量关系。
(2) 对于任意位置的E、F，依然连接BD，先证△ABD和△CBD均为等边三角形，得到AD=BD、∠A=∠DBF=60°，再通过角的和差推出∠ADE=∠BDF，证明△ADE≌△BDF，即可得到DE=DF的结论。
(3) 由(2)的结论和∠EDF=60°可判断△DEF是等边三角形，因此周长最小等价于边长DE最小，根据垂线段最短的性质，当DE⊥AB时DE最短，计算此时DE的长度后乘3，即可得到周长最小值。
【解析】
(1) 连接 BD,如图所示:
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠CBD,
∵ ∠A=60°,
∴ △ABD 为等边三角形,
∴ ∠ADB=60°,
∵ 点 E 是 AB 的中点,
∴ ∠ADE=∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=30°,
∵ ∠EDF=60°,
∴ ∠BDF=60°-30°=30°,
∴ ∠BDE=∠BDF,
∵ BD=BD,
∴ △BDE≌△BDF(ASA),
∴ DE=DF。
(2) DE=DF，理由如下:
如图,连接 DB,
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB=BC=CD=AD,
∵ ∠A=60°,
∴ △ABD 和△CBD 为等边三角形,
∴ ∠ADB=60°,∠DBF=60°=∠A,AD=BD,
又
∵ ∠EDF=60°,
∴ ∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB=60°,
∴ ∠ADE=∠BDF,
在△ADE 和△BDF 中,
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DBF,\\AD=BD,\\∠ADE=∠BDF,\end{array} $
∴ △ADE≌△BDF(ASA),
∴ DE=DF。
(3) 由(2)可知 DE=DF,
∵ ∠EDF=60°,
∴ △DEF 为等边三角形,
求出等边三角形边长的最小值即可求出等边三角形周长的最小值,
∵ 点 E 为边 AB 上一点,
∴ 当 DE ⊥ AB 时,DE 取得最小值,
在 Rt△DEA 中,∠DEA=90°,∠A=60°,
∴ ∠ADE=30°,
∴ AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴ DE=$\sqrt{AD^2-AE^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=$2\sqrt{3}$,
此时,△DEF 的周长=$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=DF}$
(2) $\boldsymbol{DE=DF}$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形相关的综合题，将菱形性质、特殊三角形判定与性质、全等证明、最值求解结合考查，解题关键是合理构造辅助线找到全等关系，最值问题利用垂线段最短的性质即可求解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
