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1.下列式子:①$(-x-y)^2=(x+y)^2$；②$(-x+y)^2=(x-y)^2$；③$(y-x)^2=(x-y)^2$.其中正确的是（
A.①②③
B.①②
C.②
D.①
A
）A.①②③
B.①②
C.②
D.①
答案
1.A
解析
【分析】
解题时可利用“互为相反数的两个数的平方相等”这一性质，也可通过展开完全平方公式验证左右两边是否相等。首先把每个式子左边的底数变形为右边底数的相反数，再根据负数的偶次幂是正数即可判断等式是否成立。
【解析】
我们利用互为相反数的两个数的平方相等的性质逐一判断：
1. 判断①：左边底数$-x-y=-(x+y)$，因此$(-x-y)^2=[-(x+y)]^2=(-1)^2×(x+y)^2=(x+y)^2$，与右边相等，①正确；
2. 判断②：左边底数$-x+y=y-x=-(x-y)$，因此$(-x+y)^2=[-(x-y)]^2=(-1)^2×(x-y)^2=(x-y)^2$，与右边相等，②正确；
3. 判断③：左边底数$y-x=-(x-y)$，因此$(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(-1)^2×(x-y)^2=(x-y)^2$，与右边相等，③正确。
综上，①②③都正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 乘方的符号性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础变形题，核心是利用“互为相反数的两个数的平方相等”简化判断，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时可利用“互为相反数的两个数的平方相等”这一性质，也可通过展开完全平方公式验证左右两边是否相等。首先把每个式子左边的底数变形为右边底数的相反数，再根据负数的偶次幂是正数即可判断等式是否成立。
【解析】
我们利用互为相反数的两个数的平方相等的性质逐一判断：
1. 判断①：左边底数$-x-y=-(x+y)$，因此$(-x-y)^2=[-(x+y)]^2=(-1)^2×(x+y)^2=(x+y)^2$，与右边相等，①正确；
2. 判断②：左边底数$-x+y=y-x=-(x-y)$，因此$(-x+y)^2=[-(x-y)]^2=(-1)^2×(x-y)^2=(x-y)^2$，与右边相等，②正确；
3. 判断③：左边底数$y-x=-(x-y)$，因此$(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(-1)^2×(x-y)^2=(x-y)^2$，与右边相等，③正确。
综上，①②③都正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 乘方的符号性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础变形题，核心是利用“互为相反数的两个数的平方相等”简化判断，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2.如图是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是 (
A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D.$(ab)^2=a^2b^2$
A
)A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D.$(ab)^2=a^2b^2$
答案
2.A
解析
【分析】
这道题是利用割补法通过面积相等推导整式乘法公式，解题时先计算左侧整体图形的面积，再计算右侧分割后各个图形的面积之和，二者相等，匹配对应选项中的公式即可。第一步先确定左侧图形的形状和边长，计算整体面积；第二步分别计算右侧各分割图形的面积，求和；第三步对比左右面积表达式，找到对应的公式。
【解析】
1. 计算左侧图形的面积：左侧是边长为$(a+b)$的正方形，根据正方形面积公式，其面积为$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$。
2. 计算右侧分割后各图形的面积和：
边长为$a$的大正方形面积为$a^2$；
两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积之和为$ab+ab=2ab$；
边长为$b$的小正方形面积为$b^2$；
因此分割后总面积和为$S_{\mathrm{和}}=a^2+2ab+b^2$。
3. 由割补前后面积相等可得$S_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{和}}$，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；割补法求面积；数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的割补验证代数公式，解题关键是准确计算整体图形和各分割部分的面积，侧重对基础公式推导过程的考查。
【难度系数】
0.8
这道题是利用割补法通过面积相等推导整式乘法公式，解题时先计算左侧整体图形的面积，再计算右侧分割后各个图形的面积之和，二者相等，匹配对应选项中的公式即可。第一步先确定左侧图形的形状和边长，计算整体面积；第二步分别计算右侧各分割图形的面积，求和；第三步对比左右面积表达式，找到对应的公式。
【解析】
1. 计算左侧图形的面积：左侧是边长为$(a+b)$的正方形，根据正方形面积公式，其面积为$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$。
2. 计算右侧分割后各图形的面积和：
边长为$a$的大正方形面积为$a^2$；
两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积之和为$ab+ab=2ab$；
边长为$b$的小正方形面积为$b^2$；
因此分割后总面积和为$S_{\mathrm{和}}=a^2+2ab+b^2$。
3. 由割补前后面积相等可得$S_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{和}}$，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；割补法求面积；数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的割补验证代数公式，解题关键是准确计算整体图形和各分割部分的面积，侧重对基础公式推导过程的考查。
【难度系数】
0.8
3.计算:$(x-2y)^2=$（
A.$x^2 -4y^2$
B.$x^2 -2xy +4y^2$
C.$x^2 -4xy +2y^2$
D.$x^2 -4xy +4y^2$
D
）A.$x^2 -4y^2$
B.$x^2 -2xy +4y^2$
C.$x^2 -4xy +2y^2$
D.$x^2 -4xy +4y^2$
答案
3.D
解析
【分析】
这道题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，先确定公式中对应的$a$为$x$、$b$为$2y$，再代入公式展开计算，计算时要注意不要漏算系数的平方，也不要和平方差公式混淆选错选项。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，本题中$a=x$，$b=2y$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(x-2y)^2&=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2\\&=x^2 -4xy +4y^2\end{aligned}$
对比各选项，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查对完全平方公式的掌握，做题时要注意区分完全平方公式和平方差公式的结构，展开时不要遗漏中间项的系数，也要注意常数项的平方运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，先确定公式中对应的$a$为$x$、$b$为$2y$，再代入公式展开计算，计算时要注意不要漏算系数的平方，也不要和平方差公式混淆选错选项。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，本题中$a=x$，$b=2y$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(x-2y)^2&=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2\\&=x^2 -4xy +4y^2\end{aligned}$
对比各选项，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查对完全平方公式的掌握，做题时要注意区分完全平方公式和平方差公式的结构，展开时不要遗漏中间项的系数，也要注意常数项的平方运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
4.根据完全平方公式填空：
(1)$(m+n)^2=(\ )^2+2×(\ )×(\ )+(\ )^2=\_\_\_\_\_\_$；
(2)$(a-3b)^2=(\ )^2-2×(\ )×(\ )+(\ )^2=\_\_\_\_\_\_$；
(3)$(x^2-\frac{1}{2}y)^2=(\ )^2-2×(\ )×(\ )+\frac{1}{4}y^2=\_\_\_\_\_\_$。
(1)$(m+n)^2=(\ )^2+2×(\ )×(\ )+(\ )^2=\_\_\_\_\_\_$；
(2)$(a-3b)^2=(\ )^2-2×(\ )×(\ )+(\ )^2=\_\_\_\_\_\_$；
(3)$(x^2-\frac{1}{2}y)^2=(\ )^2-2×(\ )×(\ )+\frac{1}{4}y^2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
4.(1)$m$ $m$ $n$ $n$ $m^2+2mn+n^2$ (2)$a$ $a$ $3b$ $3b$ $a^2-6ab+9b^2$ (3)$x^2$ $x^2$ $\frac{1}{2}y$ $x^4-x^2y+\frac{1}{4}y^2$
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。我们只需要先确定每道小题里对应公式中的$a$和$b$，再对照公式结构补全空缺、展开计算即可，计算时注意系数和符号不要出错。
【解析】
（1）$(m+n)^2$属于两数和的平方，对应公式里$a=m$，$b=n$，代入和的完全平方公式可得：
$(m+n)^2=m^2+2× m× n +n^2=m^2+2mn+n^2$
（2）$(a-3b)^2$属于两数差的平方，对应公式里$a=a$，$b=3b$，代入差的完全平方公式可得：
$(a-3b)^2=a^2-2× a×3b +(3b)^2=a^2-6ab+9b^2$
（3）$(x^2-\frac{1}{2}y)^2$属于两数差的平方，对应公式里$a=x^2$，$b=\frac{1}{2}y$，代入差的完全平方公式可得：
$(x^2-\frac{1}{2}y)^2=(x^2)^2-2× x^2×\frac{1}{2}y +(\frac{1}{2}y)^2=x^4-x^2y+\frac{1}{4}y^2$
【答案】
(1)$m$ $m$ $n$ $n$ $m^2+2mn+n^2$ (2)$a$ $a$ $3b$ $3b$ $a^2-6ab+9b^2$ (3)$x^2$ $x^2$ $\frac{1}{2}y$ $x^4-x^2y+\frac{1}{4}y^2$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是准确识别公式中对应的两个项，注意差的平方公式中第二项的符号以及系数、次数的正确运算，避免漏乘系数、错写符号的常见错误。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆完全平方公式的结构：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。我们只需要先确定每道小题里对应公式中的$a$和$b$，再对照公式结构补全空缺、展开计算即可，计算时注意系数和符号不要出错。
【解析】
（1）$(m+n)^2$属于两数和的平方，对应公式里$a=m$，$b=n$，代入和的完全平方公式可得：
$(m+n)^2=m^2+2× m× n +n^2=m^2+2mn+n^2$
（2）$(a-3b)^2$属于两数差的平方，对应公式里$a=a$，$b=3b$，代入差的完全平方公式可得：
$(a-3b)^2=a^2-2× a×3b +(3b)^2=a^2-6ab+9b^2$
（3）$(x^2-\frac{1}{2}y)^2$属于两数差的平方，对应公式里$a=x^2$，$b=\frac{1}{2}y$，代入差的完全平方公式可得：
$(x^2-\frac{1}{2}y)^2=(x^2)^2-2× x^2×\frac{1}{2}y +(\frac{1}{2}y)^2=x^4-x^2y+\frac{1}{4}y^2$
【答案】
(1)$m$ $m$ $n$ $n$ $m^2+2mn+n^2$ (2)$a$ $a$ $3b$ $3b$ $a^2-6ab+9b^2$ (3)$x^2$ $x^2$ $\frac{1}{2}y$ $x^4-x^2y+\frac{1}{4}y^2$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是准确识别公式中对应的两个项，注意差的平方公式中第二项的符号以及系数、次数的正确运算，避免漏乘系数、错写符号的常见错误。
【难度系数】
0.9
5.(教材P115例3变式)利用完全平方公式计算：
(1)$(2a - b)^2$；
(2)$(-m + \frac{1}{2}n)^2$；
(3)$(-2ab - 1)^2$；
(4)$(a^2b - \frac{3}{2}c)^2$。
(1)$(2a - b)^2$；
(2)$(-m + \frac{1}{2}n)^2$；
(3)$(-2ab - 1)^2$；
(4)$(a^2b - \frac{3}{2}c)^2$。
答案
5.(1)原式=$4a^2-4ab+b^2$ (2)原式=$(m-\frac{1}{2}n)^2=m^2-mn+\frac{1}{4}n^2$ (3)原式=$(2ab+1)^2=4a^2b^2+4ab+1$ (4)原式=$a^4b^2-3a^2bc+\frac{9}{4}c^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先牢记完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；对于式子中首项带负号的情况，可以先利用偶次幂的性质，将式子变形为首项为正的标准“和”或“差”的形式，再确定公式中对应的$a$、$b$两个部分，最后代入公式展开计算，注意计算时要正确计算各项的乘方，不要漏算中间项的系数和符号。
【解析】
利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$计算各题：
(1) 把$2a$看作公式中的$a$，$b$看作公式中的$b$，代入差的平方公式：
原式=$(2a)^2 - 2× 2a · b + b^2 = 4a^2 -4ab +b^2$
(2) 先利用平方的性质将原式变形：$(-m+\frac{1}{2}n)^2=(m-\frac{1}{2}n)^2$，把$m$看作公式中的$a$，$\frac{1}{2}n$看作公式中的$b$，代入差的平方公式：
原式=$m^2 - 2× m · \frac{1}{2}n + (\frac{1}{2}n)^2 = m^2 - mn + \frac{1}{4}n^2$
(3) 先利用平方的性质将原式变形：$(-2ab -1)^2=(2ab + 1)^2$，把$2ab$看作公式中的$a$，$1$看作公式中的$b$，代入和的平方公式：
原式=$(2ab)^2 + 2× 2ab · 1 +1^2=4a^2b^2 +4ab +1$
(4) 把$a^2b$看作公式中的$a$，$\frac{3}{2}c$看作公式中的$b$，代入差的平方公式：
原式=$(a^2b)^2 - 2× a^2b · \frac{3}{2}c + (\frac{3}{2}c)^2 = a^4b^2 - 3a^2bc + \frac{9}{4}c^2$
【答案】
(1)$4a^2-4ab+b^2$；(2)$m^2-mn+\frac{1}{4}n^2$；(3)$4a^2b^2+4ab+1$；(4)$a^4b^2-3a^2bc+\frac{9}{4}c^2$
【知识点】
1.完全平方公式 2.积的乘方 3.整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是准确对应公式中的两个项，对于含负号的式子可先通过平方的性质简化形式再计算，注意展开时不要弄错中间项的符号，也不要漏乘系数。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先牢记完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；对于式子中首项带负号的情况，可以先利用偶次幂的性质，将式子变形为首项为正的标准“和”或“差”的形式，再确定公式中对应的$a$、$b$两个部分，最后代入公式展开计算，注意计算时要正确计算各项的乘方，不要漏算中间项的系数和符号。
【解析】
利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$计算各题：
(1) 把$2a$看作公式中的$a$，$b$看作公式中的$b$，代入差的平方公式：
原式=$(2a)^2 - 2× 2a · b + b^2 = 4a^2 -4ab +b^2$
(2) 先利用平方的性质将原式变形：$(-m+\frac{1}{2}n)^2=(m-\frac{1}{2}n)^2$，把$m$看作公式中的$a$，$\frac{1}{2}n$看作公式中的$b$，代入差的平方公式：
原式=$m^2 - 2× m · \frac{1}{2}n + (\frac{1}{2}n)^2 = m^2 - mn + \frac{1}{4}n^2$
(3) 先利用平方的性质将原式变形：$(-2ab -1)^2=(2ab + 1)^2$，把$2ab$看作公式中的$a$，$1$看作公式中的$b$，代入和的平方公式：
原式=$(2ab)^2 + 2× 2ab · 1 +1^2=4a^2b^2 +4ab +1$
(4) 把$a^2b$看作公式中的$a$，$\frac{3}{2}c$看作公式中的$b$，代入差的平方公式：
原式=$(a^2b)^2 - 2× a^2b · \frac{3}{2}c + (\frac{3}{2}c)^2 = a^4b^2 - 3a^2bc + \frac{9}{4}c^2$
【答案】
(1)$4a^2-4ab+b^2$；(2)$m^2-mn+\frac{1}{4}n^2$；(3)$4a^2b^2+4ab+1$；(4)$a^4b^2-3a^2bc+\frac{9}{4}c^2$
【知识点】
1.完全平方公式 2.积的乘方 3.整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是准确对应公式中的两个项，对于含负号的式子可先通过平方的性质简化形式再计算，注意展开时不要弄错中间项的符号，也不要漏乘系数。
【难度系数】
0.85
6.(教材P115例4变式)用完全平方公式进行简便计算.
(1)$103^2$；
(2)$198^2$；
(3)$101^2 + 99^2$.
(1)$103^2$；
(2)$198^2$；
(3)$101^2 + 99^2$.
答案
6.(1)原式=$(100+3)^2=100^2+2×100×3+3^2=10\ 000+600+9=10\ 609$ (2)原式=$(200-2)^2=200^2-2×200×2+4=40\ 000-800+4=39\ 204$ (3)原式=$(100+1)^2+(100-1)^2=100^2+2×100×1+1+100^2-2×100×1+1=10\ 001+10\ 001=20\ 002$
解析
【分析】
这三道题是利用完全平方公式进行简便运算的典型题目，解题核心是把接近整百的数拆为“整百数±较小数”的形式，再套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开计算，可大幅降低运算量、提升计算准确率。具体拆分思路：(1)103接近100，拆为$100+3$；(2)198接近200，拆为$200-2$；(3)101、99都接近100，分别拆为$100+1$和$100-1$，展开后相反项可抵消，进一步简化计算。
【解析】
(1) 计算$103^2$：
将103改写为$100+3$，代入完全平方和公式计算：
原式$=(100+3)^2=100^2+2×100×3+3^2=10000+600+9=10609$
(2) 计算$198^2$：
将198改写为$200-2$，代入完全平方差公式计算：
原式$=(200-2)^2=200^2-2×200×2+2^2=40000-800+4=39204$
(3) 计算$101^2+99^2$：
分别将101改写为$100+1$，99改写为$100-1$，代入完全平方公式后合并计算：
原式$=(100+1)^2+(100-1)^2=(100^2+2×100×1+1)+(100^2-2×100×1+1)=10001+10001=20002$
【答案】
(1)$10609$；(2)$39204$；(3)$20002$
【知识点】
1.完全平方公式 2.有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是合理拆分原数，将复杂的多位数乘法转化为简单的乘方、加减运算，既能提升运算速度，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.85
这三道题是利用完全平方公式进行简便运算的典型题目，解题核心是把接近整百的数拆为“整百数±较小数”的形式，再套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开计算，可大幅降低运算量、提升计算准确率。具体拆分思路：(1)103接近100，拆为$100+3$；(2)198接近200，拆为$200-2$；(3)101、99都接近100，分别拆为$100+1$和$100-1$，展开后相反项可抵消，进一步简化计算。
【解析】
(1) 计算$103^2$：
将103改写为$100+3$，代入完全平方和公式计算：
原式$=(100+3)^2=100^2+2×100×3+3^2=10000+600+9=10609$
(2) 计算$198^2$：
将198改写为$200-2$，代入完全平方差公式计算：
原式$=(200-2)^2=200^2-2×200×2+2^2=40000-800+4=39204$
(3) 计算$101^2+99^2$：
分别将101改写为$100+1$，99改写为$100-1$，代入完全平方公式后合并计算：
原式$=(100+1)^2+(100-1)^2=(100^2+2×100×1+1)+(100^2-2×100×1+1)=10001+10001=20002$
【答案】
(1)$10609$；(2)$39204$；(3)$20002$
【知识点】
1.完全平方公式 2.有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是合理拆分原数，将复杂的多位数乘法转化为简单的乘方、加减运算，既能提升运算速度，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.85
